Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Теперь нетрудно видеть,что,еслиа О,Ь О,такчтоа= — !а!,Ь=!Ь|,то а.Ь=(- !а!).!Ь! = — (!а!.!Ь!).«О; то же будет при а =-О, Ь О. Если же а О, Ь О, то а.Ь=(- !а!) ° (- !Ь!)= — [!а! ° (- !Ь!))= = — [ — (!а! !Ь !))= !а! !Ь! О. Таким образом, мы полностью восстановили известное п р а в и л о з н а к о в при умножении, которое является логическнм следствием перечисленных свойств рациональных чисел. Иными словами, и р авила знаков принудительно навязывается нам, если мы хотим соблюдения упомянутых свойств. То же можно сказать (как зто выяснено выше) и относительно правила умножения на О. Имея в своем распоряжении свойства сложения и умножения, мы теперь могли бы доказать то свойство п л о т н о с т и области рациональных чисел, которое мы сформулировали выше в числе основных свойств [1 3% Именно, с помощью их можно показать, например, а+Ь что из а .Ь следует а — Ь.

г 5. Аксиома Архвмеда. Заключим наш перечень основных свойств рациональных чисел следующим простым и важным утверждением, которое не вытекает из перечисленных свойств: 1'ч' 1' каково бы ни было число с >О, суи1ествует натур а л ьное число и, которое больше с («аксиома Архимеда«). В действительности А р х имел о м было высказано геометрическое предложение, которое и известно под нменем «аксиомы А р х имедан если на прямой даны любые два отрезка А и В, то можно А повторить слагаемым столько раз, чтобы сумма была больше В: А«-А+... +А=А п»В.

л Р«« 5 2. ВЕЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЪ|Х ЧИСЕЛ Вели перефразировать это утверждение для положительных чисел а и Ь, то оно сведется к существованию такого натурального числа и, что а+а+... +а=а И»Ь. Это неравенство, если использовать уже изученные свойства рациоь. нальных чисел, оказывается равносильным такому; и —; обознаь а* чив частное — через с, мы и получим ту формулировку, которая а дана выше. 5 2. Введение нррацнональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел б. Определение нрряпноналыюго числа. Множество рациональных чисел со всеми их свойствами, перечисленными в 5 1, считается данным. Мы изложим теорию иррациональных чисел, следуя Дедекинду (К.

11ебек)лб). В основе этой теории лежит понятие о с е ч е н и и в области рациональных чисел. Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два не пустые (т. е. действительно содержащие хоть по одному числу) множества А, А'. Мы будем называть такое разбиение с е ч е н и е м, если выполняются условия: 1' каждое раииональнов число попадает в одно, и только в одно и), из множеств А или А'; 2' каждое число а множества А меньше каждого числа а' множества А'. Множество А называется нижним классом сечения, множество А' — в е р х н и м к л а с с о м.

Сечение будем обозначать А ~ А'. Из определения сечения следует, что всякое рациональное число, меньшее числа а нижнего класса, также принадлежит нижнему классу. Аналогично, всякое рациональное число, большее числа а' верхнего класса, и само принадлежит верхнему классу. П р и м е р 1. Определим А как множество всех рациональных чисел а, удовлетворяющих неравенству а 1, а к множеству А' причислим все числа а', для которых а'~1.

Легко проверить, что таким образом мы действительно получим сечение. Число 1 принадлежит классу А' и является, очевидно, в нем наименьшим числом. С другой стороны, нет наибольшего числа в классе А, так как, какое бы число а из А мы ни взяли, всегда можно и) То обстоятельство, что каждое ряпеопяльяое число попадает т о л ь к о в олвп яз классов, вытекает, впрочем, яз требовяеея 2'. 2 Г. ЬЕ Фииьииаиьп, т. | 18 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 16 указать рациональное число а„лежащее между ним и единицей, следовательно, большее а и тоже принадлежащее классу А. Пример 2. К нижнему классу А отнесем все рациональные числа а, меньшие или равные 1: а;1; к верхнему — рациональные числа а', ббльшие 1: а' .1. Это также будет сечение, причем здесь в верхнем классе нет наимееьшего числа, а в нижнем есть наибольшее (именно, 1). Пример 3.

Отнесем к классу А все положительные рациональные числа а, для которых а' 2, число 0 и все отрицательные рациональные числа, а к классу А' — все положительные рациональные числа а', для которых а" -2. Как легко убедиться, мы опять получили сечение. Здесь нн в классе А нет наибольшего числа, ни в классе А' — наименьшего. Докажем, например, первое из этих утверждений (второе доказывается аналогично).

