Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 40
Текст из файла (страница 40)
а Доказать, что производная ч ство й фуикции (если существует) сама является нечетлой фувкцие(ь а производная иечетвой фувкции сама будет четной. 26) Вычислить провзводвую для фувкции у = 1ц ~ х( лри хь О. 1 При х О„очевидца, у'= —; покажем, что та же формула сохравяется и при к хч О. Действительно, вычвсляя производную для фувхщвс р Рис. 40 у=!пск1 1п( — х), как сложной фуикции, будем вмете 1 1 у'= —.(-1) =— — х х и в этом случае.
27) Рассмотрим кривую у - ахт (т 0). Угловой коэффициент касательной к вей в некоторой ее точке (х, у) будет (91 — М): сй«-у' тахт Это обстоятельство делает легким самое лостроевие хасательвой. (Обобщевие результата л' 912 28) Для кривой (цел лая линия) х у=а сЬ вЂ” (а 0), а подобным же образом, х сй«=у'=э)с —.
о На этот раэ определим (считая х 0) 1 а х у сл— а соз « = ~/1+сиз«1Г х ~ 1+алев а По рис. 40 видно, что отрезок ТР (так называемая л о д к а с а тел ь в а я) равен у ахт х ТР Сйсс тахт ' т 2ОИ [99 гл. Вь пгоизводиын и диеенваициалы тах что у соз«=а. Если из основания // ординаты у=/зМ (рис. 41) опустить перпендикуляр //Б на касательную МТ, то отрезок /)5 окажеюя равным а. Отсюда снова вытекает простой способ построения касательной к рассматриваемой кривой: на ординате /ЗМ, как на диаметре, строят полуокружнссть и вз точки В делают засечку 5 радиусом а: прямая МЯ у и будет касательной. 29) Пусп материальная точка колеблется по оси около некоторого среднего положеыия по закону к=А а!и (вг-~-а) (А, в 0).
Такое колебание носит название гарм«ли«ее«ага; А — его амплятуда, га — частота, « — ыачальная фаза. Ю «' Взяв производную от пути г по времени г, найдем с корост ь движения: е = Ага ' соз (вг -~-«). Наибольшей величины х Агс скорость досгигает в моменты, когда «=0, т. е. точка проходит через среднее положеыие. Наоборот, ко~да ючка находится в ыаиболыпем удалении от этого среднего лоложсыия (г= яА), скорость е=-О. Производная от е по и а = — А«Р з!и (ге/-)-«) даст ыам у скор ение, с которым движется точка; очевидно, а — в' г.
Отсюда, если ввести массу т движущейся точки, то, по закону Ньютона, сила Г, под действием которой происходит гармоническое колебание, выразится так: г"= — т«Р г. Как видим, оыа всегда направлена к среднему положенвю (ибо имеет знак, обратный знаку г) и пропорциоыальна удалению точки от него. 30) Движение, происходящее по закону г Ае "«зш«» (А, /с, го О), называется затухав«/ам колебанием, ибо наличие множителя е а/ заставляет точку, хоть и колеблясь около среднего положения, асе же стремиться к совпалению с ним: !ип г=О. ! е В этом случае е=.
г[ — -Ае а'(го.соя в/ — /г з!и а») и а=.е)= -Ае ь/(«Р з!и «я+2«»г соя в/-/Р а[пса). Вводя в скобках еще члены ф йжз!и вг, после очевидных преобразований получим а- -Ае-/а[(ар+/гг) з[пвг+2/г(в соя в/-к з!па»)]= -(«Р-~-/Р).г-2/! е. Сила, под действием которой проысходвт подобыое движение, равна г — («Р+/гз)т г-2/гт е. Мы видюг, что она слагается вз двух сил: 1) из силы, пропорциональной расстоянюо точки от среднего положения и направленной к этому среднему поло- гоч 101) 1 з, производная и нн вычислвпин женою (как и в случае гармонического колебания), н 2) ю тормоз я щей движение силы, пропорциональной скорости и направленой о б р а т н о скорости.
100. Односторонние производные. Обратимся, в заключение, к обзору ряда особых случаев, которые могут представиться в отношении производных. Начнем с установления понятия об о д н ос т о р о н н и х производных. Если рассматриваемое значение х является одним нз концов того промежутка Х, в котором определена функция у =Дх), то при вычислении предела отношения — приходится лу Лх ограничиться приближением Лх к нулю лишь справа (когда речь идет о левом конце промежутка) -т илн с л е в а (для правого конца).
В этом случае говорят об о дносторонней производной, справа илн слева. В соответствующих точках график функции имеет одностороннюю касательную. Может случиться, что и для виутреннеи точки х существуют Рис. 42. лишь односторонниепределы отношения — (при Ах- + 0 или Лх- — О), не равные между собой; их лу также называют односторонними производными. Для графика функции в соответствующей точке будут существовать лишь о дн о с т о р о н н н е касательные, составляютцие угол; точка будет у гловойй (рнс. 42). В качестве примера рассмотрвм функцию у=у(х)= !х!. Исходя из значения х= о, будем иметь Лу-у(О+я )-у(О)=у(Лх)= !Л ~.
Если Лх О, то лу Лу = Лх, йю — = 1. ах-е Лх Если же Лх О, го лу Лу = — Лх, !!щ — = — 1. ,ь-с Лх Начало координат является угловой точкой для графика этой функции, состоящей из биссектрис первого в второго координатных углов. 101. Бесконечные производные. Если отношение приращений— лу Лх при Ах 0 стремится к + (- ), то это несобственное число также называют производной (н обозначают как обычно). Аналогично устанавливается понятие об о д н о с т о р о н н е й бесконечной производной. Геометрическое истолкование производной как углового 14 Г. М. Фамевгельч.
