Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1.) Мы видели в 54, б), что 1пп а«=1. х О Так как 1 есть как раз значение аа нашей функции, то это равенство и выражает непрерывность показательной функции в точке х=О. Отсюда уже легко перейти к любой точке; действительно, а«ах — ах (ах х 1) но при х х„, очевидно, х-х О, так что — по доказанному — ах ах, ч. и тр. д. 3' Гиперболические функции. Ик непрерывность, по уже упоминавшейся теореме, непосредственно вытекает из доказанной непрерывности показательной функции, ибо все они рационально выражаются через функцию е". 4' Т р иго н о метричес к не функции. Остановимся сначала на функции ейпх.
Оиа также непрерывна при любом значении х = х„т. е. имеет место равенство 1пп з)п х=з1п х„. «- х, Для доказательства заметим, что нз неравенства В(пх х, установленного 54, (9) для О х —, легко вывести, что неравенство 2' ~В)пх~ а(х! ГЛ. П. ФУНКЦНН ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 150 справедливо уже для всех значений х (для ) х (~в— «1 это следует из того, что ~ яп х 1~1). Далее, имеем: япх — япх =25ш соз- Х-Хх Х ! Хх о= 2 2 так что ~51пх — ыпхс~ =2 1яп — ° соз — ~ 2 ° ~яп — '~ 2 ° ~ .
Х-Хх~ ! Х<-Хх~ ! . Х-,! ! -Хх~ и, окончательно, )яп х — яп хс! = )х — хс~, (2) каковы бы ни были значения х и х,. Если задано любое е О, то положим 6«е; при ~х — хс~ ~6 будет ЯП Х вЂ” ЯП ХС~ Е, что и доказывает непрерывность Еш х. Аналогично устанавливается н непрерывность функции сов х также при любом значении х. Отсюда, по теореме предьгцущего и', вытекает уже непрерывность функций 510 Х 1е х= С05Х' 1 С05Х 1 зесх=, 01ех= ., сзсх= —. 005Х' 510 Х' яе х' Исключение представляют для первых двух — значения вида (211 -'; 1) —, 2 ' обращающие сов х в О, для последних двух — значения вида йн, обращающие Еш х в О.
69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов. Выше с помощью равенства (1) мы определили понятие непрерывности функций Лх) в точке х,. При этом, вычисляя предел (1), мы могли приближать х к х, и справа, и слева. Установим теперь понятие об односторонней непрерывности или одностороннем разрыве функции в данной точке. Говорят, что функ51ия !"(х) непрерывна в точке хс справа (ел ее а), если выполняется предельное соотношение: ,Г (хс -!- О) = 1пп з (х) =з (хс) х «,+С 1Яхс-О)= 1пп у"(х) =1'(хс)). х х,-в Если же то или другое из этих соотношений не осуществляется, то функиил З(х) имеет в точке х разрыв, соответственно, справа или слева.
1 А непРеРыВность (и РА3РыВы) Функций 70! 151 По отношению к левому (правому) копну промежутка ь'4), в котором функция определена, может идти речь, очевидно, только о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же хв есть В н у т р е н н я я точка промежутка ь, т. е. не совпадает ни с одним из его концов, то для того, чтобы выполнялось равенство (1), выражающее непрерывность функции в точке х, в обычном смысле, необходимо н достаточно, чтобы имели место сразу оба равенства (3) (521.
Иными словами, непРеРывность фУнкг(ии в точке хв равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно с л р а в а и слева. Остановимся подробнее на вопросе о непрерывности и разрыве функции у'(х) в точке х, скажем, справа. Предполагая, что функция 1(х) в некотором промежутке (хв, х л йг) ()г»О) справа от этой точки о и р с д е л е н а, видим, что для непрерывности необходимо и достаточно: во-первых, чтобы существовал конечный предел Ях,.(-0) функции Дх) при стремлении х к х„справа, и, во-вторых, чтобы этот предел был равен значению у'(хв) функции в точке х,. Поэтому лепго дать себе отчет в том, при каких обстоятельствах для функции у(х) в точке х справа появляется разрыв .
Может случиться, что хотя конечный предел у(хв+0) и существует, но он неравензначению Дхв); такой разрывназывают о быки о вен ным нли разрывом первого родав*). Но может быть н так, что предел у'(хв 4-0) бесконечен, или его вовсе нет; тогда говорят о разрыве второго рода. В следующем и' мы приведем примеры этих разрывов. Замечание. Если в точке х=х функция Дх) не определена (см. замечание в 66), то восстановить непрерывность функции в этой точке можно лишь, если существуют оба конечных предела у'(х +0), 1(хв — 0) и равны между собой.
