Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Покажем, что классы В и В' — не пустые. В силу неравенства (2) а" 1+ л(а -1) л(а -1), и достаточно взять и у а-1 нведнннн. нешдстннннын числА чтобы было а" =-у; такое натуральное число и относится к классу В'. В то же время имеем: а -л ал я(а П и достаточно взять 1 и> —, у(а-1) ' чтобы было а "«у и число — и попало в класс В. Остальные требования, предьявляемые к сечению, здесь также выполнены.
Построенное сечение В~В' определяет вещественное число Д, которое является «пограничным» между числами обоих классов. По определению степени, имеем и' ае и" (Ь !) Ь'), причем ар есть единственное число, удовлетворяющее всем подобным неравенствам. Но для числа у имеем (по самому построению сечения) а' у аь'. Следовательно, аз=у н ф=1од„у; существование логарифма доказано.
21. Измерение отрезков. Невозможность снабдить, оставаясь в области рациональных чисел, все отрезки длинами также была важнейшим поводом к введению иррациональных чисел. Покажем теперь, что произведенного расширения числовой области достаточно для решения задачи измерения отрезков. Прежде всего сформулируем самую задачу *): Требуется с каждым прямолинейным отрезком А связать некоторое положительное вет«уественное число !(А), копюрое будем называть «длиной отрезка А», так, чтобы 1) некоторый наперед выбранный отрезок Е («эталон длиные) имел длину 1: !(Е)=1; 2) равные отрезки имели одну и ту же длину; 3) при сложении отрезков длина суммы всегда была равна сумме длин складываемых отрезков: !(А+В)=!(А)«-!(В) («свойство аддитивности«). Поставленные условия приводят к однозначному решению задачи.
«) Мы пользуемся здесь школьными сн«деииями ло геометрии н нс формулируем относящихся сюда аксиом. 1 4. пгиложения Вицествениых чисел Из 2) н 3) следует, что д-я часть эталона должна иметь длину 1 —; если же эта часть повторена слагаемым р раз, то полученный ч Р отрезок, в силу 3), должен иметь длину †. Таким образом, если отреч зокА соизмерим с эталоном длины, и общая мера отрезков А и В укладывается в нвх, соответственно, р и д раз, то необходимо Легко видеть, что зто число не зависит от взятой общей меры и что если отрезкам, соизмеримым с эталоном, приписать рациональные длины по этому правилу, то — для этих отрезков — задача измерения будет полностью решена. Если отрезок А больше отрезка В, так что А =В+С, где С есть также некоторый отрезок, то, в силу 3)„должно быть: )(А) =!(В)4!(С) и,таккак ((С) О, то ((А)»((В).
Итакнеравныеотрезкидолжныиметь неравные длины, а именно, больший отрезок — ббльшую длину. Так как каждое положительное рациональное число Р является и длиной некоторого отрезка, соизмеримого с эталоном длины Е, то из сказанного, между прочим, ясно, что ни один отрезок, несоизмеримый с эталоном, не может иметь рациональную длину. Пусть же В будет такой отрезок, несоизмеримый с Е. Найдется бесчисленное множество отрезков В и 5', соизмеримых с Е и, соответственно, меньших или ббльшнх Ве). Если обозначить нх длины через з и я': ! (5) = з, ((В') = з', то искомая длина ((Е) должна удовлетворять неравенствам г«!(В) «у' ее).
Если разбить все рациональные числа на два класса Я и 8', отнеся к нижнему классу э' числа у (и кроме ннх — все отрицательные числа и О), а к верхнему классу э' — числа л', то получится сечение в области рациональных чисел.
Так как в нижнем классе, очевидно, нет наибольшего числа, а в верхнем — наименьшего, то этим сечением определяется иррациональное число о, которое и будет единственным вещественным числом, удовлетворяющим неравенствам я о г'. Именно этому числу не о 6 х од им о положить равной длину ((В). Предположим теперь, что всем отрезкам, как соизмеримым с В, тал и несоизмеримым, приписаны длины в согласии с указанными 4) Это легко доказать, исходя из геометрической ааксиомы Архимедав, о которой уже была речь в 5. 4*) Разумеется, и для длины отрезка 4, С Он эмери м О го С Е, также вылолняются зти неравенства. вввдвнив. ввлвствннныв числя правилами.
Выполнение условий 1), 2) очевидно. Рассмотрим два отрезка Р, Хс длинами о=1(Р), о=1(Х) и их сумму, отрезок Т=Р+ Х, длину которого обозначим через х =1Щ. Взяв любые положительные рациональные числа г, г', в, в' такие, что г р г, в. о в, построим отрезки Я, Я, 5, Я', для которых именно эти числа, соответственно, служат длинами. Отрезок Я -~ 5 (дливы г+ в) будет меньше Т, а отрезок Я' -ь Ю' (длины г'+ в') — больше Т. Поэтому г+в«т г -ьв. Но [И) единственным вещественным числом, содержащимся между числами вида г~-вь) и числами г'+в',является сумма о+а. Следовательно, т = д+ о, ч. и тр.
