Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 32
Текст из файла (страница 32)
1 Если 1(х)=-а" (аь 0), (б) то, каковы бы ни были два нешественных числа х и у, всегда имеет место равенство Лх ' у):=Лх) Лу), (Б) выражающее общеизвестное правило умножения степеней: ах+у=ах ау. Оказываетсв, что функциональным свойством (Б), вместе со свойством нел р е р ы в н о с т и, показательная функция определяется вполне. Точнее говоря: единственной еууикцией, определенной и непрерывной вовсем промежутке (-, Ф )иудовлегпаорлюгцейвнемусловмо (Б),лвллетсл показательиал ~уикцил (если не считать функции, тождественно равной 0).
4 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИЙ 751 159 / (х) 1 (хр - х) =- ! (Ал) н О; отсюда ясно, что,((х) отлична от 0 при всяком х. Больше того, заменяя х в (Б) х и у через —, найдем: 2 Г(х) = ~+Ц, так что)(х) всегда строго положительна. Пользуясь этим, прологарифмируем равенство (Б), например, по натуральному основанию е; 1и Ях4 у) = 1п Ях) Ф 1п Г'(у). Если положить р(х) - 1и л (х), то в щще (г(х) мы будем иметь функшпо, непрерывную (как результат суперпози- ция непрерывных функций, 73) и удовлетворяющую условию: т(хо У) =%(х) 4 %(У), аналогичному (А). В таком случае, как мм установилн, необходимо (г(х) = 1и ((х) й сх (с = сопя!.), у'(х) еси = ах откуда, наконец, (если положить а= в'), ч, и тр. д.
2' Если Дх)=!ой»х (а О, он 1), (в) то при любых поло ж и тел ь ны х значениях х и у будет (В) Это есть запись правила логарифмирования произведения: !ой» ху = !ой» хь1ой» у. И здесь — это равенство, совместно с непрерывностью, вполне характеризует именно логарифмическую функцию'. единстветюй грункиией, определенной и непрерывной в промежутке (О, Ф ) и удовлепгворяющей в нем угла»то (В), является логарийзлгическая !руикйия (за тем же исключением), так что формула (в) дает самое общее решение ф у н к ц и онального о г о у р а в пения (В), в вепрерывных функциях. Для доказательства возьмем произвольную функцию )'(х), непрерывную для х 0 и удовлетворяющую этому уравнению.
ВВЕДем новую переменНУю с, изменяющуюся в промежутке (-, -! ), и положим х = ег, р(с) =г'(е!), » =.!и х, г(х) =-чг ((п х). откуда Иными словами, формула (б) — за указанным исключением — дает самое общее решение функционального уравнения (Б) в непрерывных функдиях. Для доказательства этого рассмотрим произвольную функцию /'(х), определенную и непрерывную при всех х и удовлетворяющую условию (Б). И с к л ючается тривиальный случай, когда у(х)мО. Итак, при некотором значении х х» зта функция отлична от О.
Полагая в (Б) у = х» — х получим гл, и. еункцин одной пнвнмннной [76 Непрерывная (в силу 73) функция р(д) удовлетворяет условию [см. (В)] ц(д+0) Г(вг+ ч) = г (е( ° ен) = /(е() ч-,Г(еп) =цг(д) цр(т)) типа (А). Значит, ц(д)=од и Г(х)=с 1пх. Если исюпочить случай с= 0 (тогда у"(х) ы 0), то полученный резУльтат может быть написан и в виде Ях) = 1ойа х, 1 где а=е' . Этим все доказано. 3' Наконец, обратимся к функции у(х) =хи, (г) которая, очевидно, удовлетворяет функциональному уравнению Г(ху) =Г(х) Яу) (Г) (при любых положительных х и у), ибо (ху)н = хн .
Ун. Уравнение зто, в соединении с непрерывно стью, в данном случае тыже характеризует степенную фуюшию в том смысле, что единственной функцией, определенной и непрерывной в промежутке (О, Ч- ) и удовлетворяющей в нем условию (Г), является степенная функци» (за обычным исключением). Б самом деле, если дана непрерывная лля х О функция у(х) улоачсшоряго шая условию (Г), то прибегнем к той же подстановке, что и в 2'.
Тогда функпня (с(д) булат Удовлетворять условию [см. (Г)] ~яз 0) = [(ег+")= Г(ег еч)=Нег) реп)=дз(с) (с(ц) типа (Б). Мы уже знаем, что тогда (если исключить тривиальный случай) р(й) = а( (а 0). Отсюда Г(х) =- а~в х = х« (если положить р= 1и а), что и требовалось доказать. 76. Функцнонвлышя характеристика тригонометрического и гиперболического косняусов. 4' Если ф(х) =- соз ах или сЬ ах (а-О), От) то, лрн любых вещественных значениях х и у, удовлетворяется соотношение ру-ьх)";[(у — х) =2Х(х) У(у), (Д) Это с легкостью вытекает из теоремы сложения для обоих косинусов: сов(ухх)=воях ° созутып х ып у, сЬ(уйх)=сйх сйухзйх ° зЬу [48, 6'] Функциональное уравнение (Д), вместе с требованием непрерывностин ости функции, и на этот раз полностью характеризует оба косинуса: единственными фугтциямш онределеютми ц непрерывными в промежутке ( —, + ) и удовлетворяющими в нем условюо (Д), явллюпкя трцгонометринеский и гиперболический косинусы (д) (если, как и выше, не считать функции, тождественно равной нулю).
