Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 17
Текст из файла (страница 17)
с й Действительно, хй- х,= —; тогда !хй) )хй), х, 'х,, и по второй из формул (4) 2 (при Е=!) будет х„лй. Следовательно, 1лй) ~х,(, х*, хй. и по первой из формул (4) (при Е=2) получится х, хй, и т. д. Таким образом, в рассматриваемом случае, монотонными будут и о р о з н ь в з ят Ы Е ВариантЫ хй1,, И хйя (Е.=1, 2, 3, ...); так как они содержатся между с конечными границами — и О, то обе имеют конечные пределы 2 а'=1пп хйь „а" =)лп хйл.
Остается показать, что а'=а". С этой целью устремим значок л в (1) к бесконечности, сначала через четные значения, а затем — через нечетные. Мы получим в пределе два соотношения: с а"' с а' а'= — + —, а"=- —.~ —. (5) 2 2 2 2 Вычитая, исключим с: (а' — а")(а'Еа" +2) =-О.
Как мы установим сейчас, если с — 3, вторые скобки обратиться в О не могут, так что необходимо а'=а". Действительно, в противном случае, подставляя а"= = — а'-2 во второе из соотношений (5), мы получили бы для а' квадратное урав- нение а'й+ 2а'+ (4+ с) = О, которое, именно прн с» — 3, вещественных корней иметь нс может. Наконец, если с = — 3, вторые скобки обращаются в О одновременно с первыми, ибо в этом случае и а'= — 1 и а" — 1. Итак, во всех случаях а' а"; Обозначив общее значение этих пределов через а, имеем для а выражение (3), очеющио, снова со знаком минус при корне, ибо предел отрицательной варианты хл не может быль положительным. Изложенные примеры дают повод к следующему замечанию.
Доказанная теореъйа является типичной йтеоремой существованиюй в ней устанавливаетси факт сущеспювания предела, но не дается никакого приема для его зб) 1 3. мОнОтОннАЯ ВАРиАнтА 77 вычисления. Тем не менее она имеет очень важное значение. С одной стороны, в теоретических вопросах часто только существование предела представляется нужным.
С другой же стороны, во многих случаях возможность предварительно удостовериться в существовании предела важна тем, что открывает пути для его фзктического вычисления. Так, в примерах 1), 2), 3), 5), б) именно знание «жакта существовапил предела позволило, с помощью перехода к пределу в некоторых равеиствах, установить точное зиачепие предела. В этом отношении особенно поучителен првмер 6) (б). Ведь при с -3 выра- женив (3) сохраняет смысл, но зто повсе не означает, что оно продолжает давать предел нарванты х»; напротив, он здесь нс существует: например, как нетрудно проверить, при с= -4 наша варианта пробегает последовательность значений: — 2, О, — 2, О, — 2, О, и никакого предела не имеет.
В примере 4) мы выражения для предела не имеем, но, зная что он существует, легко можем вычислить его с любой стелевью точности, ибо он содержится между вариантами а» и Ьгг, которые к нему стремятся с обеих сторон. В следующем л' мы познакомимся с еще одвим важным примером приложения теоРемы омолотовяой варианте. Зб. Число е. Мы используем здесь предельный переход для определения нового, до снх пор не встречавшегося нам ч н с л а. Рассмотрим варианту хл ~! — ) и попытаемся применить к ней теорему п' 34. Так как с возрастанием показателя и основание степени здесь у б ы в а е т, то «монотониьгйь характер варианты непосредственно не усматривается. Для того чтобы убедиться в нем, прибегнем к разложению по формуле бинома: 1)» 1 п(л-!) ! хл 1~ ~ 1+гг гг(п — 1)(п — 2) 1 п(п — 1)...(п — Ус Р1) 1 123 пь ''' ! 2...!с и" п(п — 1)... (п — п+1) ! 1 2...гг и" Если от хл перейти теперь к хл „ т.
