Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ло !пп — =! Нп — ° о 1- и ° 1пп — — = и' ° о м и ° о', Л . Л' '„Л лх о х лх о х л о т. е. существует производная у' и равна у'==(и ° о)'=и' ° о Р и ° о'. Если у= пою, причем и', о', ю' существуют, то у' = ((ив) и) ' = (ио) ' ° ю .
(ио) . ю' =- и'ою е и!узо з ив!!>'. Легко сообразить, что для случая и сомножителей будем иметь аналогично: (иою... л)' = и ою... в в иоиг... л+ иою'... в е... ч- иою... в'. (4) Для того чтобы доказать это, воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что формула (4) верна для некоторого числа и сомножителей, и установим ее справедливость для п,.1 сомножителей: ввз (иою... ЗЗ)' =- ((иою... л) ° !)' = (ито...
з)' ° ! ь (иозо... з) ° Г'; если производную (иозо... л)' развернуть по формуле (4), то придем к формуле (иоиз... зз7 = и'по... з! ь ио ю... л! ч ... в и!Ло . в'г е ито... з!', совершенно аналогичной (4). Так как в верности формулы (4) при п=2 и 3 мы убедились непосредственно, то эта формула верна при любом и. ?Ч.
Наконец, если и, о удовлетворяют прежним предположеяиям в и, кроме того, о отлично от нуля, то мы докажем, что фупкиия у=- также имеет производную, и найдем ее. При тех же обозначениях, что и выше, имеем у+Лу= —, вели РЕЛР ' так что Ли.в — и Лв то+Л ) Ли Ло — ° в-и— Лу Лх Лх Лх в (оьлд! 198 Гл. 1п. пвоизводньга и диеевувнциолы Устремляя здесь Ах к нулю (причем одновременно и Ао О), убе- ждаемся в существовании производной ~в) й и-в о' 98. Пронзводпаа сложной функции. Теперь мы можем установить весьма важное при практическом нахождении производных правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций.
Ч. Пусть 1) функиия и=у(х) имеет в некоторой точке хо гдюизводную и„'=9'(х ), 2) функиия у=ли) имеет в соответствующей точке и =р(хо) производную у'„=('(ио). Тогда сложная функция у=у((о(х)) в упомянутой точке хо также будет иметь производную, равную произведению производных функций Ди) и у(х): К(у(~)))'=г,'(р(х)) у'(х) ), или, короче, у» уи'и».
Для доказательства придадим х произвольное приращение Ах; пусть Аи — соответствующее приращение функции и=9(х) и, наконец, Ау — приращение функции у =у(и), вызванное приращением Аи. Воспользуемся соотношением (2а), которое, заменяя х на и, перепишем в виде Ау=у„' Ли» х Аи (а зависит от Ли и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на Ах, получим 4у , Ав Аи — ' — +а Ах " »(х дх ' Если зх устремить к нулю, то будет стремиться к нулю и Аи [9б, 2'), а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от Ли величина а.
Следовательно, существует предел Ау, . Ли и Бш — =у,' йш — =у„и„', л»-о дх л -о дх который н представляет собою искомую производную у„'. 3 ам е ч а н не. Здесь сказывается полезность замечания в 96 относительно величины а при Ах=О: покуда Лх есть приращение н ез ависимой переменной, мы могли предполагать его отличным от нуля, но когда Ах заменено приращением функции и =9(х), то даже при АхмО мы уже не вправе считать, что г)имО. и) Подчеркнем, что символ Д(р(хи)) означает пропэводвую фувхпвп г"(и) по ее аргументу в (в пе по х), прв эпачеввв в,-р(х) этого аргумента.
5 Е ПРОИЭВОДНАИ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 99. Примеры»). Свачала приведем несколько примеров приложевня правнл 1- 1Ч. 1) Рассмотрим многочлев: у=а»х"+а,х" »+...+а„— »х»+а„,х+аи. По правилу П, а затем 1, будем иметь у' (а»х")'+ (а,х" ')'+ ... +(а„ »х»)'~-(аи »х)' +(аи)' = = а»(хи)'+ а,(х" ')'+... + а„,(х')'+ аи,(х)' Ь (аи)'. Использовав же формулы 1, 2, 3 [95[, окончательно получим у'=яа,х" '+(и-1)а,х" »4... 42а„,хчаи 2) у= Дхс-5Х+1) е". По правилу 1П у' (2х»- 5х+1)' е" +(2х» - 5х+1) (е")'.
