Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 50
Текст из файла (страница 50)
1П. ПРОИЗВОДНЫЙ И ДИФФЙРИНЦИАЛЫ и наверное будет, скажем, «.0,0001 для х<0,2213 (ге13')„и т. и. На рис. 52б представлены для сравнения графики функции у = соя х и графики последовательных многочленов хя х' хч у 1 у=1 — — у=1 — ч — и т. д. 2' 2 24 Мы обращаем внимание читателя на существенное продвижение вперед по сравнению с формулами пп' 62, 63„107: теперь мы умеем Рис. 52. устанавливать границы погрешности и располагаем формулами любой точно пни. Укаяим еще, что формула Т е и л о р а является исгочииком для построения приблюкениык формул сояершеино иного тяпа.
4) В качестве пераого примера остановимся на Формуле Гюягелся (Сл. Нпуяет) для приближенного спрямления дуги окружности, малой по сравнению с радиусом. 1 5, ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Пусть х — длина дуги, И вЂ” соответствующая ей хорда, а б — хорда, соответствующая половине луги (рнс. 53а).
Поставим себе задачей представать х в о зм о ж н о т о ч н е е приближенной 4юрмулой вида х РЕАН+ Вд, где А,  — козффнцвенты, подлежащие определению. Рис. 53. Еслв г — радиус окруююстн, а 2х — центральный угол, соответствующей дуге г, то имеем 1 6' А-2г а(пх 2г~х- — ха+ — хв) (О В ц 6 120 х и, аналогично, заменяя х на —, 2 х (1 1 8" д 2/аш — = 2г ~ — х — — ха+ ха) (О 8" «1). 2 ~2 48 3840 Отсюда АА+ВЬ 2/ЦА+ — В) х-(-А+ — В) ° хе+~ — А+ — В).х'), в то время как г-2гх. Естественно выбрать А и В так, чтобы было 1 1 1 А+-В 1, — А+ — В=О, 2 ' б 48 нбо тогда разница мшкду левой и правой частями рассматриваемой формулы будет лишь в членах, содеряшщвх х'.
Для козфйшциевтов А и В получаем значения 1 8 А= — —, В- —, и формула принимает внд 3 3 86-А 28-И я — =28+ —. 3 3 ха !А! г —. 180 ! / / ! ! / г / ь ! / ! / / 1 Л/ ! а3 Ее погрешность А, как легко видеть, оценвваетса так: 1 / 1 / /г / ! ~, / ~~1,/ 262 (И7 гл. иь пвоизводныи и диееш иициллы л Например, при цевтральном угле в 30', т. е. х- —, имеем, согласно этой 12 оценке, (А~ г 0,000007: в действительности л- г 0,523599 ..., а по формуле Гю й ген с а получается в г ° 0,523593..., так что расхождение не превосходит установленной границы. 5) Для той же цели П. Л. Ч е б ы ш е в дал следующее правило: дуга нрнблнмсенно равна сумме равных сторон равнобедренного треуголытка, построенного 114 на хорде и имеющего высотон — стрелки (рис.
536). ~3 3(4 Положим пока Ь = уу; ниже выяснится, что, полагая у = —, мы действительно ~3' получаем — в некотором смысле — и а и л у ч ш е е приближение. Как мы видели только что, 1 ( 1 В, — Ы=-г эшх=г~х — — хв-à — хв) (О=В, 1); 2 ~ б 120 аналогично, (1 В, Ь = у)'= уг(1 — соэ х) =. уг( — х' — — х') (О В, . 1).
(2 24 Обозначая через е' сумму сторон равнобедренного треугольника, о которой уломинаетсявправвле Чебышбва, имеем В, )в (1 В - -Й-"-"~ "(-" — ~- б 120 ~ (2 24 2гх Теперь, именно для того, чтобы уничтожить под корнем член с хэ, положим его 1(4 коэффициент равным 0 откуда и находим у = и — ! ~3 Для оценки погрешности перепишем выражение для лв в виде лв = 2гх 1'Г+Ахл, причем выражение А окажется содержащим вторую н четвертую степени х. Предполагая х« —, будем иметь: х' 2,5, х'«6,5, а тогда для А получится оценка 2 1А! 006, так что 1А(х'«04.
Обозначив для удобства Ах' через у, по формуле конечных прирапшний (112) будем вметь '1 1ьАхв 11+у = 1+ у (О Вм)). 2У1л- Ву Последняя дробь оценивается так: у ~у! )А~хе О,Обхл 2~/1+ау 2~/1 — )у( 2фТ- ~А~хе 2~(0,6 2 2ЬЗ 1 б.интевполивовянип Сопоставляя выраиеиие (15) дяя Р с только что полученными результатами видим, что х" = з-ЬЕ, где )ф 0,1гхв.
Порядок погрешности тот ие, что и в формуле Г ю я г е н с а. Мы вернемся к формуле Т е й л о р а с дополнительным членом в главе Х1 второго тома, посвященной бесконечным рядам; там эта формула будет играть весьма важную роль. й 6. Интерполирование 128. Простейшая задача нптерполирования. Формула Лагранжа. Представим себе, что для некоторой функции у"(х), определенной в промежутке [а, Ь), вычислены т+ 1 ее значений в точках х„х„..., х„ промежутка: 1'(х ), 1'(хз), ...,~(х,„), (1) и требуется по этим значениям вычислить значение Лх) прн каком-либо новом значении х.