Если какой-либо из этих пределов бесконечен или вовсе не существует, то говорят о наличии разрыва втор от о рода с соотВетствующей стороны. 70. Примеры разрывных функций. 1) Рассмотрим грункцию у= Е(х) (график ев лредсгввлвн на рис. 8). Если х„— вс цслов число и Е(хв)- т, т. е. т- х„т-1-1, го и для всех значений х в промежутке (ль т-1- 1) будет е(х) =- т, твк что непрерывность Функции в точке х, непосредственно ясна.
Иначе обстоит дило, если х, равно целому числу т. С п р в в в в этой точке будет иметь место непрерывность, ибо правее к=гл, именно для значений х в Ол, тл!) бУдет Е(х)=т„твк что и Е(т+0)=т Е(т). Наоборот, левее х=т, для значений х в (т — 1, лг), очевгпгно, Е(х)=т — 1; отсюда, и Е(лг — 0)=т — 1, что не Равно значению Е(т), и с л е в а в точке х = гл функция имеет обыкновенный рвэрыв илп скачок! ь) Нрвдгголвгвя, ч го этот копен есть число к о н е ч н о е.
4') В этом случае говорят твкжс, что функция /(х) в точке хв справа имеет с к в ч о к, по величине равный 1(ха~.о) 1(хо) ГЛ Н. ФУНКЦИИ ОДНОИ ПЕРЕМЕННОЙ 152 2) Возьмем функцию, рассмотренную в 46: хю — ! у =,Г(х) = !ип а — хю-~-1 (ее график дан иа рис. 28.) Она имеет обыкновенные разрывы в точках х= т! и справа, и слева, ибо: 2( — '1)=0 ~(-1-0)-,~(1+0)=1, 1 (- 1 Ф 0) = а (! — 0) - — 1. 3) Для функции 1 2(х)= — (при хм О) ха точка х=О есть точка разрыва второго рода — с обеих сторон; именно, в ней фующия и справа и слева обращается в 1 з(40)= 1цп к-ее ха 4) Функция 1 )'( — 0) = 1нп а--с х а 1 г"(х) =пи — (нри хм О), х рассмотренная в 54, 9), в точке х= 0 имеет разрыв второго рода с обеих сторон, Рис.
28. так нак не существует вовсе предела этой функцви при стремлении х к 0 нн справа, ни слева. аг Наоборот, если взять фующюо (54, 10)) 1 ,Г(х)-х ып — (прн хиО), х для которой, как мы видели, существует предел 1йп Г(х)=0, х с то, положив — согласно замечанию и' 66 — г(0)=0, мы восстановим непрерывность и при х=-О.
6) Определим две функции раненствами: 1 (а(х) = аа, (а 1), Га(х) агсзй— х для хм О и сверх того положимД (0)-Д (0)-0. 1 а няпРВРыиность ги РА3РыВы) синицин 701 153 Для первой из них имеем: ЯРО) 1пп ах 1пп ах=- Р х-+ О 1 11(-0)= !!гл ах =- 1йп ах=О, х -О так что в точке х=.О справа — разрыв второго рода, а слева — непрерывность. Для второй хгс— 1 )х(+0) = 1НЛ аГС1й — = 1йл атегй к= —, +О х 14( — 0) =: — —, 2 и в точке х--.Π— с обеих сторон скачкй, Графики згнх функций даны на рис.
29 и 30. х рыа 3 У Рис. 29. г Рис. 30. 7) Вспомним еще о функции Д и р и х л е (йбй у(х) =1, если х рационально. 2(х) =.О, если х иррационально. 154 гл. и. оункцип одной пи именной 171 Так как в любой близости от рациональной точки найдутся точки иррациоиальаые, и наоборот, то каково бы ни было х, в промежутке ( —, -ь ), предела к(х) при х - х, не сушествуег, так что в к а ж д о й точке налицо разрыв второго рода (с обеих сторон). 8) Определим, наконец, в промежутке [О, Ц Функцию у(х) так: если х р а ц и о- Р 1 н альп о и выражается несократимой дробью —, то,Г(х) —; для х ирра- Я в ци о налья о го положим Дх)=О «). Мы утверждаем, что в каждой рациональной точке Функция имеет обыкновенные разрывы, в то время как в каждой иррациональной точке она непрерывна.
Действительно, пусть х«будет любая точка в рассматриваемом промежутке. Есин задаться цроизвольнйм числом е О, то существует лишь к о н е ч н о е 1 число натуральных чисел а, нс превосходящих --, а значит в промежутке найдется Р /Р) 1 лишь конечное число рациональных точек —, для которых у" ~ — ) =- =--и Точку х« с ~ч) ч можно окружить такой окрестностью (х,— 8, х«->д), чтобы в иее не попала ни одна из этих точек(кроме, быть может, самой точки х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