Пусть а — любое положительное число класса А, тогда а'. 2. Покажем, что можно подобрать такое целое положительное н, что (а+-11 2, так что и число а+ — будет принадлежать классу А. 1 Это неравенство равносильно таким: а + — + — «2, — + — «2-а. 2а 1 2а 1 „«1 и Последнее неравенство и п о д а в н о будет выполнено, если н удов2а+1 летворит неравенству — 2 — а', для чего достаточно взять 2в+1 н - —, 2-а' ' аэто всегда возможно [по «аксиоме Архимеда», 1Ч 1'). Итак, каково бы ни было положительное число а нз класса А, в этом же классе А найдется большее его число; так как для чисел а~О это утверждение непосредственно очевидно, то никакое число класса А не является в нем наибольшим. Легко понять, что не может существовать сечение, для которого одновременно в нижнем классе нашлось бы наибольшее число а„.

а в верхнем классе — наименьшее аь. Пусть, в самом деле, такое сече. ние существует. Возьмем тогда, пользуясь плотностью областт рациональных чисел 11 3'1, любое рациональное число с, заключаю щееся между а, и аь: а, с«аь. Число с не может принадлежат» классу А, нбо иначе а не было бы наибольшим числом в этом классе В по аналогичной причине с не может принадлежать классу А', » это противоречит свойству 1' сечения, входящему в определени~ этого понятия. 19 1 2. ВВЕДЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстрируемых как раз примерами 1, 2, 3: 1) либо в нюкнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе А' есть наименьшее число г; 2) либо в нижнем классе А имеется наибольшее число г, а в верхнем классе А' нет наименьшего; 3) либо, наконец, нн в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе — наименьшего.

Впервыхдвухслучаяхмыговорим,чтосечение производится рациональным числом г (которое является п о г р а н и ч н ы м между классами А и А') илн что сечение определяет рациональное число г. В примерах 1, 2 таким числом г была 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационалъного числа.

Введем теперь н о в ы е объекты — и р р а ц и опальные числа, условившись говорить, что всякое сечение вида 3) определяет некоторое и р р а 21 и о н а л ь н о е число а. Это число а заменяет недостающее пограничное число, мы как бы вставляем его м е жду всеми числами а класса А и всеми числами а' класса А'. В примере 3) это вновь созданное число, как легко догадаться, и будет )Г2. Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обозначений а), мы неизменно будем связывать иррациональное число а с тем сечением А1А' в области рациональных чисел, которое его определяет.

Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу г. Но для каждого числа г существует д в а определяющих его сечения: в обоих случаях числа а г относятся к нижнему классу, числа же а' г — к верхнему, но само число г можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда г там будет наибольшим), либо в верхний (и г там будет наименьшим).

Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число г, включать это число в в е р хний класс. Числа рациональные и иррациональные получили общее название вещественных (или действительных) чисел. Понятие вещественного числа является одним из основных понятий математического анализа. 7. Уиорзщочеиие области вещественных чисел. Два и р р абиональных числа а и ф, определяемых соответственно сече- виями А ~ А' и В ~ В', считаются р а в н и м и в том и только в том *) Речь идет о конечных обозначениях; со своего рода бесковечи ы м и обозначениями иррациональных чисел читатель познакомится в 9.

Чаще всего иидвввлуальио заданные иррапиовальвые числа обозиачают в зависимости от их происхождения и ролщ 1Г2, 1оя 5, зщ 10' и т. и. ввндвнив. вншвстввнныи числа [7 случае, если эти сечения тождественны; впрочем, достаточно потребовать совпадения нижних классов А и В, ибо верхние классы А' и В' тогда совпадут сами собой. Это определение можно сохранить и в случае, когда числа и и р рациональны. Иными словами, если два ра««ионалъных числа а и [э' равны, то определяющие их сечения совпадают, и, обратно, — из совпадения сечений вытекает равенство чисел с«и [).

При этом разумеется, следует учесть условие, заключенное выше насчет рациональных чисел*). Перейдем теперь к установлению понятия «больше» по отношению к вещественным числам. Для рациональных чисел зто понятие уже установлено. Для рационального числа г и иррационального числа сс понятие «больше» было, собственно, установлено в б: именно, если и определяется сечением А ~А', мы считаем, что а больше всех рациональных чисел, входящих в класс А, и в то же время все числа класса А' больше и. Пусть теперь имеем два иррациональных числа а иф, причем и определяется сечением А ~А', а [» — сечением В~В'.

Мы будем считать то число ббльшим, у которого нижний класс б о л ь ш е. Точнее говоря, мы будем счепать ««ф, если класс А «[аликом содержит в себе класс В, нв совпадая с ним. (Это условие, очевидно, равносильно тому, что класс В' целиком содержит в себе класс А', не совпадая с ним.) Легко проверить, что это определение может быть сохранено и для случаев, когда одно из чисел и, ф или даже оба — р аииональны.

Характеристики

Список файлов книги