Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, у„, Под этот тип подходит привычное нам обозначение варианты х„,которая является (как мы теперь можем сказать) функцией от «независимой переменной» л, пробегающей ряд натуральных чисел Ф'=(и). Аналогично и обозначение 1»г, для номера Ф (в определении предела варианты, 23), которое подчеркивает его зависимость от к, и т.
д. Если, рассматривая функцию, скажем, у=Ях), мы хотим отметить ее ч а с т н о е значение, которое отвечает выбранному частному значению х, равному х„то для обозначения его употреблиот символ: 1(хе). НапРимеР, если 1 10 Дх) = —, я(г) = —, Ь(и) = )11 — и', ..., 1Ф»' Г' то Д1) означает численное значение функции Ях) при х = 1, т. е.
по- 1 131 просту число —, аналогично, ~(5) означает число 2, л р) 4 числ Π—, и т. и. Обратимся теперь к самому правилу или закону соответс т в и я между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости. Правило это может быть весьма разнообразной природы, поскольку оно ничем не было ограничено.
Наиболее простым и естественным представляется осуществление этого правила в виде аналитического выражения или *) Произносится зта запись следующим образом: «игрек равно з(» от икс», «игрек равно фи от икс», и т. д. 491 97 ! !. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ф о р м у л ы, содержащих указание на те операции илн действия над постоянными числами н над значением х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у.
Этот ан а л итический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа (мы еще вернемся к нему в следующем и'). С ним читатель всего лучше знаком нз школьного курса математики; наконец, именно аналитическим способом мы пользовались в приведенных в 44 примерах. Однако было бы ошибочным думать, что зто — единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция Е(х) — «целая часть числа х««). Легко сообразить, что Е(1) = 1, Е(2,5) = 2, Е()7ГЗ) = 3, Е(-п) = — 4 и т. д., хотя никакой формулы, выразка«ошей Е(х), у нас нет.
Таковы также и многочисленные «арифметические функцннэ, т. е., функции от натурального аргумента, принимающие лишь натуральные же значения. В виде примера упомянем «о факториале числа пи п1=1 ° 2.3... и, а также о функции т(п), представляющей число делителей числа и, илн о функции «с(п), указывающей, сколько в ряду 1,2,3,..., я имеется чисел, взаимно простых с п. Несмотря на своеобразный характер правил, которыми задаются зтн функции, они позволяют вычислять значения функций с такой же определенностью, как и формулы.
Например, имеем: к(10) = 4, к(12) = 6, т(1б) = 5, 9(10) =4, |р(12) =4, р(1б) =В, В естественных науках и в технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально нли путем наблюдений. Например, если подвергнуть воду произвольно выбранному давлению р (а«па«), то на опыте можно определить соответствующую ему температуру 0 ('С) кипения воды: 0 есть функция от р. Однако эта функциональная зависимость задается не какой-либо формулой, а лишь таблицей, где просто сопоставлены полученные из опь7та данные.
Примеры табличного способа задания функции легко найти в любом техническом справочнике. Наконец, упомянем еще, что в некоторых случаях — при помощи самопишущих приборов — функциональная зависимость между физическими величинами задается непосредственно г р а ф н к о м.
Например, «индикаторная диаграмма«, снимаемая при помощи индика- «) См. сноску на стр. 48. 7 Г. М. Ф««т ««о«мс . ! гл. н. Функции ОднОЙ пеРеменнОЙ [46 тора, дает зависимость между объемом Г н давлением р пара в цилиндре работающей паровой машины; «барограмма», доставляемая барографом, представляет суточный ход атмосферного давления, и т. и. Мы не входим в подробности относительно табличного и графического способов задания функциональной зависимости, так как ими в математическом анализе не приходится пользоваться.
46. Аналитический способ задания функции. Сделаем ряд разъяснительных замечаний по поводу задания функции а н а л и т ическим выражением или формулой, которые играют в математическом анализе исключительно важную роль. 1' Прежде всего, какие аналитические операции или д е й с т в и я могут входить в эти формулы 7 На первом месте здесь разумеются все изученные в элементарной алгебре и тригонометрии операции: арифметические действия, возвышение в степень (и извлечение корня), логарифмирование, переход от углов к их тригонометрическим величинам н обратно [см. ниже 48-511. Однако, и это важно подчеркнуть, к нх числу по мере развития наших сведений по анализу будут присоединяться и другие операции, в первую голову — предельный переход, с которым читатель уже знаком нз главы 1.
Таким образом, полное содержание термина «аналитическое выражение» или «формула» будет раскрываться лишь постепенно. 2' Второе замечание относится к области определения функции аналитическим выражением илн формулой. Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент х, имеет, так сказать, ес те стве нну ю область применения: это множество в с е х тех значений х, для которых оно сохраняет смысл, т.
е. имеет вполне определенное, конечное, вещественное значение. Разъясним это на простейших примерах. 1 Так, для выражения — — — такой областью будет асс множество вешсстаен1+ х« иык чисел. Для выражения 111-х» зта область сведется к замкнутому промежутку [-1, Ц, за пределами которого значеиае его перестает быть аешестаен- 1 ным. Напротив, аыраженяю — придется а качестве есгестаенной области 'Г'1 — х' применения отнести открыты Я Промежуток( — 1, 1), ибо на ко1щакего знаменатель обрапыется в О.
