Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Покажем, что для вещественных чисел выполняются свойства 1 1' и л'. 1 1' Для каждой пары (вещественных) чисел а и [1 имеет место одно, и только одно, иэ соотношений: Если сечение А ~А', определяющее число ««, совпадает с сечением В~В', определяющим число ф, то а=[). Если зти сечения не совпадают, то либо А целиком содержит в себе В, и тогда и р, либо этого нет. В последнем случае существует элемент Ь класса В, попадающий в класс А'. Тогда для любого элемента а класса А нмеем а Ья. Поэтому класс В содержит класс А, не совпадая с ним, и мы имеем р «а. 1 г" Нэ и р, р у следует, что а -у.

Пусть числа и, р, у (среди которых могут быть и рациональные) определяются сечениями А~А', В~В', С~С'. Если и р, то по определению понятия «больше» класс А содержит в себе класс В, не совпадал с ним. В свою очередь, раз [)»у, класс В содержит в себе класс ») Беэ этого условия, например, сечения, рассмотренные в примерах 1 и 2 [61. оба определяли бы одно и то ие число 1, не будучи то»х де отв ен н ыми. » а ВВедение иРРАционАльных чисел С, не совпадая с ннм. Следовательно, класс А целиком содержит в себе класс С, не совпадая с ним, т. е. «« .у. Понятие «меньше» устанавливается теперь, как и в л: мы говорим, чтоа р,еслир~а.Точнотакжезнак~ обладает транзитнвным свойством, подобно знаку». 8.

Вспомогательные предложения. Установим теперь свойство и л о т н о с т и области всех вещественных чисел (ср. 1 3'); точнее, мы докажем следующее утверждение: Лемма л. Каковы бы ни были два вещественных числа а и р, нричем а |З, всегда найдется рациональное число г, заключенное между ними: а» г>р (а следовательно — бесчисленное множество таких рациональных чисел). Так как «« -|З, то нижний класс А сечения, определяющего число а, целиком содержит в себе нижний класс В для числа р, не совпадая с В. Поэтому в А найдется такое рациональное число г, которое не содержится в В и, следовательно„принадлежит В'; для него а .г~|2 (равенство могло бы иметь место, лишь если р рационально).

Но так как в А нет наиболыпего числа, то, в случае надобности, увеличив г, можно исключить равенство. Замечание. Установив, что между вещественными числами а и р (если а р) необходимо содержится рациональное (а не только вещественное) число, мы фактически доказали более сильное свойство области вещественных чисел, чем плотность. В дальнейшем нам придется пользоваться этой усиленной плотностью. Отсюда непосредственно получается Лемма 3. Пусть даны два вещественных числа а и р.

Если, какое бы ни взять число е . О, числа а и р могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами з и з': з';ьаи з, з'=р-з, разность которых меньше е: з' — з е, з' -г' -г з, з'-з»г' — г О, откуда то числа ««и |З необходимо равны. Доказательство будем вести от противного. Пусть, например, а -р.

По лемме 1, между а и р можно вставить д в а рациональных числа г и»'=.г: а г' -г |2. Тогда для любых двух чисел з и з', между которыми содержатся а и р, будут, очевидно, выполняться неравенства зг 19 вввдвнив. вел1встванньш числя так что разность л' — в, вопреки условию леммы, не может быть сделана, например, меньшей числа е=г' — г.

Это противоречие доказывает лемму. 9. Представление веще ствеююго числа бесконечной десятичнойй дробью. Мы имеем в виду такое представление, при котором дробная часть (мантисса) ноложнтельна, в то время, как целая часть может оказаться как положительной, так и отрицательной или нулем. Предположим сначала, что рассматриваемое вещественное число а не является ни целым числом, нн какой-либо к о н е ч н о й десятичной дробью.

Станем искать его десятичные приближения. Если оно определяется сечением А~А', то прежде всего легко убедиться, что в классе А найдется целое число М, а в классе А' — целое же число Ф=-М. Прибавлял к М по единице, необходимо придем к таким двум последовательным целым числам С, и С,+1, что Сь ~ а ~ Св + 1 Прн этом число Св может оказаться положительным, отрицательным или нулем. Далее если разделить промежуток между С, и Свч-1 на десять равных частей числами Св,1; Св,2; ...; Св,9, то а попадет в один (н только в один) из частичных промежутков, 1 1 н мы придем к двум числам, разнящимся на —;: С„с, н Св,с„ь —, для которых 1 Со,с1~а~Со с1 ь 10 ' Продолжая этот процесс дальше, после определения цифр с„см ..., с„ы мы п-ю цифру с„определим неравенствами С„с,с,...

с„и< С<„с„с,... с„+ — . (1) Таким образом, в процессе нахождения десятичных приближений числа и мы построили целое число Св и бесконечный ряд цифр с„св,... ..., с„, Составленную из них бесконечную десятичную дробь, т. е. символ (2) можно рассматривать как представление веи1ественного числа а. В исключенном случае, когда а само является целым числом нли, вообще, к о печной десятичной дробью, можно подобным же образом последовательно определить число Свицифры сы св, ° ю ел~ > исходя из более общих, чем (1), соотношений 1 Св,с,св... с„~а=:.Св,с,св... с„+ — .

