Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ка сат ель ной к кривой(К) в точке Мпаэывается пред ельное положение МТ секущей ММ, когда точка М, вдоль по кривой стремится к совпадению с М. (Смысл этого определения состоит в том, что угол 4 М,МТ становится сколь угодно малым, лишь только достаточно мала хорда ММ,). Применим для примера зто определение к параболе у=ах-', в любой ее точке М(х, у).
Так как касательная проходит через эту точку, Рис. 38. то для уточнения ее положения достаточно знать еще ее угловой коэффициент. Мы и поставим себе задачей найти угловой коэффициент 18 и касательной к точке М. Придав абсциссе х приращение Ах, от точки М кривой перейдем к точке М, с абсциссой х+Лх и ординатой у+ гзу = а(х+ г1х)' (рис. 38, а).
Угловой коэффициент 18 р с е к у щ е й ММд определится из прямоугольного г~МФМ,. В нем катет М)ч равен приращению абсциссы Ах, а катет ФМп очевидно, есть соответствующее приращение ординаты Лу=а(2х Лх-ьАхт1, так что 1819= — =2ах+а г)х. ду Ах Для получения углового коэффициента касательной, как ле нять, нужно перейти здесь к пределу при Лх О. Мы приходим таким образом к результату: 18 и= йш(2ах+ а. Лх) =2ах.
лв-ь 189 921 з ь пгоизводнля и вв вычислвнив [Заметим попутно, что отсюда вытекает удобный прием для фактического построения касательной к параболе. Именно, из с»МРТ (рис. ЗВ, б), отрезок у вхв х ТР= — = — =-, 18% 2вх 2 ' так что Т есть середина отрезка ОР. Итак, для того чтобы получить касательную к параболе в ее точке М, достаточно разделить пополам отрезок ОР и середину его соединить с точкой М.) В случае любой кривой, с уравнением у=Дх), угловой коэффициент касательной устанавливается подобным же образом. Прнращению Лх абсциссы отвечает приращение Лу ординаты, и отношение .'1у »»х выражает угловой коэффициент секу щ е й, 1я9».
Угловой же коэффициент касательной получается отсюда путем перехода к пределу при Лх О: Ау 1ка= 1пп1я»р= 11ш — . л, о и» одх ' 92. Определение нроизводиой. Сопоставляя операции, которые мы осуществляли при решении рассмотренных выше фундаментальных задач, легко усмотреть, что в обоих случаях — если отвлечься от различия в истолковании переменных — по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой переменной и затем вычислялся предел их отношения.
Таким путем мы и приходим к основному понятию дифференциального исчисления — к понятию производной. Пусть функция у=Дх) определена в промежутке Х. Исходя из некоторого значения х=хв независимой переменной, придадим ему приращение Лх' О, не выводящее его из промежутка Л", так что и новое значение х,—:Лх принадлежит этому промежутку. Тогда значение у =Дхв) функции заменится новым значением у 1 Лу =Дх„+ Лх), т. е.
получит приращение Лу =Лак ) =Яхвэ Лх) — Дхв). Предел отношения приращения функции Лу к вызвавшему его приращеншо независимой переменной Лх, при спчремлепии Лх к О, пь е. 1)ш 1)ш 0 в з (хо»')х) » 1хо) $» 0 х л» О гл. и. еункции однои пш нмнннои 181 170 П - е д о к а з а т е л ь с т в о .
Рассмотрим все те точки х = х промежутка [а, Ь], для которых Ях). О. К их числу, например, относятся точка а и (в силу леммы) близлежащие к ней точки. Множество (х) ограничено сверху числом Ь. Положим теперь с=зпр (х) [11]; мы утверждаем, что у(с) = О. Действительно, допустим противное; тогда либо 7"(с) О, либо Лс) О. Если бы было у'(с) -О (тогда заведомо с Ь, ибо нам дано, что у'(Ь) 0), то — по лемме — и правее с нашлись бы значения х, для которых у'(х) О, а зто противоречило бы определению с, как верхней границы для (х).Еслижебылобыу"(с) О,то — снова на основании леммы — имели бы у'(х) О и вблизи с слева, именно — в некотором достаточно малом промежутке (с — Ь, с], а тогда там вовсе не было бы значений х, что также невозможно, ибо с, по определению, есть т о ч н а я верхняя граница для (х). Теорема доказана. Заметим, что требование непрерывности функции 1(х) в замкнутом промежутке [а, Ь] существенно: функция, имеющая разрыв хоть в одной точке, может перейти от отрицательного значения к положительному и не обращаясь в О.