В этом и состоит простейиая задача интерполирования. Конечно, в такой постановке вопроса содержится много неопределенного. Обычно задачу понимают так: ищется целый многочлен Цх) наиннзшей степени, который в заданных точках х; (1=О, 1, ..., т), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения 1(х,) что и функция Лх), и приближенно полагают для любого х из [а, о): (2) Дх) = Цх), Подобное приближенное равенспю называется интерполяиионной формулой. Итак, надлежит прежде всего н а й т и интерполяпиониую формулу, а затем — при определенных предположениях относительно фуикцииЛх) — о ц е н и т ь погрешность приближенной формулы (2).
Для разыскания многочлена Цх), удовлетворяющего условиям (3) Цх;)=1'(х,) (1=0,1, ...,т), удобно ввести мйогочлены т-й степени 1я(х)— (х-х,)...(х-хв Д(х-хкь,)...(х-хм) (хк хе) ° (хх хх Д(хв ххч з) ' '(ха хм) (1г = О, 1, ..., т), которые„соответственно значку, принимают значение 1 при х=х„н обращаются в О прн х=х;, если ум1с. Теперь ясно, что многочлен Цх) = ~, [(х„) 1„(х) в-е удовлетворяет всем условиям (3). Степень этого многочлена не выше (129 ГЛ.
П1. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ т и стало быль условиями (3) он определяется однозначно, его называют интерполяиионным многачленом Ла гр а и ж а, а приближенное равенство (2) — интерполя~аониой формулой Л а г р а н ж а. Заметим, что многочлен 1»(х) можно написать более сжато, если ввести выражение ю(х)=(х — хь)(х-Х1)... (х — х ), обращающееся в О как раз в узлах интерполирования х, х„..., хм. Именно, очевидно, (Х вЂ” ХЬ) ° ° ° (Х вЂ” Х1-1)(Х вЂ” Х»»1)... (Х вЂ” Хм)= — (ХФХ»)~ в(х) а (х»-х )...
(х»-х» 1)(х»-х»+1) ... (х»-х,„)= — Ф ю (х»). в(х) ° в(х) — а(х») х-х» „х-х» Таким образом, '(х»)(х- ) ( ) 1 ВФ'(х»)(х- ) ~( 129, Дополнительный член формулы Лагранжа. Обратимся теперь к оценке разностилх) — Цх), где х есть любое фиксированное значение в промежутке (а, Ь~, отличное от узлов интерполирования. Предположим, что функиия Яг) в этом промелсутке имеет производные всех порядков до (т+ 1)-го включительно. Какова бы ни была постоянная К, функция у(г) =Дг) — ».(г) — К сз(г) тоже имеет т+1 производных и к тому же обращается в О в узлах х, (1-О, 1, ..., т).
Мы выберем теперь постоянную К так, чтобы и при г=х было 9(х) =О, т. е. положим у( )-х( > в(х) (так как хнах!, то со(х) ! 0). По теореме Р о л ля (111) в т+1 промежутках между 1п+2 корнями х,х„х„...,х функции р(г) найдется те 1 различных корней ее производной р'(г). Применяя снова теорему Р о л л я к функции р'(г) и к т промежуткам между ее т Ф 1 корнями, установим существование т различных корней второй производной р"(г) и т. д. Продолжая это рассуждение, на (т+1)-м его шаге придем к существованию корня с (т+ 1)-й производной ф'"+1)(г)„ так что р( +1)(4) =О (а- 4'д). 265 ( б. ИитегполиРОВАНИВ Но И"+))(г)из О, ибо степень ыиогочлеиа Х,(я) ие выше и), а (в("+))(я)ьч га(п) ь1)! Учитывая определение вспомогательной функции 5)(я), имеем Фт+!)(я) =)В»" 1)(г) — К (п).)-1)1, так что из (6) получается, что уо»+1)я) (т+))! Окончательно, из (5) находим: .У'()=их)+ ( ~,, () ( Ь Ь).
уо»+о(») (7) Это — ин)перполяционная формула Л а г р а н хе а с дополна)пельным членом. В отличие от (2), оиа является то чи ой! Замечание. Если в промежутке [а,Ь) шах !)(»~+))(я)! =вг ) «»» то, так как в этом промежутке !(о(я))~(Ь-а) )), получаем такую оценку для погрешности формулы (2) '(Дх) — л.(х) ~ ~ ( +', (Ь вЂ” а)"'+'. Правая часть при и)- стремится к нулю лишь для очень узкого класса функций Ях); иапример, это будет иметь место для таких функций, которые в (а, Ь) диффереицируемы любое число раз, причем все их производные ограничены о д и о й постоянной М. В этом случае по мере возрастания ч и с л а узлов иитерполироваиия и и езависимо от закона, по которому выбираются эти узлы, погрешность формулы (2) будет равномерно стремиться к нулю.
Как доказал Марцинкевич (У. МагсшЫечйсх), для каждой отдельно взятой непрерывной функции можно достигиугь такого же эффекта путем надлежащего выбора последовательиых систем узлов. Но — по теореме Ф а б е р а (О. РаЬег) — ие существует такого закона выбора узлов, который годился бы в этом смысле для всех иепрерыввых функпий одновременно. В подробности относительно этих и им подобных вопросов мы здесь входить ие имеем возможности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
