Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 43
Текст из файла (страница 43)
4) В качестве последнего примера рассмотрвм вопрос о точности измерения неизвестного сопротивления у с помощью мостика У и т с т о н а (рис. 47). При этом подвижной контакт В передвигается по градуированной лазейке АС до тех пор, пока гальванометр 6 не покажет отсутствие тока. Сопротивлеаие у определяется по формуле (13) у= а — х где а-АС, х=А1), л — известное сопротивление ветви ВС. По формуле (12) получается: 1Ях)' ал бу= ~ — ~ дх= — дх) а — х~„(а — х)з если разделить почленно это равенство на равенспю (!3), то получим выра>кение (максимальной) относительной погрепшости для у; ду а. дх у х(а-х) Так как знаменатель х(а-х) достигает своего лаиб о ли щего значения прн а х= — **), а погрешность дх при измерении длины можно считать ие зависящей 2 *) При этих выкладках мы предгюлагали углы выраженными в радианах, но результаты, очевидно, справедливы безотносительно к тому, какой единицей измеряются углы.
"*) Из очевидного неравенства 21- непосредственно получаем аз х(а-х)ча —, 4 что и доказывает наше утверждение. 109] 3 3. ОснОВные теОРемы диФФБРенциАльноГО исчисления 223 ог х, го наименьшее значение для относительной погрешности достигается именно при х= —. Поэтому обыкновенно, для получения возможно точного рс- 2 зулигага, сопротивление й (с помощью магазина сопротивлений) устанавливается с таким расчетом, чтобы ток исчезал прн положении контакта )Э, возможно более близком к середине линейки АС. й' 3.
Основные теоремы дифференциального исчисления 109. Теорема Ферма. Знание производной Л(х) некоторой функции Лх) часто позволяет делать заключение и о поведении самой функции Лх). Вопросам этого рода и будут„в сущности, посвящены настошций параграф и следующие за ним. Предварительно докажем простую лемму: ЛГемма. Пусть фуикцияЛх) имеет конечную производи>ю в точке хш Если эта производная >'(хв). 0 [('(хв) 0), то для значений х, достаточно близких к х, справа, будет Лх) Лхв) (э'(х) Лхв)] г' для значений х, достаточно близких к хь слева, будет Лх). Лх) (Лх) Х(хь)) ' Иными словами этот факт выражают так; функция Лх) в т о ч к в хв возрастает (убывает).
Если имеется в виду односторонняя производная, например, справа, то сохраняет силу лишь утверждение о значениях х, лежащих справа от хв. Доказательство. По определению производной, Л( ) ) г(х) г( о) х'"х, х — хч Если Л(х,) . 0 (ограничимся этим случаем), то, в силу 55, 2, найдется такая окрестность (хв — д, х,-ь д) точки х„, в которой (при хмх,) — хь) -0 х-хч Пусть сначала х, х«х,+б, так что х-хв.
0; из предыдущего неравенства следует тогда, что ((х) ->(хв) О, т. е. Лх) ~э(х,). Если жех„-д. х хе их — хь«О, то, очевидно, н Лх) — Лх,) О, т. е. Лх) Лхь). Лемма доказана. Теорема Ферма. (Р. Р егш а() Пусть функция Лх) определена в некотором промежутке К и во внутренней точке с этово промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная Л(с) в этой точке, то необходимо Л(с) = 0 *).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности г'(х) принимает и а и б о л ь ш е е значение в точке с. Предположение, что Г(с) м О, ') Это угверждевне, разумеется, воспроизводит лишь сушиосп, того приемв, который применял Ф е р м а для разыскания иаиболыпия и наименьших значений фувкпии (Ф е р м а ие располагал понятием производной). 224 (иб гл. ш, Пгсиэислпмн Н Днвопеднцидлы приводит к противоречию: либо /'(с) О, и тогда (по лемме) у(х) -у(с), если х с и достаточно близко к с, либоу'(с). О, и тогда Лх)- Яс), если х.
с и достаточно близко к с. В обоих случаях у(с) не может быть наибольшим значением функпин Лх) в промежутке К. Полученное противоречие и доказывает теорему. Вспомним (91, 92) геометрическое истолкование производной у'= =('(х) как углового коэффициента касательной к кривой у=((х). Обращение в нуль производной у'(с) геометрически означает, что в соответствующей точке этой кривой касательная параллельна оси х. Рис.
48 делает это обстоятельство совершенно наглядным. с Рис. 48. Рис. 49. В доказательстве существенно было использовано предположение, что с является внутренней точкой промежутка, так как нам пришлось рассматривать и точки х справа от с, и точки х слева от с. Без этого предположения теорема перестала бы быть верной: если функция Лх) определена в замкнутом промежутке и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на одном нз концов этого промежутка, то производная у'(х) на этом конце (если существует) может и не быль нулем.