Так будет, например, с функцией 1 1'(х) =Е(х) — —, которая нигде не принимает значения О, хотя ЛО) = 2' 1 1 = --, а у'(1) =-- (скачок при х = 1). 2' 2 81. Применение к решению уравнений. Доказанная теорема имеет применение при решении уравнений. Прежде всего, с се помогнью устанавливается существован н е корней.
Например, для всех очевиден корень х= 4 уравнения 2"=4х, но труднее заметить существование еше одного корня. А между тем, функция 1 у"(х)=г"-4х прн х=О принимает значение ПО)=1 О, а при х= — — значение 111,— у" ~ — ) = ] 2 — 2«0, следовательно (так как она непрерывна), обращается в 0 в (2] 1 некоторой точке между 0 и —.
2 Другой пример: рассмотрим, вообще, алгебраическое уравнение нечетной степени (с вещественными коэффициентами) Пх)ма,хэ"+'з;а,хэ" +...+авэх+атч,=О. При достаточно больших по абсолютной величине значениях х многочлен имеет знак старшего члена, т. е. при положительном х — знак а„а при отрипательном х — обратный знак. Так как многочлен есть непрерывная функция, то, меняя знак, он в промежуточной точке необходимо обращается в О. Отсюда: всякое алгебраическое уравнение нечетной степени (с ввигвстввнзэыми коэффициентами) имеет ло крайней мере один веигвстввнный яорвнв.
Теоремой К о ш и можно пользоваться нс только для установления существования корня, но и для приближенного сто вычисления. Поясним зто примером. Пусп у"(х)=хв — х — 1. Так как у"(1)= — 1, у"(2)=13, то многочлсн имеет 92! Ф Ь ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 19! Именно, если приращению времени Лс отвечает приращение скорости Ло, то отношение Ло 1'ср,= Лр выразит с р е д н е е у с к о р е н и е за промежуток времени Лб а пре- дел его даст ускорение движения в данный момент времени: Лр а — )пп а =!1ш-- ср Л! Л1 О Лс О Таким образом, ускорение есть производная от скорости по времени. Обратимся к учению о теплоте — и с помощью производной установимпонятие те ил о емкости тела при данной те мпературе. Обозначим'входящие в вопрос физические величины следующим образом: 6 — температура (в градусах С), И" — количество тепла, которое нужно сообщить телу, при нагревании его от Ос до 6' (в калориях).
Ясно, что )р' есть функция от 0: Ю'=у (6). Приладим 0 некоторое приращение Л0, тогда Йл также получит приращение ЛРК Средняя теплое мко сть прн нагревании от 6 до (6 с40)' будет ли' с со ЛВ. Но так как, вообще говоря, прн изменении Л6 эта средняя теплоемкость меняется, мы не можем принять ее за те плоемкость при данной температуре 0.Дляполученняпоследнейнужно перейти к пределу: Лн' !'ш с'р )(ш в ло-о в-о ЛВ Итак, можно сказать, что спеплоесикосспь тела есть производная от количества тепла по телспературе.
Наконец, возьмем пример нэ учения об электричестве: установим понятие о силе переменного тока в данный момент. Обозначим через р время (в секундах), отсчитываемое от некоторого начального момента, а через Д вЂ” количество электричества (в кулонах), протекавшего за это время через поперечное сечение цепи.
Очевидно, что Д есть функция от и Д =.у(!). Повторна предыдущие рассуждения, получим, что средняя сила тока за промежуток времени л)р будет ср. Л 192 192 гл. ш. производнын н диоонввнциалы а сила тока в данный момент выразится пределом Г= 1пп т«р — — 1[ш —, Щ м-в '"' л«-о иг т. е. сила тока есть производная от количества протекшего электричества по времени. Все эти применения производной (число которых легко было бы увеличить) с достаточной яркостью обнаруживают тот факт, что понятие производной существенным образом связано с основными понятиями из различных областей знания.
