Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Здесь Лу а +ае-ак а~х-1 Ж Лх Лх — »х» Воспользовавшись пределом, вычисленным в 77 [5) (б)), найдем: у'=11пт — =ах ° 1п а х а-оЛх В частности, о) Нсии д 1, то при х-О легко непосредственно получить значение производной: у'=О. если у=е", то и у'=е". Итак, скорость возрастания показательной функции (при а -1) пропорциональна значению самой фушщии: чем большего значения вз) 195 5 1. пРОизВОднАя и ее Вычисление функция уже достигла, тем быстрее в этот момент она растет. Это дает точную характеристику роста показательной функции, о котором мы имели уже случай говорить (ср.
бо!. 7' Логарифмическая функция: у=1ойех (0«аФ1, 0 х е ). В этом случае Лх~ !оа. 1'1+ — 1 ЛУ 1ока (х+ Лх) — !оке х 1 ( х ) Лх Лх х Лх х Воспользуемся пределом, вычисленным в 77 (5) (а)): Лу !оа, е у' =1нп — = ,„,Лх х В частности, для н а т у р а л ь н о г о логарифма получается исключительно простой результат: 1 имеем у' = —. х при у=1пх Лх 5!В— Лу 5!и (ХЧ-Лх)-5!и х 2 ( Лх) — -= — СОЗ 1ХЧ вЂ” ~ Лх Лх Лх ~ 2 ) 2 Пользуясь непрерывностью функщш сок х и известным !54, (8)) пре- 5!П а делом 1нп — — = 1, получим -о у'=1пп ---=созх*), „Лх *) Отметим, что зтв формула обязана своей простотой тому, что угол измеряется в р в див н в х.
Если бы мы стали измерять х, например, в градусах, предел отношения синуса к углу был бы равен не единице, е, квк легко видеть, —, и тогда мы имели бы ' 180 (яп х) = — со5 х. 180 Это дает (хотя, по существу, и не новое) основание для предпочтения, которое оказывается натуральным логарифмам при теоретических исследованиях. То обстоятельство, что скорость возрастания логарифмической функции (при а».1) обратно пропорциональна значению аргумента и, оставаясь положительной, стремится к нулю при безграничном возрастании аргумента, хорошо согласуется со сказанным по этому поводу раньше 165).
8 Тригонометрические функции. Пусть у=з(пх, тогда 196 [94 гл. ш. Пеон!подвыв н днэопепнцнллы Лналогнчно найдем: если у=сов х, то у'= -згл х. В случае у=(их имеем ип (х+Лх) ип х Лу 1я(х+Лх)-1ях соз (х+ Лх) сов х Лх Лх Лх ЯП (Х.~. ЛХ) СО5 Х вЂ” СО5 (Х.1. ЛХ) 5!П Х Лх совх соз(х-';Лх) Лл с05 х со5(хе Лх) Отсюда, как н выше, Лу у' =! Пп — =- —, = зесв х. 5 Лх сп55 х Лналогнчно, 1 у=с(ах, то у'= — —.= — сзсзл. йп' х если 94.
Производная обратной Функции. Прежде чем заняться вычислением производных от обратных тригонометрических функций, докажем следующую общую теорему. Теорема. Пусть !) функция>(х) удовлетворяет условиям теоремы и' 83 о су5цествовании обратной функции, 2) в точке хс имеет к о н е чную и отличную от нуля производную ~'(хь). Тогда для обратной ф>нкции я(у) в соответствуюи(ей точке ус=Ях„) также 1 сугцествует производная, равная —; —, У'(Х5) ' Д о к аз а тел ь с та о.
Приладим значению у=у„произвольное приращение Лу, тогда соответственное приращение Лх получит и функция х = фу). Заметим, что при Ау ыО, ввиду однозначности самой функции у=Ях), и Лх~б. Имеем Лх 1 г)у Лу ' Лх Если теперь Лу- О по любому закону, то — в силу непрерывности функции х=я(у) — и приращение Ах О. Но тогда знаменатель правой части написанного равенства стремится к пределу Ях„) ыО, следовательно, существует предел для левой части, равный обратной величине —,; он и представляет собой производную я'(ус). З"'(хч) ' Итак, имеем простую формулу: 1 У у'' 197 1 !.
ПРОИЗВОЛНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 2-1гу связывающему тангенсы двух углов а и )3, сумма которых ф~ к рав!'а 2 ' 39 Положим для примера у= ---а"'. Обратной для нее функцией будет х=!ой,у, Так как (см. 6") у„'.:=а' ° 1и а, то, по нашей формуле, 1 1 1ок„е у к а х 1 в а у в согласии с 7'. Переходя теперь к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, мы для удобства обменяем ролями переменные х и у, переписав доказанную формулу в Виде 1 у:, 9' Обри гные тригонометрические функции. Рассмотрим функцию у=атее)пх (-1. х -1), причем — — у«'-.
Она 2 2' является обратной для функции х=зшу, имеющей для указанных значений у положительную производную х =сову, В таком случае существует также производная у„и равна, по нашей формуле, 1 1 1 1 ух Ху СОВ У )!! е!ВЧ у )/1 хй корень мы берем со знаком плюс, так как соз у ~ О. Мы исключили значения х= -~1, нбо для соответствующих значений у= '.-- производная х =сову==О. 2 Функция у=агсгех (- «х + ) служит обратной для функции х=!йу. По нашей формуле 1 1 1 1 Ху ВЕС'У 1Ч-гя'У 1-, 'х' Легко выяснить ее геометрический смысл. Мы знаем, что производная у„' есть тангенс угла и, образованного касательной к графику функции У=Дх) с осью х.
