Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 25
Текст из файла (страница 25)
л +о 6) Из доказанного в 25, 5) предельного соотношения 3 !1ш ал =! л +л можно получить более общее йпг а» о Заметим, что, очевидно, и 1 л !ип а "= !!ш =1. л-~+» » + г ! » гл. и. огнкпия одной пвгвмвнной Поэтому, неноэо бы нн было е ~ О, можно найти такое натуральное число ле, что (если, скажем, о ) 1) ! 1 о ~о ео ~ оео . Если теперь 1 1 1 ~ х~ ( — или — — (х~ —, л, ло ло то 1 1 ло,~ Ол, Оло отнуда 1 — е(ао(1+о или ~а" — 1(<о, что и доказывает высказанное утверждение.
7) Теперь мы установим следующий (в а жныи н для дальнейшего) результат: Пт — = 1. (8) л о Предварительно, однако, нам придатся доказать некоторые полезные неравенства: з1п х(х((ах (0(х - — ), (9) С этой мелью в круге радиуса й рассмотрим о с т р ы и угол е АОВ, хорду АВ и касательцерт 22 ную АС к окружности в точке А (черт. 22). Тогда имеем: плошадь Ь АОВ(площади сектора АОВ(площади Л АОСо.
Если через х обозначить радиан ную меру угла а,АОВ, так что длина дуги АВ выразится произведением )тх, то эти неравенства перепищутся так: —, й' з1п х( —, й'х( —, й' 1ах. Отсюда — по сокращении на — йе — и приходим к неравенствам (9). 1 2 В предположении, что 0(х( —, разделим з1п х на каждый из членов неравенств (9). Мы получим: 1) — асов х, э1п х " При этом мы пользуемся теми сзеленяямн 'о площадях элементарных фигур, которые излагаются з школьном курсе. !23 5 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ откуда $1п х Оы1- — 1 — соах. Но х . х 1 — созх=2яп--.
2яп- х 2 2 (в силу (9))„так что $1П Х О 1 — — — х. х Отсюда вытекает неравенство ~. — — -1(=)х~, которое, очевидно, сохранится и при изменении знака х, т. е. будет справедливо для всех хм О, лишь только ~х~ г Полученное неравенство и решает вопрос, Действительно, если по произволу задано число $»0, то за д достаточно выбрать н а ил меньшее из чисел а и —: при !х~ д, прежде всего, примен и м о это неравенство ~ведь Ь =), а именно в силу него (так как Ь =~5) 2 япх По определению предела функции (52), это и означает, что функция 5ШХ .— при стремлении х к О имеет предел 1, так что соотношение х (8) оправдано.
7$) Предельное соотношение (8) может быть, в согласии с бз, понимаемо и так, что, лишь только х пробегает сходяпуюсл к нулю последовательность яп хл (х„), варианта — будет всякий раз стремиться к 1. х„ Приложим зто замечание к разысканию предела в а р и а н т ы 51 1Р % 1ПП СО5 -- С0$ — ... СО5 — , 2 25 2" где и — любое отличное от О число. Очевидно, так что интересующее нас вмраженне представитсв в виде 'Р яп51 япе 2л % . % яп— гл 2л зш % 2л 1Р . 51 51 'Р .
51 1Р т Р . 1Р яп Е = 2 сов †. яп — = 2' соз †. соз — $! и — = ... = 2" соз — соз — ... соз — зш 2 2 г 25 25 '" 2 25'" 2л 2л' гл. и. еункции одной переменной 124 ч» Так как ко.= — -О, то по сказанному выше 2Я ч» ып— 2л 1пп — — = 1, 9' 2п а|п 1» и предел нашей варианты оказывается равным числу ч» 8) Сейчас мы изучим также очень важный предел. Именно, в 36 было определено число е как предел варианты е=1пп (1.«-) . Теперь же мы установим более общий результат: (10) !!в ~! «-')"=е, а также и 1пп ~! 4-) =е. (11а) Воспользуемся на этот раз вторым определением предела чна языке последовательностей» (53!. Прежде всего, напомним, что наряду с (10) имеет место и ра- венство 1!я~1+ — ) =е, Так как при этом 1 1 1 — е — и— ля+1 ха ла 1 то 1""'-)"-1'".-')"-1' -') "' Два крайних выражения могут быть преобразованы так: 1»ч» ( 1 )"» ля+1 ~ 1)"»+з ( 1)ча ~ 1) 1+— па+ 1 если (ла) есть произвольная последовательность натуральных чисел, растущих вместе с н о м е р о м и до бесконечности 1401.
Пусть теперь х пробегает какую-нибудь последовательность (хя) значений, стремящихся к +; можно считать даже, что все ха 1. Положим ла=Е(хя), так что па ихакла+1 и иа + )гу 1 а пгедбл Функции причем, в силу (12), ( ) ( ) 1 2»» Ы»е« 1Ф вЂ” ) е, а также (1« — — ) е, л») в то время как, очевидно, 1+ — 1, 1 и» 1Ф вЂ” 1; 1 лз Ф1 таким образом, оба упомянутых выражения стремятся к общему пре- делу е, а тогда и заключенное между ними выражение также стре- мится к е (по теореме 3', 281 1пп (1 ь — ) =е.