е. увеличить и на единицу, то, прежде всего, добавится новый, (и л-2)-й (п О л О ж н т е л ь н ы й) член, каждый же нз написанных и+ 1 членов у в е л н ч и т с я, нбо ГЛ. !. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 136 78 3 любой множитель в скобках вида 1--заменится б б льщ им множителем 1- —.
Отсюда и следует, что л+1 х,.з .х„, т. е. варианта х„оказывается возрастающей. Теперь покажем, что она к тому же ограничена сверху. Опустив в выражении (6) все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что 1 1 1 хл 2.,'- ~у+у+... Р— !=Уз ° Заменив, далее, каждый множитель в знаменателях дробей (начиная с 3) числом 2, мы еще увеличим полученное выражение, так что, в свою очередь, 1 1 . 1 у 2+-+ — +...
+' —. а 2 2з ''' 2з-з ' !з Но прогрессия ~начинающаяся членом -~ имеет сумму 1, поэтому у„.З, а значит и подавно х„.З. Отсюда уже следует, по теореме и' 34, что варианта х„имеет конечный предел. По примеру Эйлера (1.. Еи!ег), его обозначают всегда буквой е. Это число е=1пи ~1 е-) имеет исключительную важность как для самого анализа, так и для его приложений.
Вот первые 15 знаков его разложения в десятичную дробь: е= 2,71828 18284 59045 ... В следующем п' мы покажем удобный прием для приближенного вычисления числа е, а также попутно установим, что е есть число ирр'апиональное. Некоторые свойства числа е, которые мы установим впоследствии 154, (13)], делают особенно выгодным выбор именно этого числа в качестве основания для системы логарифмов.
Логарифмы по основанию е называются н а т у р а л ь н ы м и и обозначаются знаком 1и без указания основания; в теоретических исследованиях пользуются исключительно натуральными логарифмами *). ") Этв логарифмы иногда ошибочно называют Н ел ер о в ы м и по имени шотландского математика Н е и е р а (Х. )Чар!ш, ХЧ1-ХЧ11 в.) — изобретатели логарифмов.
Сам Н е п ер не имел понатив об основании системы логарифмов (вбо строил ик своеобразно, на другом принципе), во его логарифмы 1 соответствуют логарифмам по основанию, близкому к —. Близкое к е основанве е имеют логарифмы его современника Б ю р г и (1. Вага)). 127 ГЛ. !.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ сначала разность между любым значением у„+ (т= 1, 2, 3, ...), с л еду ющим за уп, и самим у„. Имеем 1 1 1 ' и+"' " (л+1)! (л+2)! ' ' ' (л+и»)! (л+1Н ( л+2 (л+2)(п-Рз) ' ' ' (л-~-2)(л —' ,3)... (и+п»)~ ' Если в скобках ( 1 заменить все множители в знаменателях дробей через л+2, то получим неравенство 1 ! 1 1 1 Уп»п Уп«[! ! —.!.
— — --!-....1- - — — — 1, (ле1)! [ л+2 (л+2)1 ' ' ' (л+2)»п — »1 которое лишь усилится, если заменить скобки суммой б е с к о н е чн о й прогрессии: л+г Уп+»и Уп « + " (лэ-1)!»»Н Сохраняя здесь и неизменным, станем увеличивать и! до бесконечности; варианта ус+ (занумерованная значком т) принимает последовательность значений Уп+ы Уп+а» У»»эа» ° » Уп+»и» очевидно, сходящуюся к е, Поэтому получаем, в пределе, 1 л+2 е-у„~ —.— ° - —- (и+1)! л !-! или, наконец, Ф! О е — ул« вЂ”,— '. 1 Если через 0 обозначить отношение разности е-уп к числу —,.
