Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Точно так же (г(а)о(я~'~ входит только во вторую сумму (в слагаемое с номером г = и), с коэффициентом С„"= 1. Все остальные произведения, входящие в эти суммы, имеют вид ц'"+' а)о(а), причем 1 = л = л. Каждое такое произведение встретится как в первой сумме (слагаемое с номером 1= (т), так и во второй сумме (слагаемое с номером 1= А — 1). Сумма соответствующих коэффициентов будет С„+С„. Но, как известно, С'. + С."-' = С„'+и * Символ Е означает сумму о д н о т и и н ы х слагаемых. Когда слагае- мые вти зависят от одного значка, меняющегося в определенных границах то вти границы и указываются (снизу и сверху).
Например, а о( = аа + о, +... + а„, (-О ж~ 1 дыа 2 3 ''' ю' У-=1+-+-+...+-, «т.д, а ! гл. иь пгоизводныв и дичьвввнцизлы ()18 Таким образом, окончательно находим: л (л+!) ~ и(л!!)п(а) ! С д!з!+ ) а) о(ю ! и(а) !)(л+!) ! 1 л+! = ~~~~~С"» )и((л+ ) ")п(а), а О так как Сл.» )=Сл» ! = 1. л»-! Мы получили для у(ле') выражение, вполне аналогичное выражению (1) (только и заменилось числом и+1); этим и доказана справедливость формулы (1) для всех натуральных значений и. Установленная формула носит название формулы Лайбнида.
Она часто бывает полезна при выводе общих выражений для л-й производной. Заметим, что такую же формулу можно было' бы установить и для и-й производной произведения н ее коль ких сомножителей у=ип ... г) она имеет сходство с разложением степени многочлена (и+и+...+г)". 118. Примеры. 1) Найдем при помощи формулы Лейбница (1) производную (ха, соз ах)!аа~ Положим и=х', и соа ах.
Тогда иой =аз ° сов ах+а — ), 2!' о'=2х, ел=2, ол' =огв = 0 Таким образом, в формуле (!) все слагаемые, кроме трех первых, равны нулю, и мы получаем. (ао)о" = ха ° ааа ° соз ~ах+ 50 ° — )+ — 2х ° а!а соа ~ах+ 49. — у)+ 2! 1 '! 2) 50 ° 49 I л! + — ° 2 ам ° сов (ах+48 ° -)=ам((2450 — а'х')совах — 1Одах а!пах].
12 ! 2! 2) Возвращаясь к примеру у),. Иб, теперь мм можем получить общее выражение дая и-й производной функции у=ела а!п Ьх непосредственно по формуле Л е й б н н ц а: у~л! ела[а(п Ьх ~ал ал-лба+ )+ л (и — 1) 1 ° 2 + соз ах~пал-аЬ ° ° ° ал-аЬ1 + )~ л (л — 1) (и — 2) 1.2 ° 3 3) Найдем выражение дая (и+ 1)-й производной функции у = а!с!)п х, й) 1 Ф ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 239 к что, по фермуле Л е й б н н ц а, 1 2 )'14-х )(1 -х ! '2'3 ~/г14.х ~(! х ! ~(2л- «й (2л-3)й 1й л(л — «(2л-5)й Зй (в вб„" л 2л!(1 х — 1«+х)" «Фх) -1«-х) 1 2 «+х) -'«- )г 4) требуется найти значения всех последовательных лровзводньж фушщин агсгйх при х=б. 1 Тах как у' = -- —, то у'«+х') = 1.
Возьмем л-ю производную от обеих частей 1+х' го равенства (пользуясь формулой Л е й б н и ц а): «+ хк)1(в+ О+ 2лх. у(")+л(л — « . У(л-О = О, южим здесь х= О; если значения производных при х=б отмечать значками О зу, то получим: у( -- — л( — «у( 2х При х= о производная у" =- — — обращается в О: у, "=О. Из найден- «+х')в з соотношения ясно, чго всегда у(в =.О. Что же касается производных (ьл) етного порядка, то имеем для лих рек ур р ентную формулу." ув .=.
— (2т-«2т ув Тот же результат можно было бы получить и из общей формулы примера 116. 5) То же — для функции у = агсзш х. Указание. Формулу Лейбница применить к соотношению; (1 — х') у" — х. у' = О. Ответ." у, =О, ув =1'3' ... (2т — «в ((2т — «в)в. Этот результат из (зе) (ьв — г) вх выражений в 3) получается не столь просто. Имеем, прежде всего, 1 1 1 у = — = ')Т:хз ~/1+х ~Т:хх Если теперь к вычислению последовательных 1 — применить формулы, полученные в 116, 2), '1-х ~внмая во внимание, что ус = 1, получаем отсюда: (зе+г) ( «т(2 1 производных от )г)+х то пргщем к результату 2СО (ПЗ ГЛ.