Вычисление производных, изучение и использование их свойств и составляет главный предмет дифференциального исчисления. Для обозначения производной употребляют различные символы: ду вУ[х.) в Ых — или — '-в) Лейбниц (Ст. 'т«г.
Ье[Ьшх); «[х у' или у'(хв) Лагранж (Ь Ь. Ьайгапяе); 1>у или Ву(хя) Коши (А. 1.. Сапсйу). Мы будем пользоваться преимущественно простыми обозначения- ми Л а г р а н ж а . Если примешпот функциональное обозначение (см. второй столбец), то буква х в скобках указывает то именно значение независимой переменной, при котором берегся производная. Наконец, заметим, что в случаях, когда может возникнуть сомнение относи- тельно переменной, по которой взята производная (по сравнению с которой устанавливается «скорость изменения функции«), эта пере- менная указывается в виде значка внизу: у'„, У,'(х,), В„у, В„1'(х„), причем значок х не связан с тем частным значением х„независимой переменной, при котором берется производная.
(В некотором смысле, можно сказать, что цельные символы ф' — у' или у„', щ' или Вк1' играют роль функциональных обо значений для производной функции,) Запишем теперь, пользуясь введенными для обозначения производных символами, некоторые из полученных выше результатов. Для скорости движения имеем: ««з о= — или о=в« в« а для ускорения «[е а=— «[1 нли а= о,. «) Лона мы рассматриваем обозначения Л е И б и и ц а как цельные символы; ниже [[041 мы увидим, что их можно рассматривать и как дроби.
9з) 1 !. пгоизяодихя и ье Вычисление 193 Аналогична, угловой коэффициент касательной к кривой у =у'(х) напишется так: 1яа= — или (на=у', !(у 1(Х х и т. п. 93. Примеры вычисления производных. В качестве примеров вычислим производные для ряда элементарных функций: 1' Отметим, прежде всего, очевидные результаты: если у=с= = сопя(., то х)у =О, каково бы ни было г)х, так что у' =О; если же у =х, то Лу = х1х и у' =- 1. 2' Пусть теперь у.— -х", где л — натуральное число. Придаднм х приращение х)х *); тогда новое значение у будет у )-у)у=(хх Лх)"=лс ! !и" ° х)хе — -х" - Лхл(л-1) гак что Лу=лх" Лхч — х" — Лхс+...
— .з 12 Лу л(л — 1) — — =лл" Е -- Х" з'х'!Х !.. Лх 1.2 Так как при Лх О Все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю, то .и — 1 Ихх — 1 лх-е '1" 3' Если у=--, то учх)у=, так что 1 1 х х+Лх ' 1 1 -Лх х-';Лх х х(хелх) ' Лу 1 Лх х(х.! Лл) ' Ото)ода Лу 1 а олх х Прн этом предполагается, конечно, хм О. ') Если производная вычисляется при л ю б о м значении аргумента, то обыкновенно его обозначают той же буквой, что и аргумент, без каких-лабо значков ври нем. !3 Г. М. Фихххнхохьа х. ! гл.
ш. пуоизводнып и диеепупициалы 194 4' Рассмотрим функцию у= у'х (при х О). Имеем: у+Ау= у'х+Ах, 5у= ух+5х — 'ух= )Гх 4.Лх+ )Гх лу )/х+Лх+ )1х наконец, пользуясь непрерывностью корня, получим Лу 1 Ф 1 ь о Лх 2)'х Все эти результаты содержатся как частные случаи в следующем. 5' Степенная функция: у=ха (где )т — любое вещественное число). Область изменения х зависит от )т; она была указана в 48, 2'. Имеем (при хи О) Лх1а ['1+ — 1 -1 Лу (х+ Лх)а — ха „о ~ х ) Лх Лх х х Если воспользоваться пределом, вычисленным в 77 [5) (в)), то получим у =11ш — =пх — ). лу а,-о Лх В частности 1 если у=-=х ', то у'=( — 1) х -'= — —; т з ,у =-х 2)Гх у=а" (а -О, 1 / 3 если у="ух=х, то б' Показательная функция: + ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