Предоставляем читателю подыскать соответствующий пример; геометрически этот факт иллюстрируется рисунком 49. В качестве приложения теоремы Ф е р м а докажем одну любопытную теорему о производной функции. 110. Теорема Дорбу (О. ЭагЬонх). Если функция у(х) имеет конечную производную в промелсутне (а, Ь) Я), то функция у'(х) принимает, в качестве значения, каждое промежуточное число между у'(а) и Г(Ь). Доказательство. Сперва предположим, что у'(а) и у'(Ь) имеют разные знаки, например, что у'(а) О, а 1'(Ь). О, и докажем существование точки с между а и Ь, в которой производная обращается в нуль.
В самом деле, нз сущеспювания конечной производ- ') При этом мм считаем, что и точке и существует производная с п р а в а, а и точке Ь вЂ” проиэиоднпи слева. Онн и дальнейшем обозначаются просто У'(а) и Г(Ь). 11Ц 1 3. Основные теоРемы ДНФФееенциллъного исчисления 225 ной у'(х) следует непрерывность функции Ях) (96, 2'), а тогда, по 2-й теореме Вейерштр асса 155), У'(х) принимает в некоторой точке с свое наибольшее значение.
Эта точка с не может совпадать ни с а, ни с Ь, так как, согласно лемме, 1'(х) б о л ь ш е Ла) вблизи точки а (справа) и больше г"(Ь) вблизи точки Ь (слева). Итак, а«с~Ь. Тогда, по теореме Ф е р ма, получаем у'(с)=0. Переходя к общему случаю, возьмем любое число С, заключенное между )'(а) и у'(Ь); пусть, для определенности, )'(а) С )'(Ь). Рассмотрим вспомогательную функцию у(х)= г"(х) — Сх; она непрерывна и имеет производную цг'(х) =у'(х) — С в промежутке гз, Ь). Так какгр'(а)=1'(а) — С. О, агу'(Ь)=1'(Ь) — С О, то по доказанному, существует такая точка с (а с Ь), в которой 51'(с) =у"'(с)-С=О, т.
е. у'(с) = С. Доказанная теорема имеет большое сходство со 2-й теоремой Коши [Фл), согласно которой всякая непрерывная функция переходит от одного значения к другому, лишь переходя через все промежуточные числа. Однако, теорема Д а р б у отнюдь не является следствием теоремы Коши, так как производная у'(х) непрерывной функции сама может и не быть непрерывной функцией.
111. Теорема Ролля. В основе многих теорем и формул дифференциального исчисления и его приложений лежит следуюшая простая, но важная теорема, связываемая с именем Р о л л я (М. Кобе) и). Теорема Ролля. Пусть 1) функция у'(х) определена и непрерывна в замкнутом промежутке кз, Ь); 2) существует конечная производная у '(х), по крайней мере, в открытом промежутке (а, Ь); 3) на концох промежутка функция принимает ровные значения: у(о) =г"(Ь). Тогда между а и Ь найдется такая точка, с (а с .Ь), что у'(с) =О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
у'(х) непрерывна в замкнутом промежутке (о, Ь) и потому, по 2-й теореме В ей ерш трасса (85), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение М, так и свое наименьшее значение т. Рассмотрим два случая: 1. М=т. Тогда у(х) в промежутке (а, Ь) сохраняет постоянное значение: в самом деле, неравенство т-г'(х)* М в этом случае дает у (х)=М при всех х; поэтому /'(х)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку нз (а, Ь).
2. М .т. Мы знаем, что оба эти значения функцией достигаются, но, так как г"(а)=ЛЬ), то хоть одно из ннх достигается в некоторой точке с между а и Ь. В таком случае из теоремы ферма ') В действительности Р О л л ь высказал зто утверждение лкгль для маогочленов. 15 Г. М. Фи»ге»г»ггь», и. 1 (ы2 ГЛ. П1. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ следует, что производная у'(с) в этой точке обращается в нуль.
Теорема доказана. На геометрическом языке теорема Р о л л я означает следующее: если крайние ординаты кривой у=Лх) равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна У оси х (рис. 50). Обращаем внимание иа то, что непрерывность функцииу(х) в з а мр кнутом промежутке (а,Ь) и сущеспювавие производной в о в с е м открытом промежутке (а, Ь) с у щ ественны для верности заключения теоремы. Функция у(х) =х— — Е(х) удовлетворяет в промежутке Рис. 50. (О, Ц всем условиям теоремы, за ис- ключением того, что имеет разрыв при х= 1, а производная 1'(х) =1 везде в (О, 1).
Функпня, определяемая 1 1 равенствами 1(х)=х при О~хм- и 1(х)=1 — х при — ~х~1, также 2 2 удовлетворяет всем условиям в том же промежутке, исключая лишь 1 то обстоятельство, что при х=- не существует (двухсторонней) производной; в то же время производная 1'(х) равна +1 в левой половине промежутка и — 1 в правой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