д. Распространение ссвойства алдитивностиь на случай любого конечного числа слагаемых производится по методу математической индукции. Если на оси (направленной прямой) (рис. 1) выбрать начальную точку О и эталон длины ОЕ, то каждой точке Х этой прямой Рвс. 1.
отвечает некоторое вещественное число — ее а б с ц и с с а х, равная длине отрезка ОХ, если Х лежит в положительном направлении от О, илн этой длине со знаком минус — в противном случае. Естественно встает вопрос, будет ли верно и обратное: каждое ли вещественное число х отвечает при этом некоторой точке прямой? Вопрос этот в геометрии решается в утвердительном смысле — именно с помощью аксиомы о непрерывности прямой, устанавливающей для прямой, как множества точек, свойство, аналогичное свойству непрерывности области вещественных чисел [10). Таким образом, между всеми вещественными числами и точками направленной прямой (оси) можно установить взаимно однозначное соответствие.
Вещественные числа можно изображать точками на оси, которую в связи с этим называют числовой осью. Подобным изображением мы впредь постоянно будем пользоваться. ь) Огреннченне лоложнтельнымн числами г н е. конечно, несущественно. ГЛАВА ПВРВАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ й 1, Варианта и ее предел 22. Переменная величина, варианта. В физике и в других науках о природе читателю встречалось множество различных в е л ич и н: время, длина, объем, вес и т. п. Любая из вих, смотря по обстоятельствам, то принимала различные значения, то лишь одно. В первом случае мы имели дело с переменной величиной, а во втором — с постоянной. В математике, однако, мы отвлекаемся от физического смысла рассматриваемой величины, интересуясь лишь ч и с л о м, которым она выражается; физический смысл величины снова приобретает важность, лишь когда занимаются приложениями математики.
Такши образом, для нас переменная величина (или короче — переменная) является отвлеченной или числовой переменной. Ее обозначают каких~-либо символом (буквой, например, х), которому приписываются числовые значения. Переменная считаетсязаданвой,еслиуказаио множество Ю=(х) з н ач ел и й, которые она может принять. Постоянную величину (короче — постоянную) удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество л:=(х) состоитиз одного элемента.
При установлении понятия и р е д е л а переменной х недостаточно знать лишь, из какого числового множества Х получает значения эта переменная; необходимо еше знать, какие именно значения (среди которых могут быть и повторяющиеся) и в каком порядке она принимает, Откладывая изложение вопроса о направленно й переменной и ее пределе, в общей постановке, до конца следующего тома е) (когда у читателя накопится достаточный опыт в этой области), мы посвятим настоящую главу изучению одного, самого простого и вместе с тем важного, частного типа такой переменной величины. Начнем с установления понятия числовой по с ле д о в а т е льно от и.
Представим себе натуральный ряд: 1, 2, 3, ..., н, ..., л', ..., (1) «) См. там Дополнение: «Обшая точка зрения на предела гл. ь тесная пнеднлов в котором числа расположены в порядке возрастания, так что большее число и' ел еду е т з а меньшим числом и (или меньшее число и п р е д ш е с т в у е т большему числу и'). Если теперь заменить в ряде (1), по какому-нибудь закону, каждое натуральное число и некоторым вещественным числом х„, то получится числовая последовательность: ХГ, ХЗ, ХЗ, ° «Х»* .«Ха'« ' « (2) члены или элементы которой х„занумерованы всеми натуральнымичнсламии расположены в порядке воз растания номеров. При и' и член х„, следует за членом х„ (х„предшествует х„,), независимо от того, будет ли само число х„, больше, меньше или даже равно числу х„*).
Переменную х, принимающую некоторую и о с л е д о в а т е л ьно сть (2) значений, мы — следуя Мерз (СЬ. Мегау) — будем называть в а р и а н т о й. Это и есть тот тип переменной, рассмотрением которого мы здесь ограничиваемся. В школьном курсе математики читателю встречались переменные именно типа варианты. Ему знакома, например, п о с л е до в а те льность вида а, а+сь ач-2«1, ..., а+(и — 1)«1, ...
з з я (арифметическая прогрессия) илн вида а,ад,адз,...,а4" ',... 1 з 3 « (геометрическая прогрессия); переменный член той и другой прогрессии есть варианта. В связи с определением длины окружности обычно рассматривается переменный периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон; таким образом, эта в а р и а н т а принимает последовательность значений: рз= бК рзз — — 12Я1 2 — у'3, Рзз 24Я1 2 — ~ 2+ УЗ«Р«з з з Упомянем еще о десятичном приближении (скажем, по недостатку) к у'2, со все возрастающей точностью; оно принимает п оследов ательность значений: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; и также представляет собой варианту. «1 Аналогнчно определяется понятие и о еле до в ат ел ь н о стн точек на прямой нлн сбьсктов какой-вибо другой природы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
