Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

ПРинцип сходимости. чкстичи|ле пРеделы 83 промежутка. Нетрудно видеть, что на числовой оси и ро межу т к у отвечает отрезок (той же длины). Условимся говорить, что промежуток 1а', Ь'1 содержится в промежутке 1а, Ь) илн вл о же н в него„если все точки первого промежутка принадлежат второму или, что то же самое, если а=;а' .Ь'ыЬ. Геометрический смысл этого ясен. Пусть имеется бесконечная последовательность вложенных один в другой промежутков 1аы Ь41, 1аь, Ье), ..., '1а„, Ь„1, ..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 с возрастанием и: 11ш(Ь„-аь)=0.

Тогда концы аь и Ь„промежутков 1с ратных сторон) стремятся к общему пределу с = 1пп а„= 1пп Ь„, который представляет единственную точку, общую всем промежуткам. Это есть лишь перефразировка доказанной выше теоремы: согласно условию, а„ ~а„+т -Ь„+|гвЬ„, так что левый конец а„ и правый конец Ь„ п-го промежутка играют здесь роль монотонных вариант х„ и уь. Так как а„ стремится к с возрастая, а Ь„ — убывая, то а„гкс-«Ьь (п=1, 2, 3,...), т. е.

точка с, действительно, принадлежит всем нашим промежуткам. В то же время другой, отличной от с, точки с' с тем же свойством быть не может, ибо иначе мы имели бы ܄— аь..н (с' — с! 0 и длина и-го промежутка не могла бы стремиться к О. Впоследствии нам не раз придется опираться иа это предложение, КОтсрОЕ МЫ будЕМ НаЗЫВатЬ 4ЛЕММОй О ВЛОЖЕННЫХ ПрОМЕжутКаХь. 8 4. Принцип сходимости.

Частичные пределы 39. Принцип скодамостн. Пусть задана варианта х„, пробегающая последовательность значений х„х„...,х„, ...,х„, ... (1) Займемся, наконец,вопросомоб общем признаке существования конечного предела для этой варианты. Само опре- 139 гл. ь теОРия певделов деление предела для этой цели служить не может, ибо в нем фигурирует уже тот предел, о существовании которого идет речь. Мы нуждаемся в признаке, который использовал бы лишь то, что нам дано, а именно — последовательность (1) значений варианты, Поставленную задачу решает следующая замечательная теорема, принадлежащая чешскому математику Б о л ь ц а н о (В. Во1гапо) и французскому математику К о ш и (А. Ь.

СапсЬу); ее называют примпилом сходимости. Теорема. Для того чтобы варианта х„вообше имела конечный предел, необходилю и достаточно, чтобы для каждого числа е -О суи1еппвовал пикой номер Ф, чтобы неравенство ~хл-хк~ -в (2) выполнялось, лишь только и Ф и и'=-Л~. Как видит читатель, суть дела здесь в том, чтобы значения переменной м е ж д у с о б о й безгранично сближались по мере возрастания их номеров. Обратимся к доказательству.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть варианта х„имеет определенный конечный предел, скажем, а. По самому определению предела 123), каково бы ии было число е -О, по числу — найдется такой номер Ф, что для п»Х всегда имеет место неравенство Е ~хп-а~ 2 Возьмем теперь любые два номера п Ю и п'=-Ж; лля иих одновременно будет 1х,— а~ 2 и ~а х'~ 2 откуда !х„-х, ! = ~(х„-а) е(а — х„)~ ~(х„— а~ + !а — х;~ ы2+2 =в.

Этим необходимость условия доказана. Значительно труднее доказать его Достаточность. Пусть условие теоремы выполнено; требуется установить, что тогда для варианты х„существует определенный конечный предел. С этой целью произведем в области всех вещественных чисел сечение по следующему правилу. В нижний класс А отнесем каждое такое вещественное число а, для которого, начиная с некоторого номера„выполняется неравенство х„а.

В верхний же класс А' отнесем все остальные (т. е. не попавшие в А) вещественные числа а'. Ф А ЛРИНПИП СКОЛИМОСТИ. ЧАСГИЧНЫБ ПРЕДЕЛЫ Прежде всего, убедимся в непустоте этих классов, используя для этого условие теоремы. Задавшись произвольным числом е О, возьмем соответствующий ему (в указанном там смысле) номер зч. Если л .Ф н л'»Л, то выполняется (2), откуда (3) х, -е хл х„+е. Теперь мы видим, что каждое число х, — е (где л'».зч') в отдельности относится к классу А, ибо для достаточно больших л (именно, для л .Ф) х„его превосходит.

С другой стороны, так как (для тех же л) х„оказывается меньшим, чем любое из чисел вида х, 4-е (при и' зч), то ни одно такое число заведомо не может принадлежать А и, следовательно, относится к классу А'. Правило, определяющее классы А и А', так сформулировано, что из него непосредственно ясно, что к а ж д о е вещественное число попадает в один и только один из этих классов.

Вместе с тем, каждое число а (из А) меньше каждого числа а' (нз А'); ведь, при а. а', ырианта х„начинал с некоторого мыта, превзошла бы и 44', вопреки определению чисел а'. Таким образом, произведенное разбиение области вещественных чисел на классы есть, действительно, сечение, По основной теореме Д е д е к и н д а (10), существует такое вещественное число а *), которое является пограничным между числами обоих классов: Но, как мы отметили, прн любом л'=-)ч' число х„.— е есть одно из а, а число х;4-е — одно из а', Поэтому, в частности, х„— е~а*мх, +е или (а — х„г)=)х„-а! ж для любого л' -зч.