(оно, очевидно, содержится между О и 1), то можно написать также В е — у„= — . Заменяя здесь уп его развернутым выражением, мы и придем к важной формуле: 1 1 1 1 9 е=1-!- — + — + — Р... - — +--, 1! 2! 3! ' ' ' ' л! л!л ' (7) п~Р2 1 *) Таа как (это легко проасрить)— (л; — ца п 1 х мОнотОннАЯ ВАРиАнтА 81 которая послужит отправной точкой для вычисления е. Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставлен- ных членов его десятичным приближением, мы и получим прибли- женное значение для е. Поставим себе задачей с помощью формулы (7) вычислить е, 1 скажем, с точностью до —, . Прежде всего, нужно установить, каким взять число в (которое находится в нашем распоряжении), чтобы осу- ществить эту точность.
Вычисляя последовательно числа, обратные фахториалам (см. при- лагаемую табличку), мы видим, что при и = 10 «дополнительный» член формулы (7) будет уже в в ВЫ 10! 10 — 0,000 000 03, так что, отбрасывая его, мы делаем погрешность, значительно меньшую поставленной грашщы. Остановимся же на этом значении В. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом 1 месте, т.
е. меньше †. Мы свели результаты вычислений в табличку. Рядом с приближенным чис- 2,000 000 00 лом поставлен знак (Ф или — ), ука- 1 зывающнй на знак и о и р а в к и, ко- —, = 0,500 000 00 торую необходимо было бы прибавить для восстановления точного 3 0'166 666 67 числа. 1 Итак, как мы видим, поправка —,=0,041 666 67- на отбрасывание дополнительного 3 — = 0,008 333 33+ члена меньше — . Учитывая теперь 10» ' 5! еще и поправки на округление (с их 0! = 0,001 388 89- знаками), легко сообразить, что суь1- марная поправка к полученному при- —,=0,000 198 41+ ближенному значению числа е лежьт между 1 — =0,000 024 80+ 3 5 8! 10» 10» ' 9! — = 0,000 002 76— Отсюда само число е содержится между дробями — 0,000 000 28— 10! 2,718281 78 и 2,718281 86, так что можно положить е = 2,718 281 8» о,«»» ею ь Отметим попутно, что та же формула (7) может служить и для доказательства иррациональности числа е.
6 Г. М. Фак«»«гол»и. «. 1 188 82 ГЛ. !. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Рассуждая от противного, попробуем допустить, что е равно рациональной дроби —; тогда, если именно для этого и написать форв мулу (7), будем иметь т 1 1 1, в — =1-1- — + — -1-... -1--+ — (О .0~1). и 1! 2! ' ' ' и! н!!н Умножив обе части этого равенства на и!, по сокращении знаменателей всех дробей, кроме последней, мы получим слева цев лов число, а справа — целое число с дробью —, что невозможно. Полученное противоречие и доказывает то, что требовалось. 38. Лемма о вложенных промежутках. В заключение этого параграфа, посвященного монотонной варианте, остановимся на сопоставлении двух таких вариант, изменяющихся «навстречу» одна другой: Пусть даны монотонно возрастаюи1ая варианта х„и монотонно убывающая варианта у„, причем всегда х„ у„.
(8) Если их разность у„— х„стремится к О, то обе варианты имеют оби1ий конечный предел: с = 1пп х„= 1пп у„. Действительно, при всех значениях и имеем: у„-у„а значит, ввиду (8), и х„у, (и = 1, 2, 3,...). Возрастающая переменная х„оказывается ограниченной сверху, следовательно, она имеет конечный предел с=!пп х„. Аналогично, для убывающей переменной у„будем иметь у~» «'хя»~х» ~ так что и она стремится к конечному пределу с'= !пп у„. Но, по теореме 1', 30, разность обоих пределов ' с' — с=1пп(у„— х„), т. е. по условию равна О, так что с'=с; это и требовалось доказать. Доказанному утверждению можно придать другую форму, в ко- торой оно чаще применяется. Назовем промежутком (а, Ь)(где а Ь)множествовсех чисел (или, как говорят, «точек») х, удовлетворяющих неравенствам а~х аЬ, Числа («точки») а и Ь называются, соответственно, л е в ы м и п р авым концами промежутка, а их разность Ь вЂ” а — длиной 891 3 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
