Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 12
Текст из файла (страница 12)
принимает ли значения, равные пределу. Существенно лишь то, о чем говорится в определении: переменная должна отличаться от предела сколь угодно мала в конце копцов, т. е. для достаточно далеких свовх значений. 4) Возьмем более сложвый пример варианты: из — а+2 Злз42л-4 1 докажем, что ее пределом будет число —. 3' С этой целью рассмотрим разность 1 -5л+10 3 3(Зля+ 2л — 4) и оценим се абсолютную величину; для л =-2 имеем: !"- ~ 1! 5л-10 5л 5л 1 3 ~ З(Злг4-2л — 4) 3(Злг- 4) 3 2лг л (1) 1 так что это выражение меиыпе г, если п»И,= Е~ -~. Этим доказано, что х„- —.
(е) 3' 4 г. м. Фигмнгольи, т, Г 50 ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОН 5) Определим варианту формулой п ..=Р= У. (.-П, и докажем, что хп -1. Если воспользоваться неравенспюм (3) в 19, то можно написать: » (а — 1) !х» — 1) )'а — 1в — е лишь только л»йг, Е~ — ~. Можно, однако, рассуждать и иначе. Неравенство 1 !хп-1! а"-1 е равносильно такому: 1 1 — !ойа(! «-е) или л и !ойа(1«е) 1 так что оио выполнЯетсЯ пРи п~дгв Е (!Ой» (19») / В соответствии с выбранным способом рассуждения мы приищи к р а з л и ч- 9 н ы м выражениям для )ч,.
Например, при а=10, »=0,01 получаем !9» „= — = 1 0,01 = 900 по первому способу и 1(в,вг - Е ~ = 231 — по второму. По второму (0,00432... ~ способУ мы полУчили Яаименьшее нз вожаожных значений дла Агв,вм ибо 1 уже !ОФ=1,010017 ... отличается от 1 больше, чем на е-0 01. То же будет и в общем случае, ибо, как легко видеть, при 1 л~ необходимо а» -1и е. !ой» (1+») Заметим по этому Проводу, что мы вовсе не заинтересованы именно в н а им е н ь ш е м возможном значении Ф„если речь идет только об установлении факта стремления к пределу.
Должно быть гарантировано выполнение неравенства (3), начиная хоть с хакого-нибудь места, далекого или близкого — безразлично. 6) Важный пример бесконечно малой дает варианта и =а» где )9! 1. Для доказательства того, что ап -О, рассмотрим неравенство (ап! ~9~» и оно равносильно чампи: !ОЫ е в) и !ой!9! !ойе или л !ой!9! Таким образом, если положить (считая е а 1) то при л А1» упомянутое неравенство наверное выполнится. Аналогично, легко убедиться в том, что и варианта 19» А. дп, в) Пад 1ОИ Х ЗДЕСЬ (И ВПрЕдъ) раэуМЕЕтея !Ой, Х.
СЛЕдуЕт ИМЕТЬ В Вяду, Чта ~9! 1 и 1ой (9~ О,' поэтому при делении обеих частей неравенства на зто число знак неравенства должен быть изменен на обратный. 1 Е ВАРИАНТА И ЕЕ ПРЕДЕЛ 51 где по-прежнему ]Е] 1, а А — постоянное число, также есть бесконечно малая. 7) Рассмотрнм, далее, бесконечную убывающую геометрическую прогрессию -д,у )з . д л-г (]С] 1) и поставим вопрос об определении ее с у м м ы. Под суммой бесконечной прогрессии, как известно, разумеется предел, к которому стремится сумма з„ее л членон при безграничном возрастании и. Но а-адл а а зп.= — = — ' ч», 1-С 1-д 1-а д а так что варианта зп разнится от постоянного числа — на величину ап = †.
Сл, 1 — 1 1 — д которая, как мы только что видели, является бесконечно малой. Следовательно, по второму определению предела, искомая сумма прогрессии д з=!вп гп= —. 1 — д Таким образом, зто число является суммой бесчисленного множества членов прогрессии, что записывают так: а ,г.].да+дав+ .1. )л — ~ 1 ! — а 8) Пусть даны два числа а и Ь. Положим хп —- а, х, = Ь, а псслелуюнще значения ВаРИавтЫ Хл ОПРЕДСЛИМ РаВЕИСПЮМ х„,+хп хл = (и 2). 2 Этим варианта хп, действительно,задана, так как, полагая здесь л=2, 3, ..., можно последовательно найти все ее значеяня, до любого включительно. Если из обеих частей написанного равенства вычесть по хп „то получим 1 хп-хп — 1 — — (хл-г-хл г) (л=2, 3, 4, ...). 2 Таким образом, в ряду разностей хг — хп=Ь вЂ” а, хз хг, ..., хп-1 — хп — з хл — хп 1 каждая (начиная со второй) получается нз предыдузпей умножением на — —, т.