По определению же предела (23), это и значит, что а =йш хл. Теорема доказана. Применение этого признака мы будем не раз встречать в дальнейшем изложении. 40. ч1астичвые последовательности и частячиые пределы. Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью (1), какую-либо извлеченную из нее ч а с т и ч н у ю последовательность (или п о дпоследовательность) Хл,л Хл, Хл„Хлл, где (ла) есть некоторая последовательность в о з р а с т а ю ш и х натуральных чисел: ПЗ.«ПЗ ПЗ «... ПЕ Л444 (Я *) В указанной теореме оло было обозначена через р, ГЛ. Г.

ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ 86 Здесь роль номера, принимающего последовательно все натуральные значения, играет уже не п, а )с; пя же представляет собой варианту, принимающую натуральные значения и, очевидно, стремнщуюся к при возрастании )с. Если последовательность (1) имеет определенный предел а (конечный или нет), то тот же предел имеет и частичная последовательность (4). Остановимся для примера на случае конечного а. Пусть для заданного в 0 нашлось такое 1)г, что при п Лс уже выполняется неравенство: (х„-а(<г.

Ввиду того, что и„, существует и такое К, что при )с»К будет па»Ас. Тогда, при тех же значениях к, будет выполняться неравенство )х„- а( з, что и доказывает наше утверждение. (Заметим попутно, что в этом рассуждении мы не опирались на неравенства (5), т. е. не пользовались монотонностью варианты п„.

Значит, наше утверждение сохраняет силу, по какому бы закону не стремилась к + целочисленная вариаюпа па.) Если для варианты х„или, что то же, для последовательности (1) нет определенного предела, то это не исключает возможности существования предела для какой-либо ч а с т и ч н о й последовательности (4) или для соответствующей ей варианты х„'=х .. Такой предел называют ч а с т и ч н ы м пределом для варианты х„или последовательности (1). Пусть, например, хсс=(-1)" ьз; предела эта варяаата не имеет. Если же заставить и пробегать лишь одни нечатиые или одни четные значения, то ч а с т и чн ы е последовательности х,=1, хз-1 ° хы с 1, ... хз= 1 хз 1 хза 1 будут иметь пределом, соответственно, 1 вли — 1. Эти числа и являются ч а с т и чными пределами варианты хсс.

Аналогично, варианта хл (- 1)а юл имеет ч астичные пределы + и —, а варианта ха=за-гу""' — частичные пределы + и О. Легко построить примеры варианты, для которой существует бескоиечное множество разлнчиых частичных пределов; вот один из них. Зададим варианту хл следующим правююм: если номер и написан по десятичной системе: а)3...

т (где сс, р", ..., з — цифры), то полагаем л;,=О, а)3 ... з, Например, хзз 013, хсззз=04035 и т. д. При этом каждая конечная десятичная дробь, между 0,1 и 1, встречается в ряду значений нашей варианты бесконечное маожество раз: например, 0,217 — на 217-м месте, а также на 2170-м 21700-м и т. д, 4Ц 1 4.

пРинцип сходимости. чАстичные пРеделы 87 Отсюда сразу следует, что каждая конечная десятичная дробь между 0,1 н 1 будет служить ча с гнч н ы м пределом дпя нашей варианты. Но если взять н д ю б о е д р у г о е вещественное число х в этих границах, го стоит лишь представать его в виде бесконечной дссягячной дроби [91: сс=О, с,с,... са...

[сс~1), чтобы стало ясно, что ч а с г н ч н а я пссдедовагеяьносп хс =О, с, хсс =О, сссс ° ° °, хсс,...са=о, сссс ° ° ° ссс имеет именно это число а своим пределом. Таким образом, в Рассматриваемом случае часгнчнымн пределами последовательности заполняется весь промежуток [0,1; 1]. Всегда ли для варианты х„существуют ч а с т и ч н ы е пределы? На этот вопрос легко ответить утвердительно в случае, когда множество [хп) не огРаничено. ПУсть напРимеР, оно не огРаничено с в е Р- х у; тогда для ках~дого натурального [с найдется в ряду (1) член х„м больший, чем сс: хса [с (/4=1, 2, 3, ...) (причем легко устроить так, чтобы номера па возрастали вместе с [с).

Ч а с т и ч н а я последовательность х,„х,„Хсы ..., хвм ..., очевидно, будет иметь пределом 4-; зто и есть частичный предел для нашей варианты, Утвердительный ответ можно дать и в случае ограниченной варианты; но зто требует более тонких соображений, которые мы приведем в следующем и'. 41. Лемма Больцаио — Вейерштрасса (В. Во[капо — С. %е[егз[газа). Из любой о гр ан и ч виной последовательности (1) всегда можно извлечь такую частичную последовательность (4), которая сходилась бы к конечному пределу.

[Эта формулировка не исключает возможности и р а в н ы х чисел в составе данной последовательности, что удобно в приложениях.) Доказательство. Пусть все числах„заключены между границами а и Ь, Разделим этот промежуток [а, Ь1 пополам, тогда хоть в одной половине будет содержаться бесконечное множес т в о элементов данной последовательности, нбо, в противном случае, и во всем промежутке [а, Ь) этих элементов содержалось бы конечное число„что невозможно. Итак, пусть [а„Ьг] будет та из половин, которая содержит бесконечное множество чисел х„(или, если обе половины таковы, то — любая из них).

Характеристики

Список файлов книги