Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

1 2. теОРемы О пРеделАх 5) Доказать, что при О«» 1, !нп ((лю 1)» — л»] О. О«(+Ц«- «= «[~1+ — !! -1~- «!!(!+ — )1-!~=в «~ ~ л~ лх-« 1 Так как — О, то и подавно (л+ 1)» — л»-О, ч. и тр. д. лх — » 6) Найти предел варианты х„= )!л ()(и+1 — )/л), представняющей (согласно предыдущему нримеру) неопределенность вида О.

Умножая и деля иа сумму корней )Гл+1+ !и,преобразуемданноевыражение к неопределенности внда — : ()!л+1 — )!хх)()хо+!+ ) л) )!и ,=)(' )'л Е 1 Ф (л ! л+ 1 Ф )хл наконец„делим числитель н знаменатель на 1'л: 1 Очевидно, )Г 1 1+ — 1+ —; л л так как выражение справа стремится к 1, то зто же справедливо и относительно корня.

Окончательно, ! !лпх =---, 2 7) Найти пределы вариант: л хл =- '!'лхюл л ул = '!'лх -1- 1 и, наконеп, 1 1 1 1 хл=' + + . Ф + °-- )6Р+1 )!лх.~-2 )!лх-Ь! )хл'Фл Варианты хл и ул представляют неопределенность взща — (так как оба корня л, то онн стремятся к ). Преобразуем, деля числитель и знаменатель на и Ул =:: ° Так как оба корня в знаменателе имеют пределом 1 (ср. предыдущий прнмер), то хл 1 иул 1. Г. М. Фвхххлгольц, х. 3 Мы имеем здесь неопределенность вида — . Преобразуем, вынося л» за скобку: [32 ГЛ. 1.

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Выражение для я„имеет своеобразную форму: каждое слагаемое этой суммы зависнт от л, но и число их растет вместе с л*). Так каккаждоеслагаемое меиыпе первого и больше последнего, то л и хл —, т. е. хл Хл ул. [л" +л [1л»4-1 Но (согласно уже найденному) ваРианты хл и ул стремятся к общему пределу 1; следовательно, — по теореме 3; 28, — к тому же пределу стремится н варианта я».

8) Пусть дано ш положительных чисел а„а„..., а,„. Обозначая через А наибольшее ю них, доказать, что лгл л л !йп и а,+аз+... +ли=А. Заключение это следует из очевидных неравенств 1/Л Л Л А»еГ/а1+аз+...+ан А.1ГЩш [см. 28, 5)). 9) Мы шшелн в 27, что при а 1 степень ал»+ (с возрастанием л). Исследуем теперь поведение отношения ал л» (при л О), представляющего неопределенность вида —. Установим одно вспомогательное неравенство [ср. неравенство Б е р н у л л и в 19[. Положив а= 1+2, так что 1 О, имеем по формуле бинома Н ь ю т о н а1 л(л — 1) л(л-1) . а" = (! 4Л)» =14лЛ+ Ли+... 2*, 2 2 Так как для л 2, очевидно, л- ! --, то окончательно, 2 (3) 4 При и= 1, получаем сразу а" (а — 1)' л 4 так что ал 1лп — + и Так квк этот результат верен при л ю б о м а 1, то, взяв» 1, можем написать (по крайней мере, для достаточно больших л) 1 1 уи [(а»)»[и ( ~)л откуда ал !1ш — + (ал1).

ии *) Эту ясе особенность, впрочем, име1ш и выражения для )'» н О„в 3), 4), 67 ! 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Доказанный, таким образом, для (ст1, этот результат тем более будет верен и для 3«1. 10) Тем же неравенством (3) можно воспользоваться, чтобы установить, что к !ип !»=1. » Именно, полагая в нем а= )эл, получим п — ( [(п — 1)э, откуда 2 О [(л — 1 что и приводит к требуемому результату. ! 1) Теперь мы можем установить и другой интересный предел 1ойо п 1ип — = О (а ь 1). Здесь мы снова иьэеем неопределенность вида —, ибо, как легко показать, !Окоп-~- Действительно, если взять произвольное число г О, то, поскольку а' 1, для достаточно больппи и будет [26, 1') [(п а'.

Логарнфмируя по основанию а, получим !ойэ и — е, откуда и следует высказанное утвержлсшю. 33. Теорема Штольца и ее првмененнв. Для определения пределов неопределенх» ных выражений — типа — часто бывает полезна следующая теорема, прянадле- У» яеааэая Штольцу (О. 3!о[х) "). Пусть варианта у» Ь, приче.и — хоти бы начинач с некоторого местов с воэраснюнием и и у„воэрастаетг у»ьэ у„. Тогда х» х»-х»-э 1!пг — = йш Уп У» У»-э есеи только суи!ествует нредев справа (нанечкин иеи данте бесконечныйй Допустим сначала, что этот предел равен к о н е ч н о м у числу (: х» хп — г 1пп =!.

У» У»-г Тогда по любому заданному е О найдется такой номер Ж, что для ни)т' будет е х»-к„, е — г+ — . 2 У» -Уп-э 2 ь) При частном предположении у„п мы находим эту теорему еще у К о ш н (А. 1.. Санс)эу). 69 33! 1 2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 12) Мьс видели уже В 9)„что при о 1 ,гл !!пг — — — 4 л Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу: ал / 1! 1!гп — =!пп(ал — ал ')=!пиал ![! — — 1 )-сл а То же относится и к примеру 11).