е. 2' 1 мы имеем здесь геометрическую прогрессию со знаменателем — —. Так как сумма 2 л ее членов есть хп — а, то, пользуясь известной нам (см. (7)] формулой для суммы прогрессии, сразу получаем: Ь-а 2 йщ(хп — а)= = — (Ь-а), +~) ' откуда уже легко заключить, по 2 а+2Ь 1нл хл =- а+ — (Ь вЂ” а) = — . 3 3 52 ГЛ. !. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 9) Наподобие геометрической прогрессии можно рассмотреть п р о и з в о л ь и у ю последовательность чисел а1 аг аз... ал и, по порядку складывая их, образовать !частичные суммым А,=-а,, А =а,;аг, Аз=а,Раева„, Ал =аз Резь ... Еап, Если, при безграничном возрастании и, Ал стремится к (конечному или бесконечному) пределу А, то зто число называют су м мой всех взятых чисел а„н пишут а,-(-а,+ ...
-~-ал-!- ° =А. Символ в левой части этого равенства называют бесконечным рядом, а число А — его су м мой. Про ряд, имеющий конечную сумму, говорят, что он сходится. Пусть„например, дан ряд 1 1 1 1 — — + — — — ь — — -~- 1 2 2. 3 3.4 л(л-1-1) Здесь 1 1 1 1 1 а ,= — — =-1 — —, 'зг = 1 ° 2 2 2 ° 3 2 3 1 ! 1 ач = л(л-1-1) л и-!-1 так что в данном случае Ал=(! --,;)+~ — — --)+ 4-~ — — — — ) =! — —.
Очевидно, Ал 1, так что предложенный ряд сходится и тлеет суммой единицу. Если рядне имеет конечной суммы, про ного говорят, что он расходи тс я: таков, например, ряд 1+1 ь... +1 — .'... 26, Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел. Пусть варианта х„имеет предел а. При любом р а (или а =а) легко подобрать число в О так, чтобы было а — е»р (или а —;в~у); для этого достаточно взять в меньшим разности а — р (или д — а). Но, по определению предела (23), найдется такой номер Л!, что для и .)(г будет выполняться неравенство !см.
(4)) х„. а-в (т„а+е), а следовательно — и подавно неравенство х„р (или х„д). !' Если варианта хл стремится и пределу а, и а =-р (а . д), то и все значения переменной, начиная с некоторого, тоже будут »р ( й). гв1 Ф Е ВАРИАНТА И Еь ПРЕДЕЛ 53 Это простое предложение имеет ряд полезных следствий.
2' Еслзл варианта х„стремится к пределу а- 0 ( «0), пю и сама перемеюшя х„О ( 0), начиная с некоторого места. Для доказательства достаточно применить предыдущее утверждение, взяв р=О (д — -0). Можно установить и более точный результат: 3' Если варианта х„стремится к пределу а, оп1 личному от нуля, то, по крайней мере, достаточно далекие значения х„по абсолютной величине превзойдут некоторое положительное число г: )х,) г. 0 (для п=-Ж).
Действительно, при а 0 ( О) можно взять 0 р а (а-д 0) и цоложить г=р (г= ~д~). "4' С другой стороны, если варианта хв и.Веет предел а, то она является ограниченной, в том смысле, что все ее значения по абсолютной величине не превосходят некоторой конечной границы: (х„(жМ (М=сопзй п=1, 2, 3„...). Возьмем число М' ~а~, так что — М' а М', иположимр.= -М', а д=-М'. Найдется такой номер 1Т', что для и Л' будет -М' х„. М' нлн )х,~ ° М'. Это неравенство наверное выполняется при п=1т'-ь1, Л" +2, ..., так что ему могут не удовлетворять лишь первые Ф значений нашей варианты (или некоторые нз ник). Позтому, если положить М равным наибольшему из чисел ~х1(, (х,(,..., (хн), М', то уже Лля в с е х значений х„будем иметь: ~х„~ ==М, ч. и тр.
д. 3 а м е ч а н и я. 1. Можно дать определение ограниченности переменной х„в равносильной форме, потребовав вьшолнения неравенств 7с*чх„д (п=1, 2, 3, ...), где к н я — два конечных числа. Действительно, из этик неравенств, если положить М равным наибольшему из чисел ~7с(, )ф, следует ~х„~*аМ; обратно, если имеет место последнее неравенство, то оно может быль написано в форме — М вх„М, так что — М играет роль к, а М вЂ” роль я. П.
Утвержление 4' не может быль обращено: не всякая ограниченная варианта имеет предел. Бели положить, например, х„=( — 1)'"', то зта варианта, конечно, ограничена: ~х„~ ~1, но предела она нс имеет, все время колеблясь от ь1 к — 1, ГЛ. Е ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 127 В заключение, опираясь на предложение 1', докажем е д и нственность предела: 5' Варианта х„не мозкет одновременно стремиться к двум различныл« пределам. Действительно, допустим противное: пусть одновременно х„а и х„Ь, причем а Ь. Возьмем любое число г между а и Ь а< г<Ь.
Поскольку х„а и а г, найдется такой номер У', что для п -Ф' будет выполняться неравенство: х„«г. С другой стороны, раз х„Ь и Ь г, найдется и такой номер М", что для и. Л"' окажется: х, -г. Если взять номер п ббльшим и Лп, и )ч'", то соответствующее значение переменной х„будет одновременно и г и .г, что невозможно. Это противоречие доказывает наше утверждение. 27. Бесконечно большие величины. Бесконечно малым величинам, в некотором смысле, противопоставляются б е с к о н е ч н о б о л ьшие величины (или просто бесконечно большие). Варианта т„называется бесконечно большой, если она по абсолютной величине становится и остается большей сколь угодно большого наперед заданного числа В О, начиная с некопюрого места: ~ хл ! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
