Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Отсюда и следует, что варианта х,у„действительно, имеет пределом аЬ. Эта теорема может быть распространена на случай любого ко- нечного числа сомножителей (напрвмер, методом математической ин- дукции). 3' Если варианты хл и ул имеют конечные пределы: 1ип хо=а, 1(шул=Ь, причем Ь отлично от О, то и отношение их также имеет конечный предел, а именно, хл а 1ип =--. Ул Ь Поскольку ЬыО, согласно утверждению 3' в 26, начиная с некото- рого места, не только ул, -О, но даже (у„( .г -О, где г — постоянное число. Ограничимся теми значениями номера п, хл для которых это выполняется; тогда отношение — заведомо имеет смысл.
Исходя, по-прежнему, из равенств (1), имеем кл а а-~-вл и ! — — — — = — (Ьх„— аД,). у Ь Ь+ф Ь Ьул Гл. е теОРия пРеделов 60 !З1 Выражение в скобках, в силу лемм ! и 2, есть величина бесконечно малая. Множитель же прн нем, на основании сказанного вначале, будет о г р а и и ч е н н о й переменной: Ьуп! !Ь!!уп! !Ь!и Следовательно, по лемме 2, все произведение справа будет бесконечно малым, а оно представляет разность между вариантой — ' Ул о хл а и числом —.
Итак, предел — есть —, что и требовалось доказать. Ь' Ул Ь' 31. Неопределенные выражения. В предыдущем пл мы рассматривали выражения хл ~ул хлул (2) Уп и, в предположении, что варианты хл и ул стремятся к конечным пределам (из которых, в случае частного, предел ул не должен был равняться нулю), устанавливали пределы каждого из этих выражений. Оставлены были без рассмотрения случаи, когда пределы переменных хл и у„(один или оба) б е с к о н е ч н ы или — если речь идет о частном — когда предел знаменателя н у л ь. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырех, представляющих некоторую важную и интересную особенность.
1'. Рассмотрим сначала частное —" и предположим, что обе пеУп ременные хл иул одновременно стремятся к нулю. Здесь мы впервые сталкиваемся с совсем особым обстоятельством: хотя нам известны пределы хл и ул, но о пределе их отношения— не зная самих этих вариант — никакого общего утверждения мы сделать не можем. Этот предел, в зависимости от частного закона измененич обеих переменных, может иметь различные значенич или даже вовсе не суи1ествоватьп Следующие простые примеры поясняют это. 1 1 Пусть, скажем, хо= — и ул =-; обе варианты стремятся к нулю. хл 1 Их отношение — =- также стремится к нулю.
Если же, наУл л 1 1 оборот, положить хл =-, ул =--, то хотя оии по-прежнему стремятся л=„~ п,п хп к нулю, на этот раз их отношение — =и стремится к ! Взяв Ул же любое отличное от нуля число а и построив две бесконечно малые в 1 хл=- и Ул=-, внднм, что отношеннс их имеет пРе де лом а (так как тождественно равно а), зц 1 2.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ (-1)" +' 1 Наконец, если хл= —, ул=- (обе имеют пределом нуль), то И И отношение —" = (-1)"+' о к а з и в а е т с я в о в с е н е и м е ю щ и м Ул предела. Таким образом„одно знание пределов вариант хл и у, в д а н н о м случае не позволяет еще судить о поведении их отношения: необходимо знать сами варианты, т. е. закон их изменения, и н ел осредствен н о исследовать отношение — ". Для того, чтобы харакУп теризовать эту особенность, говорят, что когда хл О и ул О, выхл о ражение — представляет неопределенность вида —, Ул О' 2=. В случае, когда одновременно х„~ и ул + имеет место подобное же обстоятельство.
Не зная самих вар и а н т, общего утверждения о поведении их отношения сделать нельзя. Этот факт иллюстрируется примерами, вполне аналогичными приведбнным в 1: хл 1 — — О; Ул И ул=п- хл=п Хл — =п Уп хл =п- ул =и Хл --=а-а; Ул хл=ап х (аыО), у,=п 1 ~ ( 1)п-'1 Уп х (2+ ( 1)п+1)п Р п хл= — О (аыО), п С вЂ” 1)л+1 х.= — — - О, л— И хлул=а а; ул =п уп=п вовсе не имеет предела. В связи с этим при хл О и ул говорят, что выражение хлул представляет неопределенность вида О вовсе не имеет предела.
хл И в этом случае говорят, что выражение — представляет н еУл о пред еле ни о ст ь — вида —. Обратимся к рассмотрению произведения хлул. 3' Если хл стремится к нулю, в то время как ул с т р е м и т с я к Ь, то, исследуя поведение произведения хлул, мы сталкиваемся с такой же особенностью, как и в пунктах 1' и 2'. Об этом свидетельствуют примеры: 1 1 х,= — О уп=п, хлул=- О; 1 хл= — -О, ул=п-, хлул=п (З2 62 ГЛ. !. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Рассмотрим, иакоиец„сумму х„+ у„. 4' Здесь оказывается особым случай, когда х„и у„стремятся к бесконечности разных знаков: именно в этом случае о сумме х„+у„иичего определенного сказать нельзя, ие з Лая самих вар и а и т х„и у„.
Различные возможности, представляющиеся здесь, иллюстрируются примерами: хл 2п +«" Уи= — п хи !.Уи =и -1- х„= п -1- у„= -2п х„-'; у„= — п х =и+а + и= Уп у = — п х„=п+(-1)"+' +, у„= — п-— вовсе не имеет предела. Ввцду этого, при х„' и у„-, говорят, что вь«ралсение хи-ьу„представляет неопределенность вида Таким образом, поставив себе задачей — определить пределы арифметических выражений (2) по пределам вариант х„и у„, из которых опи составлены, мы нашли четыре случая, когда этого сделать нельзя: ие оп ределеиио с ти вида 0 —, О 0' х„+у„=а-а; ! у — ( 1)«+! В этих случаях приходится, учитывая закон измеиеиия вариант х„ и у„, пепосредствеиио исследовать интересующее иас выражение.