т. Г гю ГЛ. Цг. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПО1 коэффициента касательной распространяется и на этот случай; но здесь — касательная оказывается параллельной оси у (рис. 43, а, б, в, г). В случаях (а) и (б) эта производная равна, соответственно, и — (обе односторонние производные совпадают по знаку); в случаях же (в) и (г) односторонние производные разнятся знаками. у глу (г) (р ру Рис. 43. Пусть, например, 31(х) хв; при хио формула 3, 95 дает в в 3((х)= — х '= 3 33 но она неприложима при х=о.
В этой точке вычислим производную, исходя непосредственно из ее определения; составив отногоение зв(О+ в(х) -гв(О) (г(х)в 1 видюв, что его пределом при г(х-О будет + . Аналогично убеидаемся, что для фунянии гв(х) хв при х =- О производная слева равна —, а справа -~ Пользуясь расширением понятия производной, можно дополнить теорему и' 94 о производной обратной функции указанием, что н в тех слУчаах„когда 1'(хо) Равна О или 1 «, пРоизводнаЯ обРатной фУнкцин к'(уя) существует и равна, боответственно ~ или О. Например, л ( л) так как функция ззп х при х= ~-имеет производную соз рц =О, то 2 для обратной функции агсзвпу при у= ~1 существует бесконечная производная (именно, + .). 1ОЗ) 2П ! 2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ 1!12. Дальнейшие примеры особых случаев. 1' Прапоры ивсуиГвсгивоваиия производивй. Уже фуикпия у [х! а точке х=о [см. 100) не имеет обычной, даустор о н н е й, производной. Но интереснее пример фуакции 1 Ях) = щ — (при О), ЯО) = О, х непрерывной и при х = 0 [70, зз), но не имеющей и этой точке даже односторонних производных. Действительно, отношение ЯО+ 2!Х) — у"(О) Япх) 1 = — -=з!и— ах ах г[х ие стремится ни к какому пределу при ах х О. По графику этой функции (рис. 24) легко усмотреть, что секущая ОМ„исходящая из начальной точки О, не имеет предельного положения при стремлении М, к О, так что касательной к кривой и начальной точке нет (дюке односторонней).
Впоследствии (ао втором томе) мы познакомимся с замечательным примером функции, непрерывной при всех значениях аргумента, но ни при одном из них не имеющей производной. 2' Примеры разрывов яроизводиой. Если для данной функцииу=у(х) сущестиует конечная произяодная у' =у'(х) и каждой точке некоторого промежутка К, то эта производная, а свою очередь, представляет собой а К функцию от х.
В многочисленнь1х примерах, которые нам до сих пор встречались, эта функция сама оказывалась непрерывной. Однако, это может быть и не так. Рассмотрим, например, функцию 1 Ях)=х'ып — (при хыо), ЯО)=О. х Если хи О, то ее производная вычисляется обычными методами: 1 1 у (х)= 2х'5!п — соз х х но полученный результат неприложим при х=о. Обращаясь а этом случае непосредственно к самому определеищо понятия производной, будем иметь ЯО+ Л ) -ЯО) у"(0) = 1лп =!лп Лх мп — =О.
вх-е г)х вх е ах Вместе с тем ясно, что Пх) при х-0 не стремится ии к какому пределу, так что при х=о функция у"(х) имеет разрыв. То же спраяедлиио и для любой функции 1 Ях)=х з!и — (при хио), ЯО)=О, х если только 2 а 1. В этих примерах разрывы произаодиой оказываются в т о р о г о р о д а. Это — не случайиосгге ниже [113) мы увидим, что разрывая первого рода, т.
е. скачков, производная иметь не может. 0 2. Дифференциал 103, Определение дифференциала. Пусть имеем функцию у=у(х), определенную в некотором промежутке 2ь" и непрерывную в рассматриваемой точке х,. Тогда приращению х)х аргумента отвечает приращение Лу =ЛЯхе) =Ях ч г)х) -Ях,), г1г 1шз ГЛ. Ш. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ бесконечно малое вместе с Лх. Большую важность имеет вопрос: существует ли длч Лу такая линейная относительно Лх бесконечно малая А.Лх (А=сопят), что их разнос«не оказывается, по сравнению с Лх, бесконечно малой высшего порядка: Лу=А Ах+о(Лх).
При Амб наличие равенства (1) показывает, что бесконечно малая А.Лх эквивалентна бесконечно малой Ау н, значит, служит для последней ее главной частью, если за основную бесконечно малую взята Ах 162, 631. Если равенство (1) выполняется, то функция у=лх) называется д и ф ф е р е и ц и р у е м о й (при данном значении х = х„), само же выражение А Лх называется дифференциалом функции и обозначается символом ау или «(Г(хе). [В последнем случае, в скобках указывается исходное значение х *).) Еще раз повторяем, что дифференциал функции характеризуется двумя свойствами: (а) он представляет линейную (однородную) функцию от приращения Лх аргумента и (б) разнится от приращения функции на величину, которая прн Лх О является бесконечно малой порядка высшего, чем Лх. Рассмотрим примеры. 1) Площадь Д круга радиуса г задается формулой а=иге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