!Н, ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЩ\АЛЫ 6) Млогочлелы Лежандра. В заключение остановимся на важных много- членах, носящих имя Л е ж а н д р а (А. М. Еейепдге). Они определяются равенствами ,(л(„з 1)л Хл(х) = сл (л = 1, 2, 3, ...), где постоянным коэффициентам сл придаются те илн иные значения в зависимости от соображений удобства.
Прежде всего убедимся в том, что многочлен Хл(х) (степею! л) имеет л различных вешествевных корней, которые все содержатся между — 1 и + 1. Для простоты положим пока сл" 1. Легко видеть, что многочлен (х'-1)" (х-1)" (х+1)" и его л-1 последонательных производных обращаются в нуль при х- я1. Тогда первая ее щюизводная, по теореме Р о л л я (111), будет иметь корень и между — 1 и +1; по той же теореме, вторая производная будет вметь д в а корня мегклу — 1 и +1, и т. д. вплоть до (л-1)-й производной, которел, помимо корней — 1 и ф1, будет между ними иметь еще л -1 корней. Прнмеюв к ней еще раз теорему Р о л л я, придем к требуемому заключеюпо.
Сохраняя коэффициенты с„1, определим теперь значения многочлева Хл(х) при х т1. По формуле Л е й б н и ц а, рассматривая степень (хз-1)" как произведение (х+1)" на (х — 1)", можно написать: ,(л(х 1)л г((х ! 1)л Вл-г(х 1)л Ел(г,.!. 1)л Хл(х) =: (х-~- 1)" — — — — — -1-Сл -+ ...ь — — — — .(х — 1)л, (хл лх г)хл ' г) Так как все слагаемые, начиная со второго, содержат множитель х-1 и, следовательно, обращаются в О при х = 1, то очевидно: Хл(1) = 2" л1. Аналогично получаем: Хл( — 1) =(-1)" 2" л). Если в формуле, дающей общее определение многочлена Л е ж а н д р а Хл(х), положить в частности 1 се= 2л. л1 то получится многочлен, который чаще всего встречается," его именно мы будем впредь всегда обозначать через Рл(х).
Он харакгеризуетсл тем, что в точках х=1 и х= — 1 принимает значения Р (1)=1, Рп( — 1)=(-!)". С помощью формулы Л е й б н и ц а легко установить далее„что многочлены Л е ж а н д р а Х„(х) удовлетворяют следующему соотношению: (х' — 1)Хл-~-2х Хл — л(л.)-1)Хл = О, которое играет важную роль в теории этих многочленов. В самом деле, полагая у-(х'-1)", имеем у' —.2лх (хз — 1)" ', так что (х'-1) у'=2лх.у. Возьмем теперь (л+1)-е производные от обеих частей последнего равенства; по формуле Лейбница, л(лч-1) (хз 1)у(лег) Ь(л ! 1),2х у(лг-г)х .2,у(л) — 2лх,у(лег)+(л+1).2л.у(л) 2 Отсюда (хз — 1)у(лег)-1-2ху(л ег) — л(л ' 1)у(л) = (), и, по умножении на сл, получается доказываемое соотношение. 119) 1 н. пРОизвОдные и диФФеРенциалы высших порядков 141 119. Дифференциалы высших порядков. Обратимся теперь к дифференциалам высших порядков; они также определяются индуктивно.
Дифференциалом второгопорядкаиливторым диф ференциалом функции у=Ах) в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от ее (первого) дифференциала; в обозначениях й'. =й(йу) Дифференциалом третьего порядка нли третьим дифференциалом называется дифференциал от второго дифференциала: йлу = й(й'у). Вообще, дифференциалом иго порядка нли им дифференциаломом функции у=-Ях) называется дифференциал от ее (л — 1)-го дифференциала: й"у = й(й"-'У).
Если пользоваться функциональным обозначением, то последовательные дифференциалы могут быть обозначены так: РЛх,), РЛх,),, й"1(хо),..., причем получается возможность указать то частное значение х=х, при котором дифференциалы берутся. При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно помнить,чтойхестьпроизвольноеи независящее от х число, которое при дифференцировании по х надлежит рассматривать как постоянный множитель. В таком случае, будем иметь (все время — предполагая существование соответствующих производных): йву=йфу) =й(у' йх) =йу' йх=(ул ° йх) ° йх=у" йх'-, йау=й(йту)=й(ул йхе)=йул йх'=(у'лйх) йхе=ул' йх''), и т.
д. Легко угадьваемый общий закон ~лу )г(п) . йкл (2) доказывается методом математической индукции. Из него следует, что у(п) рту йел и так что отныне этот символ можно рассматривать как д р о б ь. Воспользовавшись равенством (2), легко теперь преобразовать формулу Л е й б н и ц а к дифференциалам. Достаточно умножить обе части ее на йх", чтобы получить л йл(ио) ~~' гч йл — гн . Фар (йои и йон — о) и-о Сам Л е й б н и ц установил свою формулу именно для дифференциалов. е) под йх', йхе, ... и т. и. всегда разумеготсн степени от дифференпнала: (г(т)т, (йх)е, ... дифференпиал от степени будет оботначатьсн так: г!(хт), с/(ле), ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