Иногда область значении, для которых аыражение сохраняет смысл, состоит из разрозненаъ1х промежутков: для )Гх«-1 зто будут про- 1 межупги (-, — Ц и [1, + ), для — — — — промежутки (-, — Ц, (-1, 1) и (1, + ); и т. д.'). В качестве последнего примера рассмотрим сумму бесконечной геометрическоя прогрессии 1+х+х»Ф... Фх" '+... =!лп(1ъхьх»+... Фх" '). «) Для нас, разумеется, не представляют интереса такие аыражения, которые ии при одном значении х вообще не имеют смысла. 1!.понятна езнкции Если )х) 1, то, как мы знаем (25, 7)), этот предел существует и имеет значение 1 —.
При )х) 1 предел либо равен +, либо вовсе ие существует. Таким об- 1 — х разом, для приведенного аналитического выражения естественной областью применения будет о т к р ы т ы й промежуток (- 1, 1). В последующем изложении нам придется рассматривать как более сложные, так и более общие аналитические выражения, и мы не раз будем заниматься исследованием свойств функций, задаваемых подобным выражением в о все й области, где оно сохраняет смысл, т. е. изучением самого аналитического аппарата, Однако возможно и другое положение вещей, на что мы считаем нужным заранее обратить внимание читателя.
Представим себе, что какой-либо конкретный вопрос, в котором переменная х по с у щ ее т в у д е л а ограничена областью изменения л"., привел к рассмотрению функцниЯх), допускающей аналитическое выражение. Хотя может случиться, что зто выражение имеет смысл и в н е области )ь', выходить за ее пределы, разумеется, все же нельзя. Здесь аналитическое выражение играет подчиненную, вспомогательную роль.
Например, если, исследуя свободное падение тяжелой тачки с высоты Ь над поверхностью земли, мы прибегнем к формуле кгз 2 [44, 2)), то пслспо было бы рассматривать отрицательные значения г или зиа- 1 (2й чения г, ббльшис, чем Т= 1 —, ибо, как легко видстгч прн г =- Тточка уже упадет т тгз иа землю. И это несмотря на то, что само выражение — сохраняет смысл для всех вещественных с.
2 *3' Может случиться, что функция определяется не одной и той же формулой для всех значений аргумента, но для одвих — одной формулой, а для других— другой. Примером такой функции в промежутке (-, "; ) может служить функ- ция, определяемая следук1щими тремя Формулами: Дх).= 1, если )х~ ! (т. е. если х 1 нли х — 1), Пх)= — 1, если )х!«! (т. е. если — 1 х .1), и, наконец, Пх) = О, если х=. я!. Упомянем еще о функции Д ир их ле (Р.
ПЕ 1е)еппе-П!г!сп!ег), котораяопре- делястся так; Х(х) = 1, если х рационально, Х(х)-0, если х иррационально. Наконел. вместе с К р о н е к е р о м (Е. Кгопес1ссг) рассмозрим функцию, которую он назвал кснгнум х»") и обозначил через зап х; зйп х-!, если х 0; зйл х= — 1, есшз х 0; зйп 0-0. ) По-латыни Ийпшп = знак, [47 1ОО гл. и. эвикция одной пвгвмвнной Впрочем, не следует думать, что есть н р н н ц н и н з л ь н з я разница между функцией, задаваемой одйой формулой для всех значений х, п функцией, определенйе которой использует несколько формул. Обычно функция, задаваемая несколькими формулами (правде, ценой некоторого усложнения выражения), может быть задана н одной.
Например, если привлечь операцию предельного перехода, то первая нз приведенных выше функций, у(х), может быть задана одной формулой (для в с е х х сразу): у (х) =!1ш х — 1 Действительно, прн [х[)1 степень х'л — +оэ, л обратное ей выражение стремится к О [лУ[, твк что' 1 1 —— хвл ! хвл зл хзл+1= 1 = ' х'л Прн ',х[(1 степень х'л О [25, 6)[, н в этом случае хвл — 1 Иш,„+ — — — 1, Наконец, прн хлл .в- 1 будет, очевидна, х'л = 1, откуда хвл — =О, хвл+ 1 н в пределе получается О.
Все это полностью согласуется с прежним определением. 47. График функции. Хотя в математическом анализе функции графически не задают, но к графической иллюстрации функции прибегают всегда. Легр кая обозримость и наглядность гу графика делают его незамениФ мым вспомогательным средством исследования свойств функции. вз, Пусть в некотором промел~ жутке о задана функция у= у(х). Представим себе на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат— осьх н ось у.
Рассмотрим пару с о о т в е т с т в у ющ и х вначеЧерт. 5. ний х и у, где х взято иэ про- межутка Х, а у=у'(х); образом этой пары на плоскости служит точка М(х,у), с абсциссой х и ордннатой у. Когда переменная х изменяется в пределах своего промежутка, эта точка описывает некоторую кривую АВ (черт. 5), которая и является геометрическим образом нашей функции и называется ее графиком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
