Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 53
Текст из файла (страница 53)
*ь Латинское ехиепшш, что означает «крайнее» (значение).- "»* В яих изменение фуикяии как бы <приостававливатсяы скорость этого изменения 1эй) обращается в вувь. 278 гл. ш. исслвдовлнии еьнкции с помощью пьоизводных [1ЗЗ что для функции х' производная Зх' обращается в нуль при х=О, но в этой точке функция не имеет экстремума: она вез время возрастает. Если расширить класс рассматриваемых функций )'(х) и допустить, что в отдельных точках двусторонней конечной производной не существует, то не исключена возможность того, что экстремум придется нз какую-либо из таких точек: ведь теорема Ф е рм а утверждает равенство р(х)=0 лишь в предположении, что существует двусторонняя конечная производная! Например, функция хз, очевидно, имеет минимум при х=О, в то время как в этой точке ее производная слева равна — осг; а справа + оо [101]; точно также в точке х= 0 имеет минимум функция [х ], хотя двусторонней производной для нее в этой точке нет [100].
Следовательно, и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, также могут доставлять функции экстремум. Но, разумеется, и в этом случае также не может быть гарантировано наличие экстремума во всех таких точках. Примерами могут — ! служить функции у=ха и у=х ° з!п — (с дополнительным услох вием: у=О при х=О). Первая из них имеет бесконечную производную в точке х= О [101], вторая же вовсе не имеет производной в этой точке [102, 1'], но точка х= 0 не доставляет экстремума ни той, ни другой функции (ибо в любой ей окрестности обе функции принимают и положительные и отрицательные значения).
!ЗЗ, Достаточные условии. Первое правило. Итак, если точка х, есть стационарная точка для функции у(х) или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка х, представляется, так сказать лишь «подозрительной» по экстремуму н подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит в проверке достаточных условия для существования экстремума, которые мы сейчас установим. Предположим, что в некоторой окрестности (х« — В, х«+ В) точки х, (по крайней мере, для х ~ х,) существует конечная производная у'(х) н как слева от х, так и справа от х, (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая: 1. г'(х) >0 при х(х, и р (х)(0 пря х)х„т.
е. лрпзводная р'(х) лра переходе через точку х меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х« — В, х,] функция у(х) возрастает, а в промежутке [х„х,+В] убывает [182], так что значение г'(х ) будет наибольшим в йромежутке [х,— В„х,+3], т. е. в точке х, функция имеет собственный максимум. ! !.
)" (х) ( 0 прн х ( х, и /' (х) ) 0 при х ) х, т. е.,производная у (х) лри переходе через точку х, меняет знак мийус на ллюс. В этом 1ЗЩ й 1. взгчвнвв хода нзмвнвння вгнкцнн 279 случае аналогично убеждаемся, что в точке х, функцня имеет собственный минимум. 111. 1'(х))0 как прн х(х„так и прн х)х„лнбо же ~'(х)(0 и слева и справа от х„т.
е., при переходе через х„, у'(х) не меняет знака. Тогда функцня либо все время возрастает, либо все время убывает; в любой близости от х с одной стороны найдутся точки х, в которых у(х)(у(х,), а с другой — точки х, в которых у(х))у(х»), так что в точке х, никакого экстремума нет. Графнческая иллюстрация простейших возможностей дана на черт, 56 а, б, в. Черт.
56. Итак, мы получаем и е р з о е и р а в и л о для испытания «подозрнтельного» значення х»: подставляя в производную у" (х) сначала х(хо а затем х >хм устанавливаелс знак производной вблизи от точки х, слева и справа от нейг если при этом производная Г'(х) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак минус на плюс, то — минимум; если оке знака не меняет, то экстремума вовсе нет. Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а, Ь), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек нлн точек, где отсутствует конечная производная: а< х»с, хя(...(х„< хат (...с"х„(Ь. (4) 280 гл. щ.
исслвдованив екнкции с помощью пгоизводных (!30 Именно, тогда, прежде всего, в любом промежутке (а„х,), (х„х,), ..., (х„, х„,), ... (х„, Ь) существует конечная производная у'(х) и, кроме того, в каждом таком промежутке /" (х) сохраняет постоянный знак. действительно, если бы у(х) меняла знак, например, в промежутке (хю хаю), то, по теореме Л ар б у (1101, она обращалась бы в нуль в некоторой точке и е ж д у хэ и хэ+„что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (4). Последнее вамечэние бывает полезно в некоторых случаях на практике: знак производной у'(х) во всйм промежутке (ха, ха+!) определится, если вычислить значение (илн даже только установить внак) ей в одной какой-либо точке этого промежутка. 136.