Но обратная функция х=е(у) имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откла- дывается по оси у. Поэтому производная х' равна тангенсу угла составленного той же касательной с осью у (рис. 39). Таким образом, выведенная формула своди гся к известному соотношению 1 !е г)=.—, !Ей 198 ГЛ. П1. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Аналогично можно получить: 1 для у = атосов х у' = — — =- )Т:ХЗ 1 для у=агсс18х у = —— 1+х' ( — 1~хк!), ( — Х~1 ). для производных. Сделаем сводку всех Вывс- у'=б у= г'х 4.
у ах у=с* 5. У=1об,х у=!пх б. У=в)их 7. У=совх 8. У=гйх у'=совх — в!Их 1 весе х =— еовЗ Ф 1 — свс' х = — —. ЯВЗ Ф 9. У=сгбх 10. у= агсв)их 11. У=агссовх 12. У=агс18х 13. У=агссебх у'= 9б. Формула для прирвщеииа функции. Докажем здесь два простых утверждения, имеющих приложения в дальнейшем. Пусть функция у=!'(х) определена в промежутке и,. Исходя из определенного значения х=х, из этого промежутка, обозначим через ах 0 произвольное приращение х, подчиненное лишь тому ограничению, чтобы точка х,+5х не вышла за пределы Й.
Тогда соответствующим приращением функции будет Ау =,ф(х ) = !(хе+ Лх) -Дх ). 95. Сводка формул денных нами формул: 1. У=с 2. У=х 3. У=хе 1 у= у'=1 У =!зхе ' 1 у= —— 1 у == 2 )1Ф у'=а*.1аа у'=с" !ВВ» е у'=— х 1 у'=— Ф з ь пгоизводнля и вв вычислвнив ЛЯх ) =Г'(хь) Лх+ а Лх Лу=у„'. Лхга Лх, (2) или, короче, (2а) где а ест величина, зависящая от Лх и вмеспле с ним стремящаяся к нулю. Так как, по самому определению производной, при Лх 0 Ау у ° лх 'х то, полагая Ау а= — — у = лх хл видим, что и а О. Определяя отсюда Лу, придем к формуле (2а). Так как величина а Лх (при Лх 0) будет бесконечно малой высшего порядка, чем Лх, то, употребляя введенное в 60 обозначение, можно наши формулы переписать в виде Лу(хь) =у'(хь) Лх+ о(Лх) Лу=у„' Лхоо(Лх).
илн (За) 3 а меч а н не. До сих пор мы считали Лх 0; величина а и не определена была при Лх =О. Когда мы говорили, что а 0 при Лх О, то (как обычно) предполагали, что Лх стремится к 0 по любому закону, но не принимая нулевого значения. Положим теперь а=О при Лх=О; тогда, разумеется, формула (2) сохранится н при Лх=О. Кроме того, соотношение и 0 при Лх 0 можно понимать и в более широком смысле, чем раньше, не исключая для Лх возможности стремится к О, принимая в числе прочих и нулевые значения. Из доказанных формул непосредственно вытекает: 2' Если функция у =з'(х) в точке х„имеет (конечную) производную, то в эллой точке функция необходимо непрерывна. Действительно, из (2а) ясно, что соотношение Лх 0 влечет за собой Лу О.
97. Простейшие правила вычисления нроизводнык. В предыдущих лп' мы вычислили производные для элементарных функций. Здесь н в следующем и' мы установим ряд простых правил, с помощью которых станет возможным вычисление производной для любой 1 Если функция у=лх) в точке хь имеет (конечную) производную у„'= 1'(хв), то приращение функции может быть представлено в виде ГЛ. П!. ПРОИЗВОДНЫЕ И ЛИФФЕРЕНЦИАЛЪ| функции, составленной из элементарных при посредстве конечного числа арифметических действий и суперпозиций [5Ц. 1.
Пусть функция и=ц|(х) имеет (в определенной точке х) производную и'. Докажем, что и функция у си (с=сопок) также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее. Если независимая переменная х получит приращение Лх, то функция и получит приращение Ли, перейдя от исходного значения и к значению и+Ли. Новое значение функции у будет у+Лу=с (и+Ли). Отсюда Лу=с Ли и йу . ли !Нп — = с.!Нп — = с ° и .
л„о Лх л„о Лх Итак, производная существует и равна у'=(с и)'=с и'. Эта формула выражает такое правило: постоянный множитель может быть вынесен за знак производной. П. Пусть функции и=|у(х), е=зр(х) имеют (в определенной томке) производные и', е'. Докажем, что функция у = и х е также имеет производную (в той же тоже), и вычислим ее. Г1ридадим х приращение Лх; тогда и, е и у получат, соответственно, приращения Ли, Ле и Лу. Их новые значения но Ли, е ЕЛе и у+Лу связаны тем же соотношением: уФЛу=(ич-Ли)~(еФЛе). Отсюда з 1 1 Л лу ло ле лх Лх Лх ау . ои . йо !пп — = 1пп — „~ 1пп — =- и' х е', л,=о " л -о Их л„-о Л л Лх так что производная у' существует и равна у' = (и ~ е)' = и' х е'.
Этот результат легко может быть распространен на любое число слагаемых (и притом — тем же методом). 1П. При тех же предположениях относительно функций и, е, дока.- жем, что функция у=и ° е также имеет производную, и найдем ее. Приращению Лх отвечают, как и выше, приращения Ли, Ле и Лу; при этом уФЛу=(иФЛи) (е+Ле), так что Лу=Ли.о+и ЛеФЛи Ле ду Ии ао ии — = — ев и.— Ф вЂ” Ле. ях лх лх 201 5 !. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ Так как при Лх О, в силу 96, 2', и Ло О, то Лу . Лв .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