Опкраясь ва предыдущий првмер и формулу 4 [95), найдем: у'=(4Х-Я е"+(2х'-5Х+1).е"-(2х'-х-4) ех. ах+ 5 3) у= —. По правилу 1Ч, х»+ 1 (ах+ Ь) (хе+ 1) ( +(»)(х»+ 1) х» + 1)- (ах+ в) ° 2 — — 2ЬХ+а (х»+ 1)» (х»+ 1)» (х»+1)» 4) Вычислим снова производную функции у-гвх, исходя из формулы у- »ШХ = —. Пользуясь правилом 1Ч (и формулами б, 7, 9$) получим СО» Х (»шх)' соки-5[пи. (со»х)' сок'я+5[о'х 1 СО»' Х со»» х со»5 х (ср.
8, 95). Х5Ш Х+СО»Х 5) у= . Здесь приходится пользоваться сначала правилом 1Ч, а ХСО»Х вЂ” 5»ПХ затем правилами П и 1П (и формулами б, 7, 95): (хзшх+соэх) (хсокх-кш х)-(хил х+сокх)(хсокх-»ш х)' У— (Х СО5 Х вЂ” »Ш Х)» х сок х. (х со» х — »ш х) — (х кш х+ сок х) (- х 5! и х) х» (Х СО» Х -5Ш Х)» (Х ОМ Х -5Ш Х)» Вычисление производных числителя и знаменателя мы произвели, не рас- членяя его на отдельные шаги. Путем упражнения необходимо добиться того, чтобы вообще писать производные сразу.
Примеры иа вычисление производных сложнык фуи«ций: б) Пусп у=1п эш х, нваче говоря, у-[п и, где и ыпх. 1 По праввлу Ч, у»=уй.и». Производная уй ([и и)й — (4юрмула 5) должна и быль взята при и=яш х. Таким образом, 1,, сок х уй — ° (»рл х)' = —, с(8 х (формула 6). пп х япх ») Буквамих,у, и, еннже обозначены переменные, адругнмибушшми— постоянные величвны. гл, нь пеоизводныи и дивиииинцнялы 204 11) у =. 2их х у„'=2из» !п 2 (ып х)'=йз 2 сов х 2ихх (У; 4, б) 1 12) у агсзй —; Х 14 х (М! 12, 3). Случай сливной функции, полученной в результате несколькик суперпозипий, исчерпывается последовательным применением правилаМ: 13) у 18 — х; тотда 2 2 ~) !8 — х 2 (У! 3) (У; 8) „1 БН1"— 14) у е "; в этом случае ,1 их' — / у',-е !апз — ~ х, ,,т 6!и'— х 2 зиз зиз х~ х)х ! »1ч» — 1 1 (11' е ' 2йп — соз — ~ — ~ х х х х (У; 4) (У; 3) ,1 л!и*— х = — — з!п — е х' х (У; 3) 7) у= !)! 1-х', т.
с. у= (и, где и=-1-Ьхз! по правилу М, 1 х у„'= — (1+хе)'=. (формула 3; пример 1). 2У1+х !'1+д 8) у=ех', т. е. у=е", где и=х'; ух --- е»' (х")' = 2х ел' (У;4и 3). Консчио, в отдсльном вы лисы ванин соси»влип»иизх функции на дслс нот надобности. 9) у=з!пах; у„'=соках (ах)'=а ° соках (Ч; 7, 1, 2). 1О) у=(хзбхб1)"; у„'=е(хе+к+1)" '(хзбх+1)'= и(2х-Ь !)(хз~-х+1)и" л 1(М; 3, пример 1). 205 1 ). пуоизводиая и ин вычислю)ив Дадим ец)е несколько примеров на применение асса правил: е — х 1 ехх е-х 15) у=аЫх= у'= — [(ех)х'-(е х)х]= — =сцх. 2 2 2 Наоборот, есле у = сЫ х, то у'-зЫ х.