Подобное исследование получило название р а с к р ы т и е неопределенности. Далеко не всегда опо так просто, как в приведенных выше схематических примерах. Ниже мы укажем несколько более интересных примеров этого рода. Э2. Примеры ла вахождевле пределов. 1) Пусть р(и) будет мпогочлен, целый отпев««тельно и, с постоянными коэффициентами: р(п)=а«п" +а«пь '+...+ах,п+ал.
Поставим вопрос о пределе его. Вели бы в с е коэффициенты этого мпогочлепа были положительны (отрицательвы), то сразу ясно, что пределом р(и) будет + (- ). По в случае коэффициентов разных злаков одни члены сгремятся к +, лругяе к —, и паппцо леопределенко ст ь вила Для раскрытия этой неопределенности представим р(п) в виде: а, аь ! ав) р(п)=ив~а+ — ь...-ь + — ). и и" ' пь) Так как все слагаемые в скобках, начиная со второго, прл возрастании п будут бескопечпо малымв, то выражение в скобках имеет птиделом а,; первый же множитель стремится к Л- .
В таком случае все выражение стремится к ' вля к — -, в зависимости от знака а,. Упичтожееие «леопределевлости«путем и р е о б р а э о в а и и я данного выражения (чем мы здесь воспользовались) часто премеяяется для раскрытия леолределецяости. ') Конечно, символы этл лишены всякого числового смысла. Каждый пэ пвх является лишь краткой условной характеристикой для выражений одного лэ четырех типов леопределеплосп!. 32) 1 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ б3 2) Если д(л) есть такой же многочлен а(а) =Ьллг+Ьглг г-~...
+Ьг,лч-ЬП р(л) то частное — при возрастании л представит неопределенность вида —, с(л) Преобразуя и здесь каждый из многочлеиов так, как зто было сделано а 1), получим: а, а» Н р(л) л «» — =л" а(л) Ьг Ьг Ьл" + + л ао — . Если степени обоих Ь р(л) ') отношения - — . При 4(л) Второй множитель здесь имеет конечный предел многочленов равны: я=1, таков же будет и предел й 1 первый множитель стремится к +, так что рассматриваемое отношение стремится к И ) знак — в зависимости от знака — ). Наконец, Ьо при й 1, первый множитель, а с вим и все выраже- ние, стремится к нулю.
3) Найти обьел Р треугольной лирамиды ЯАВС (рис. 3). Разделив высоту Н пирамиды на л равных частей, проведем через точки деления плоскости, параллельные плоскости основания. В сечении по- лучатся треугольники, подобные основашпо. По- строим на них систему входящих и выходящих призм; из первых составится тело с объемом Ггл, а из вторых — тело с объемом К;, причем, оче- видно, и„«р- и„'. Но разноси, )гл-)гл есть не что иное, как объем нижней выходящей призмы с основанием (2 Н =-лл. ЛАВС и высотой —; атак разность л 12Н г'л' — Р, = — - о л Рис.
3. при возрастании л, а тогда тем более стремятся к нулю и разности )г — К, и К', — )г т. е. Р'=1!гл Р„=йщ Ггл. Найдем теперь выражение для К;. Мы имеем здесь тело, составленное из ряда выходящих призм; по свойству сечений пирамиды, нх основания, соответственно, будут равны: 1 2» Р лз — О. — (у, — 0 — 0=0 л' ' лл ' л» ' л» 1 л) Так можно было бы получить предел — в примере 4) 25. 3 (32 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Н в то время как высота у всех одна и та же: — . Поэтому Ь а Н 0Н л(л+1)(2л+1) ОН (л+1)(ул+1) «) К, '— (1«42»+...+лв) ° »Р л л«б б л» так что ОН 1'= 1пп К',= —.
3 4) Найти площадь (3 сригуры ОРМ, образо»аллой частью ОМ ларабовы у=ах» (а»б) отрезком ОР оси х и отрезком РМ(рис 4). Разобьем отрезок ОР ла и равюях частей и построим на нях ряд входяших и выходшпих прямоугольников. Площади 9» и К составленных из них ступенчатых х фигур разнятся плошадью — у наибольшего л прямоугольника. Отсюда, как и в 3), разность Д„'-О»-О и, так как 0» 0 0й, очевидно, О = ))ш 0 = йш 12». Так как высоты отдельных прямоу»ольнвков суть ординаты точек параболы, с абспи»хами 1 2 Рис.
4. н — в согласии с уравнением кривой — величина их равна, соответственно, 1 2* »'« а — х«, а — х', ..., а — х«, ..., а х», л' л' то для О» получаем выражение ах» х ахь (л-~-1)(2и+1) 0»= — (1»+2»+... +»Р)— л' л б л' Отсюда ах«х ах' ху (с 1пп О» = 3 3 3 Опираясь на это, легко получить, что площадь параболического сегмента 4 М'ОМ равна — ху, т. е. — двум третям площади описанного прямоугольника 3 (этот результат был ювестеи еще Архимеду)«*). ') Здесь мы используем известную формулу для суммы квадратов первых л натуральных чисел. «*) Общее определение площади криволинейной фигуры будет дано лишь в главе Х (второй том); там же примененный здесь метод вычисления площади будет обобшеи иа другие криволинейные фигуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