(1а) » а Ввьдение иРРАционхльных чисел гз Дело в том, что в некий момент число ««совпадет с одним из концов промежутка, в который мы его заключаем, с левым или с правым — по нашему произволу; начиная с этого момента, соответственно, слева или справа в (1а) уже и о столин о будет иметь место равенство, Смотря по тому, какая из этих возможностей осуществляется, последующие цифры окажутся все нулями или все девятками. Таким образом, на этот раз число х имеет двоякое представление — одно с нулем в периоде, а другое — с девяткой в периоде, например, 3,826 = 3,826000... = 3,825999 .. — 3,826 = 4,174000... = 4,173999 .. Пусть теперь, наоборот, по произволу задана бесконечная десятичная дробь (2); покажем, что всегда найдется вещественное число ««, для которого именно эта дробь и служит представлением.

С этой целью рассмотрим отрезки дроби (2) Сд=С«, с«с«... с~«, (3) которые служат как бы «приблюкенными значениями по недостатку» для искомого числа, а также его «приближенные значения по избытку» 1 С.=С„,с,', ". с.-» го« (4) Сч ~а~С,'„ т. е. число ««удовлетворяет всем неравенствам вида (1а). Этим и доказано, что взятая по произволу дробь (2) является представлением найденного числа. Разность между десятичными приближениями (4) и (3) по избытку 1 и по недостатку, равная —, с возрастанием л может быть сделана меньшей любого рационального числа е О. Действительно, так как 1 натуральных чисел, не превосходящих числа —, существует лишь ко- 1 1 печное число, то неравенство 1О"м — нли равносильное ему: --,-„-- е « Нетрудно видеть, что каждое С„меньше каждого С (не только при т=п, но и при т л).

Теперь мы следующим образом произведем сечение в области рациональных чисел: к верхнему классу А' отнесем такие рациональные числа а', которые больше всех С„(например, все числа С;), а к нижнему А — все остальные (например, сами числа С„). Легко проверить, что это — сечение; оно определяет вещественное число ««, которое и будет искомым. Действительно, так как и является пограничным числом между двумя классами, то, в частности, ВВЕДЕНИЕ.

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 110 может выполняться лишь для конечного числа значений и; для всех же остальных будет 1 — «е. 10" Это замечание, ввцпу леммы 2, позволяет заключить, что число р, отличное от «, не может удовлетворять всем тем же неравенствам (1) или (1а), что и «, и следовательно имеет представление в виде бесконечной десятичной дроби, отличное от представления числа «. Отсюда, в частности, следует, что представление числа, не равного никакой конечной десятичной дроби, не имеет ни нуля, ни девятки в периоде — поскольку каждая дробь с нулем или с девяткой в периоде явно выражает конечную десятичную дробь, Отныне читатель может представлять себе вещественные числа как бесконечные десятичные дроби.

Из школьного курса известно, что периодическая бесконечная дробь изображает р ацион альн о е число и, обратно, каждое рациональное числораэлагается именно в периодическую дробь. Таким образом, изображениями вновь введенных нами ирраииональных чисел служат непер води чес к ие бесконечные дроби.

(Это представление также может быть отправной точкой для построения теории иррациональных чисел.) 3 а м е ч а н и е. В последующем нам не раз придется пользоваться рациональными приближениями а и а' к вещественному числу «с а<«. а', разность которых произвольно мала. Длярапионального «существование чисел а и а' очевидно; для иррационального же «в качестве а и а' можно бьшо бы, например, использовать десятичные приближения С„и С; при достаточно большом и. 10. Непрерывность области вещественных чисел. Обратимся теперь к рассмотрению одного весьма важного свойства области всех вещественных чисел, которое ее существенно отличает от области чисел рациональных. Рассматривая сечения в области рациональных чисел, мы видели, что иной раз для такого сечения в этой области не находилось пограничного числа, про которое можно было бы сказать, что оно производит сечение.

Именно эта неп олн о т а области рациональных чисел, наличие в ней этих и р о б е л о в и послужили основанием для введения новых чисел — иррапиональных. Станем теперь рассматривать сечения в области всех веществен; ных чисел. Под таким сечением мы понимаем разбиение этой области на два не пустых множества А, А', при котором: 1' каждое ве«1ественное число попадает в одно, и только одно *), из множеств А, А'1 ') Ср, оковку вв стр, П, 25 ы1 5 а введение иРРАциОнАльных чисел 2' каждое число а множества А меньше каждого числа а' множества А'. Возникает вопрос: всегда ли для такого сечения А ~А' найдется— среди вещественных чисел — пограничное число, производящее это сечение, илн в этой области существуют пробелы (которые могли бы послужить основанием для введения еще новых чисел) 2 Оказывается, что на деле таких пробелов нет: Основная теорема (Д е д е к и н д а).

Характеристики

Список файлов книги