Этим и завершается доказательство соотношения (11) «на языке последовательностейь. Для доказательства же (11а) предположим теперь, что последовательность (х») имеет пределом — (причем можно считать все х»м — 1). Если положить х»= — у», тогда у» ' (и все у»м1). Очевидно, ('Ф-'-.)"=('- ») "-(.-'=')и=('-.'- )" ' (".'- ) е = 1нп (1+ х) (13) .-с Этот замечательна«й результат лесвсит в основе всех прилозиений числа е.
9) Интересен, наконец, и пример, когда предел Функции не существует: Функция »1пх при стремлении х к + (- ) вовсе не имеет предела. В отсутствии предела всего проще убедиться, стоя навточке зрения последовательностей». Достаточно заметить, что двум последовательностям ((2н- — ) л~ и ((2л-» — ) л) (л-1, 2, 3, .-.) Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к е, второй же, очевидно, имеет пределом 1, то и выражение слева также стремится к е. Формула (11а) оправдана. 1)х 1 Заменим теперь в выражении (1~--) переменную х на —; если х~ придать а последовательность положительных или отрицательных 1 значений, стремящихся к 0 (но не равных О), то х= — будет стремиться к х .
Поэтому формулы (11) и (11а) можно переписать в виде 126 гл. и, функции одной пйвймпнйой значений х, имеющим пределом +, отвечают последовательности значеянй функции, стремяшиеся к ра з л н ч н ы м пределэы. 1) ! 1) з!п~2л- — )!л= — 1- — 1, з(л!2л+ — )!я=1-1. 21 1 2) (То же можно выразить и иначе: если взять последовательность Цл-ь — ) л) (в=1, 2, 3, ...) значений х, имеющую пределом +, то ей отвечает последовательность значений функпии: 1) ып~л-~- — ~я=( — 1)" (л=!, 2, 3, ...), 2/ вовсе не имеющая предела.] Если вспомнить <шолебательный» характер синусоиды, то отсутствие предела в рассматриваемом случае станет нагляден. 1 Аналогично, и функция мп — при стремлении и к 0 (справа или слева) л редел а не имеет. Это, в сущности, лишь другая формаприведенного вышепри- 1 мера: стоит лишь в функции яп х заменить х на †.
Очевидно, если и пробегает пои 1 следовательносгь значений, приближающихся к 0 справа (слева), то х = — стремится к + ( — ), и обратно. и 1 Напишем снова в выражении ып — вместо буквы и букву х (чтобы вернуться к п р и в ы ч н о м у обозначению абсциссы) и рассмотрим поучительный график функции 1 г=з!и — (хяО), х 2 ( 2 ограничиваясь значениями х от 0 до — ! и от — — до 0) . Отметим последовательно убывающие до 0 значения х: 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 л л 3:т' 2л 5л Зл 7л (2л — 1)л юг (2в-1-1)л 1 им отвечают растущие до Ь знагения —: л Зл 5» 7» (2» — 1)л (2л-~-1)х —,т,—,2»,—,3», , лл, 2 2 2 2 2 2 В промежутках между указавными значениями (при у бы в а н ни х) наша функция попеременно убывает от 1 до 0 и от 0 до — 1, затем возрастает от — 1 до 0 и от 0 до 1, и т.
д. 1 Таким образом, функция яп — производит бесконечное множество колех баиий, подобно функции яп х, но, в то время как для последней зтн колебания распределяются на бесконечный промежуток, здесь оин все умещакеся в конечном промежутке, сгущаясь к О. 1г. ггвидвл езикции 54! 127 Графяк изображен на рис. 23 (разумеется, ие полностью — бесконечное множество колебаний воспроизвести невозможно!).
Так как при изменении знака 1 х и о!и — меняет знак, то левая половина графика симметрична с правой относи- х тельно начала. Рис. 23. 1 1О) Если Ошя хФО) рассмотреть функцию х.ош —, которая отличается мно- х 1 жителем х от только что изученной функции о!и —, то на этот раз предел при х — ~О существует: 1 !!ш х.ип — =О, х-о х что сразу ясна из неравенства При приближении х к О наша функция по-прежнему производят бесконечное множество колебаний, но ик амплитуда (благодаря множеству х) убывает, стремясь к О, чем и обеспечивается существование предела.
График фушщии 1 у=х вш х изображен на ряс. 24; ои умещается между двумя биссектрисами у=-х и у= -х координатных углов «). Замечание. Мы нмели ряд пределов в!и х 1 йш — 1 бш (!.!.х)х — е йш хо!п — =О х-о х х-о х о х объединенных одной особенностью: ии одна из рассматриваемых здесь функций и е о п р е д е л е н а при х = О. Но зто нисколько не мешает говорить об их пре- *) На рис. 23 и 24 для ясности пришлось по оси х взять больший масштаб, что создает искажение. ГЛ. ГГ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [55 128 делах при х-«О, ибо, согласно точному смыслу данного в 52 определешпь как раз значение х=-О при этом не р а с с ма т р и в а ется. х л хввх 1 Аналогично, то обстоятельство, что функция ил — не имеет смысла при х=о, не мешает ставить во орос об ее пределе при х«О; но на этот раз предел оказывается несуществующим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