13) Применим теорему Ш т о л ь ц а к доказательству слелуюшего интересного предложения (К о ш и): лслсс варианта ал имеет предел (конечный или беслане сиый), то тот аие предел имеет и варианта а«+а«+ ° ° ° +ал («л = л («ср пиес арифьсегическоес первых и значений варианты а„).

Дейс гвитсльно, полагая в теореме Ш т о л ь ц а хл=а,+а«+...+ал, Ул=и, имссм хл . хл хл-с !йп ол = 1птс — = 1йп = 1нп и„. Ул Ул 'Ул-с л ! 1апример, если мы знаем [Ю)[, что [Ги-1, то и « л 1«-[124. '!'3 >... с- '!и -. !. 14) Рассмотрим теперь варианту (считая й — натуральным) 1и+2н-~-... +л" ел л" +г так чго и [см. 2)[ (!с+1) (1н+2" 1-...;-и")- и"+' (!с+1) ин которая представляет неопределснносп вида — .

Полагая в теореме Ш т о л ь ц а хи=1«+2"+... -, 'л", Ул =ли«г, будем иметь лн йш гл -Иш ив+с (я !)и ' г ' Но 1)а+с = лн+г (й !) ли+..., „сс+г (л !)н«г=(й с1)лнь„, л" 1 1!пг ел = !пп (й«-1) л" +... а+1 ' 15) В заключение определим предел варианты 1 ! 1Н+2Н«-... 4и" и ил=и[Ел )= й+1) лн й+1 представляющей в первой форме неопределенность вида .О, а во второй вида — .

Про«писля вычитание дробей, получим на зтот раз неопределенное выражение вида —: [34 гл. с. твогия пнвдялов то Полагая хл равньсм числителю втой дроби, а ул — знаменателю, применим еспе раз ту не теорему. Получим ((с.Ь1)„а [ив+с (и 1)в+с[ 1вп ил = 1[со (/с+1) [и» вЂ” (и-1)Ч Но ()с 1) и" — [л"+' — (и — 1)В+с[ л" '+...

(1с-ь1) (с 2 а и"-(и — 1)а=йи" '+..., так что [см. 2)), окончательно (сс.' 1) л и" 2 1 1'нп кл =1'нп (сс+1) lсл" сч-... 2 й 3. Монотонная варианта 34. Предел монотошюй варианты. Теоремы о существовании пределов переменных, которые приводились до сих пор, имели такой характер: в предположении, что для одних вариант пределы существуют, устанавливалось существование пределов для других вариант, так или иначе связанных с первыми.

Вопрос о признаках существования конечного предела для з ада н н о й варианты, безотносительно к другим переменным, не ставилсш Оставляя решение этого вопроса в общем виде до з 4, 39 — 42, мы рассмотрим здесь один простой и важный частный класс переменных, для которых он решается легко. Варианта хл называется возрастающей, если хз~ ~хи~хам т. е. если из л'.

и следует х„' х,. Ее называют неубывающей, если ХС~ХЕ Хл' Хлм т. е. если из и' и следует лишь х„с~х„. Можно и в последнем случае называть переменную возрастающей, если придать этому термину более широкий смысл. Аналогично устанавливается понятие об убывающей — в узком или широком смысле слова — варианте: так называется варианта, для которой, соответственно, х, -х, ... хл .хл+,- или Х1 Хз~ ' ' ' Хи~ Хл+1 так что из л' .и следует(смотря по случаю) х, хл или лишь хс мх„.

Переменные всех этих типов, изменяющиеся в одном направлении, объединяются под общим названием м о и о т о н н ы х. Обычно » 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА о варианте говорят, что она «монотонно возрастает» или «монотонно убывает». По отношению к монотонным вариантам имеет место следующая — фундаментальной важности— Теорема. Пусть дана монотонно возрастаю»чая варианта х„. Если она ограничена сверху: х„М (М=соазц п=1, 2, 3,...), то необходимо имеет к о н е ч н ы й предел, в противном же случае— она сп»ремится к + Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая варианта х„.

Ее предел конечен, если она ограничена снизу: хп~т (т=сопзц п=1,2,3, ...), в противном же случае ее пределом служит— Доказательство. Ограничимся случаем возрастающ е й, хотя бы в широком смысле, варианты х„(случай убывающей варианты исчерпывается аналогична). Допустим сначала, что эта перемешьзя ограничена сверху. Тогда, по теореме п' 11, для множества (х„) ее значений должна существовать и (конечная) точная верхняя граница: а=знр (х„); как мы покажем, именно это число а и будет пределом варианты х„.

Вспомним, действительно, характерные свойства точной верхней границы (11). Во-первых, для всех значений п будет х„~а. Во-вторых, какое бы ни взять число в -О, найдется такой номер К, что х», а — е. Так как, ввиду монотонности нашей варианты (здесь мы впервые на это опираемся), прил Ф будет х„-х,д, т. е. и подавно х„а — е, то для этих значений номера п выполняются неравенства О~а — х„. е или ~х„— а! е, откуда и следует„что йш х„=а.

Характеристики

Список файлов книги