161 ! 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИЙ 76! Итак, пусть Г(х) будет непрерывная дия всех х функция, удовлетворяющая условию (Д). Полагая х 0 и принимая за у какое-либо из значений, дня которых Г(у) и О, закяючаем, что )(О)-1. (10) При у= 0 в таком случае поиучаетса > (- х) => (х), (П) так что функция ((х) оказывается четной. Поскольку непрерывная функция >'(х) при х= О будет положительна, то найдется такое, скажем, положительное число с, что>'(х) будет попожитеиьна во всем промежутке [О, с).
В дальнейшем исследование пойдет по разным путям в зависимости от того, будет ди (а) >'(с) 1 или (0) >'(с) 1. Займемся сначала саучаем (а). !ЛК КаК 0=.>(С)аа1, тО Найдс~ея таКОЕ 6 ~04И —, ЧтО 2/ >'(с) = сок О. Приведя затем основное соонюшенис Щ к виду: Г(ушх)=2Г(х) УП)-У(у — х), сшпем в нелг последовательно полагать л=с, у=с; х=с, > =2с; х=с, >' Зг и т. д.
Мы получилг [с учетом (!0) и (!2)) >'(2с) =2'соз' 6 — ! =соз20, >"(Зс) = 2 соз 6 . соз 20 — соз В = соз ЗВ, г (4г) =- 2 соз О . соя 3  — со 5 26 = соз 46 и т. д. Пользуясь методом мателгатической индукции, легко докамгсм дяя вгобого пагураныгглго ги г[юрмулу Г(гггс) = соз я!О. (13) 1 Гсяи же в (Д) понежить х=у=- — с, то получим [снова с учетом (10) и (12)]: 2 ~ 1 Ц' Г(0) +> (с) 1 + соз В ~ 1 так как г(х) остается положительной между О и с, а фушгция ооз х — зюжду 0 и О, го, извлекая пояожитсзьпьге корни в обеих чзстяз, придем к раве!ге!ну. .
1 ' ! > ! — с! — соз— (2 / 2 1 (:овершенно так же, полагая в (Д) х у= — с, найдем, что 2' Г'! — с~ -соз — О, [2* ! 2 и т. д. Так, последовательно (математическая ипдукция!), получим и общее соотношение (14) у~ — с~=соя — В (н=1, 2, 3, .
). 2Я Г! Г, М. Филгзнгслыг, г. ! ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 162 !77 Наконец, повторяя тот процесс, с помощью которого мы, отправляясь от (!2), пришли к (13), мы из (14) придем к равенству /т ) ш У~ — с~ =сок — В. (2" ! 2" ш Итак, для положителънык значений х вида — имеем; 2л ,Г(сх) = соз Вх. (15) Но так как любое положительное число х можно представить как предел значений этого вида, то, с помощью предельного перехода (и опираясь на н епрерывность функций гтх) и созх), установим справедливость формулы (15) для всех х О.
Для х «0 она будет верна в силу (11), а для х = 0 — в силу (10). х В Если заменить в (15) х на — и положить — = а, то и получвм окончательно; с с Г(х) = соз ах. В случае (р) имеем: г"(с) 1; тогда найдется такое В, что г'(с) = сЬ В. Повторяя дословно все проведенные только что рассуждения и опираясь на соотношения для гиперболического косинуса, совпадающие по форме с соответствующими соотношениями для тригонометрического косинуса, мы для рассматриваемого случая найдем, что г" (х) = с)з ах (а О). Прн а-0 по обеим формулам получили бы1 Г(х) = 1. Функциональные уравнения (А), (Б), (В), (Г) и (Д) впервые были рассмотрены К о ш и, который и дал их решения в непрерьенык функциях.
77. Использование непрерывности фувкцвй длк вычнелешш пределов. Непрерывносп функций многообразно может быть использована при вычислении пределов*). Примерам этого рода мы посвюцаем настоящий номер. !) Имеем, при любом вещественном х, х)л !нп !1-Р— ~ =е". п + 1, л Действительно, рассматриваемое выражение (считая х я 0) можно представить в виде в И)Т х Так как — О, то варианта в квадратных скобках стремится к е (54 (13)], а тогда— л ввиду непрерывности с т е и е н н б й функции (здесь х = сопзг.) — все выражение имеет пределом е".
2) Найти предел 1нл ~ 11(х+ аг)(х-~-сз) .. (х+ ая) — х~ ( — ), где а„а„..., ая суть данные постоянные числа. *) Фактически мы иной раз это делалн н раньше; так, в примере 3) йб мы попутно установили непрерывность )'х при х= 1 и использовали ее, а в примере 5) (б) так же поступили по отношению к соз х при х = О. 1 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИЙ 143 Воспользуемся тождеством у" — г)' л= К->»ОА- +, Ф Н- ' куда подставим 4 ->с*+'4" >* ч> Тогда рассматриваемое выражение представится последовательно в виде а,а,»-.. +ая >ая (а,»-... +ак); (х+а,)... (х»-ак)-х" При х ' подкоренное выражение стремится к 1, следовательно, сам корень имеет пределом )'1=1 — ввиду непрерывности корня, как частного случая с т епенной функции.
Так как многочлен Ос-1)-й степени (от корня), стоящий в знаменателе, также есть непрерывная функция, то знал)енатель стречится к /с, и предел всей дроби будет а).>. ае 1 ° ° ° ьох 3) Вернемся к предложени)о в 33, 13). Пусть ап = О и ап -а; ограни п)л>ся пока допущением, что О«и + . Применим упомянутое предложение к последовательности (1и ап) . Так как )пап-1и а (в силу непрерывности л от ар пф ми чс с к ой функции), то 1и а)»-...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