Наконец, как и в 4), легко получить: 5Ы х 1 если у= бб х —, то у' сЫ х сЫх х 1 У = з1Р х если же у=сбп х, то 1 у„' .(хв [)хе+1)„= х+ ~х'+1 1б) у = !и (х )- ))хх+ !); 1 ! х 1 1 19— х+ )гх'421 1, )хе )-!)' '[)х'ь! х 17) у= пх, '1'хх -Ь ах 1. )~ХЯ4 ах. х. 1 )ххвах 1 у' =. ()Гхя- пх) (хх+ а")х) х 1 2х 18) у= — ага!я — (-1 х 1); 2 1 —.Хх 1 1 ! (1 — хх) — х ( — 2х) 1 У 2 (1 — хй)х 1+ хх "! ! ! -"! ! ))ах-~- Ь вЂ” !)Ь вЂ” ас 19) у= '!)Ь вЂ” ас )гах+Ь+ )'Ь вЂ” пс (мь! предполагаем: Ь-ас О); 2 ))ах.~-ь ть Ы )Ь вЂ” «с а 1 2 [)ж+Ь У = )гь:ас )/ахвь- ~~-пс 2 1) ах+Ь 20)) - — агс!9 !(— ).—,ь --ь [)ах ) (х+с) )~пх+Ь (здесь предположево: ас — Ь О); 2 1 1 а 1 У = ')[ас-Ь 1+ах+Ь '))ж-Ь 2 ))Ы+Ь Ь(хбс) )Iах+Ь ас-Ь Тот же результат можно получить и из других соображений.
Мы видели в 49, 4), что функция у=!л (х+ )lхх41) является обратной для функции х=яЫ у; позтому [94; пример 15; 48, б'1 1 1 1 1 Ух= с" У )''зЫху+1 '))хх41 [99 гл. па пвоизводнын и дневи шгциялы 1, аяв х+Ы и л! 21) у- агсяп !([Ь[ а; — — х« — ); )сав Ьв а+Ьяп х ~ ' 2 2~ ' 1 1 а сов х-(аяЬ вш х)-(а вш х+Ь) Ь сов х 1 а+Ьвсп х (а+ Ь яп х)' "[сЭ-Р ~ав!пк+ь)' а+Ьвы х 1 Ь+азш х- ~~Р— ав сов х 22) у йс ([а[- [Ь[); [(Р:Р а+Ьяп» 1 асовх+[сЬв — авз!пх Ьсовх 1 у'- [!(а — ав Ь+аяп х- [([Ф-ассов х а+Ьяа х а+Ьвш х 23) В виде упражнения, исследуем еше вопрос о производной с те и е ни опоказательного выражевияу=ив(е 0),гдеияесутьфункцииотх,имеющие в данной точке вронзводиые и', е'.
Прологарифмировав равенство у = ив, получим 1пу=-е !пи. (5) Таким образом, выражение для у можно переписать в ваде у = ессеи, откуда уже ясно, что производвяя у' существует. Самое же вычисление ее проще осуществить, приравнивая проязводиые по к от обеих частей равенства (5). При атом мы используем правила с! и П! (помня о том, что и, е и у суть функции от»). Мы получим 1 1 — у'.—.е' !и ич-е — и', у и откуда /осу у' = у ~ — ь е' [п и), или, подставляя вместо у его выражение, с'еи' у' ие ~ — 9 е' 1п и) .
и (б) (в!и х если у=хе" х, то у„'=хакк~ — +сов х 1и х) . 1 х 24) Предполагая, что функция)'(х) имеет производную у"'(х), написать выражения производных для функций (а) яп у(х), (б) ейх), (в) 1п У'(х) по х, и для функций (г) )(з!и с), (д) )'(ес), (е) с([п с) по с. Ответ (а) соз с"(х) у'(х); (б) еУ(х! Г'(х); (в) с (х) у (») 1 (г) у"'(в!и с) сов с; (д) у"'(ес)ес! (е) 1"(!и с) —. Зта формула впервые была установлена Лейбницем и И.
Бернулли ()ойапп Вегпоп!!!). Напрямер, 1 С. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ По поводу последввх трех примеров (г), (л), (е) обращаем внимание читателя ва то, что символ С'(...) означает производную по аргу м ел ту х, от кото- рого зависит функция у(х), Во цри звачевии этого аргумевта, соответствевво, к=зсп с, ее, )ц с, уже зависящем от с. Ср. сноску ва стр. 202. у 25) Фующия с(х), овределеввая в симметрвчвом отвосвтельво 0 промежутке, вазывается четной, если Т(-х) у(х), и нечетной, если у(-х) = -г(х). (првмерами четных Функций могут служить четвые сгепеви х', х', а также соз х, сй х; примеры вечетвых фувкций; нечетные сгецеюс х, х', ..., Илх, зЬх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