Примеры. 1) Найти экстремумы функции У(х)=(х+2)'(х — 1)'. Ее производная всегда существует и конечна: у' (х) = 2 (х+ 2) (х — 1)' + 3 (х + 2)' (х — 1)' = (х+ 2) (х — 1)' (5х -)- 4). Корнями производной (стационарными точками) будут: 4 х = — 2 х = — — = — 0,8, х =1. > 5 '' в Этими значениями весь промежуток ( — зо, + аз) разбивается на следующие части: ( — оэ, — 2), ( — 2, — 0,8), ( — 0,8, 1), (1, )- о>), Для определения знака ироизводной в этих промежутках можно, воспользовавшись сделанным выше замечанием, установить его для конкретных значений, например, для — 3, — 1,0 и 2. Определяя знаки отдельных множителей, для всей производной получаем следующие знаки: в промежутке ( — з>, — 2) ( — )(+) ( — ) =+ » ( — 2, — 0,8) (+)(+)( — ) =— > ( — 0,8, 1) (+) (+) (+) =+ » (1, +за) (+)(+)(+)=+ Отсюда ясно, что при х= — 2 функция У(х) имеет максимум, при х = — 0,8 она имеет минимум, а при х=! экстремума вовсе нет.
Однако, обычно поступают иначе, не подставляя в производную конкретных значений. Начнем с х = — 2. Произведение двух последних множителей производной (х — !)' и 5к + 4 пря х = — 2 имеет знак минус, следовательно (по непрерывности) сохраняет тот же знак и вблизи этой точки (как слева, так и справа). Множитель же х + 2, когда х, возрастая, проходит через значение — 2, меняет знак минус на плюс, так что производная меняет знак 4 плюс на минус, н функция имеет максимум.
Прн х = — 5 (и вблизи этого значения) первые дза множителя производной имеют знак плюс; последний же множитель 5х+4 (а с ним и зся производная) При прохождении через это значение меняет знак минус на плюс; функция здесь имеет минимум. Йэконец, при переходе через значение х = 1, не только первый и третий множитель сохраняют знак, но и второй множитель также, ибо квадрат всегда положителен; экстремума здесь нет, 180) $ 1. изучвнин хода ивыкнвния вункции 281 Зна . гочки х, д о с т а в л я ю щ и е нашей функции экстремальные значения, легко вычислить теперь и сами эти значения: максимум у ( — 2) = 0 н минимум у( — 0,8) =' — 8,40, На черт. 57 дан график, иллюстрирующий изменение зтой функции э. 2) Найти зкстремумы функции у(х) =айза х+ + сова х.
Ввиду того, что функция имеет период 2я, достаточно ограничиться теми значениями х, которые содержатсв в промежутке (0,2я). Производная этой функции существует везде: у'(х) =3 в!пах ° сов х — 3 солях ° э!п х = = 3 в1п х ° соэ х ° ( з!п х — соз х). Карня производной (стационарные точки) в это:а случае будут: я я 5я Зя О,—, — я, —, (2я), '4' 2' ' 4' 2 При переходе через х=О множитель з!их меняет знак минус на лаос, а вся производная меняет знак плюс на минус, ибо последние два множителя сохраняют вблизи х = 0 знак минус; налицо максимум.
Множитель з!п х — созх, обращающийся в нуль при х = †, при переходе через эту точку меняет знак минус на плюс. То же будет и с производной, так как первые два множителя положительны; следовательно, здесь Черт. 57. будет минимум. Аналогично исследуются н остальные стационарные точки: все они поочередно доставляют функции максимумы и минимумы. Подставляя ик в выражение функции, получим сами максимальные и минимальные значения: хУл™У(О)у(2)!у~(!у!4~07! !я! 75я ! )/'2 мя""жумагг У~ 4 ! 2 —— '0,71, у(я) = — 1 г ~ — ) = — !. гя! $~ 2 Черт. 58. График функции представлен на черт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
