Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ме — и. П свойство числа Ме: коконы бы ни были е»0 и номер А», этйдетсл значение хо" С номером Л" Ф, такое, что хе" М +. Обратимся к доказательству заключительного утверждения теоремы. Если суп(ествует предел в обычном смысле слова 1ип х„ (конечный или бесконечный), то все мыслимые частичные пределы с нпм сливаются (4О), так что необходимосэиь высказанного условии очевидна. Предполояшм теперь, что Йш хи =!лп хи Если их общее значение есть + или —, то, как мы видели, суэцествует предел варианты в обычном смысле и имеет то же значение.
Пусть, накопал, оба предела конечны: М*-М =а. 92 142 гл. г. тновия пвпдвлон Тогда, сопоставляя 1 свойства чисел М" и Мч, найдем по наперед заданному е 0 такой номер Ф, что для л .Х будет а-е х„«а+е, т. е. ~хл — а~ г. А это и значит, что а есть предел нарнавты хл в обычном смысле. Теорема доказана. Заметим, что с помощью этой теоремы совсем уж просто доказывается д остаточность уоювия Больпано — Коши [ЗЯ).
Именно (если сокравить прежние обозначения), нз неравенств хи' е хл хп'~ е (Для л н л Ф) непосредственно усматриваем, что ванболыпвй и наименьшей пределы варианты хл к о я очны и разшггся не более, чем на 2е, следователъно,ввнвупроизвольности е, совпадают. Отсюда и вытекает существование конечного 'предела в обычном смысле. ГЛАВА ВТОРАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ з 1. Понатве функции 43. Переменная и область ее изменения. В 22 уже было дано общее понятие о переменной. Переменная х задается множеством Х=(х) тех значений, которые она способна принять (в рассматриваемом вопросе). Это множество Х, в котором каждое значение х встречается по разу, называется областью изменения переменной х. Вообще, областью изменения переменной может служить любое числовое множество.
Мы уже упоминали о том, что числа геометрически истолковываются как точки на (числовой) оси. Областью'изменения переменной х на этой оси изображается в виде некоторого множества точек. В связи с этим обычно сами числовые значения переменной называют точками. Часто приходится иметь дело с переменной и, для которой областью изменения является множество .Ф' всех натуральных чисел, 1ь(-1у' Для варианты х„= областью изменения будет множество дробей вцпа 1(т (при т=1,2,3, ...) с присоединением числа О; для постоянной величины вся область изменения сведется к одному числу.
01шако в анализе обычно изучаются переменные, изменяющиеся, как говорят, непрерывным или сплошным образом: их прообразом являются физические величины — время, путь, проходимый движущейся точкой, и т. п. Областью изменения подобной переменной служит числовой промежуток. Чаще всего зто будет к о н е ч н ы й промежуток, ограниченный двумя вещественными числами а и Ь (а Ь) — его концами, которые сами могут быть включены в его состав нли нет.
В зависимости от этого мы будем различать замкнутый промежуток (а, Ь): а~х~Ь (оба конца включены); ( (а, Ь): а «х сЬ полуоткрытые промежутки 1 1 (а,Ь): а ах Ь (лишь один конец включен); открытый ппомежуток (а,Ь): а х Ь (ни один конец не включен). Длиной промежутка во всех случаях называется число Ь-а.
гл. и. екнкции одной пвввмяннои Геометрическим аналогом числового промежутка является, как легко понять, отрезок числовой оси, причем — в зависимости от типа промежутка — и к отрезку концы его приключаются или нет. Приходится рассматривать и б е с к о н е ч н ы е промежутки, у которых одним из концов нли обоими служат «несобствениые числૠ—, + . Обозначения их аналогичны приведенным выше. Например, ( —, ч ) есть множество всех вещественных чисел; (а, + ) означает множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х -кч промежуток (-, Ь) определяется неравенством х~Ь.
Геометрически бесконечные промежутки изображаются в виде бесконечной в обе стороны прямой или луча. 44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры. Главным предметом изучения в математическом анализе является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а з а в и с им о с т ь между двумя или несколькими переменными при их с о в м естно м изменении.
Здесь мы ограничимся простейшим случаем двух переменных. В различных областях науки и жизни — в самой математике, в физике, в технике — читатель не раз встречал такие совместно изменяющиеся переменные. Они не могут одновременно принимать любую пару значений (из своих областей изменения): если одной из них (независимой переменной) придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой (зависимой переменной или функции). Приведем несколько примеров.
1) Площадь Д круга есть функция от его радиуса Я; ее значение может быть вычислено по заданному значению радиуса с помощью известной формулы: 2) В случае свободного падения тяжелой материальной точки— при отсутствии сопротивления — время Г (сек.), отсчитываемое от начала движения, и пройденный за это время путь з (.и) связаны уравнением: я«« Я=— г ' м где я=9,81,, есть ускорение силы тяжести.
Отсюда и определяется значение з, соответствующее взятому моменту П путы является функцией от протекшего времени П 3) Рассмотрим некоторую массу (идеалъного) газа, содержащуюся под поршнем цилиндра. В предположении, что температура сохраняется неизменной, объем 1' (л) и давление р (ал«л«) этой массы газа подчиняются закону Бойля-Мариотта: р Р= с = совы. 4 1. пОнятие Функции 451 Если произвольно изменять Г, то р как функция от»' будет всякий раз однозначно определяться по формуле С р= 4) Наконец, остановимся еще на зависимости давления воздуха р (атм) от высоты места Ь (м) над уровнем моря.
В физике выводится барометрическая формула: ре — 1» где р, — давление на уровне моря, а й — некоторая постоянная. По этой формуле значение р, как функции от Ь, и определяется, лишь только задано значение Ь. Заметим тут же, что самый в ы б о р независимой переменной из числа двух рассматриваемых иногда бывает безразличен или связан с соображениями простого удобства. В большинстве же случаев он диктуется целенаправленностью производимого исследования. Например, если — в последнем примере — связь между давлением р и высотой Ь используется для того, чтобы дать возможность летчику по наблюдаемому давлению судить о достигнутой высоте, то естественно обменять роли переменных и барометрическую формулу представить в виде 45.
Определение понятия функции. Отвлечемся теперь, как обычно, от физического смысла рассматриваемых величин и дадим точное общее определение понятия ф у н к ц и и — одного из основных понятий математического анализа. Пусть даны две переменив»е х и у с областями изменения Х и ьВ. Предположим, что по условиям вопроса переменной х может быть приписано произвольное значение из области Х без каких-либо ограничений. Тогда переменная у называется функцией от переменной х в области ее изменения Ф, если по некоторому правилу или закону каз»сдому значению х из Х ппавится в соответствие одно определенное значение у (из ьй). Независимая переменная х называется также аргументом функции.
В этом определении существенны д в а момента: во-первых, указание области Ф изменения аргумента х (ее называют областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями х и у. (Область '$ изменения функции у обычно не указывается, поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых функцией значений.) Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению х из Ю отвечало Гл. 1!.
Функции ОднОЙ пввимвнной не одно, а несколько значений у (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от о дно з на ч н о й функции, определенной выше. Впрочем, в курсе анализа, стоящем на точке зрения вещественной переменной, избегают многозначных функций, и впредь говоря о функции, если не оговорено противное, мы будем разуметь о д н о з н а ч н у ю ф1ункцито. Для указания того факта, что у есть функция от х, пишут: у=Лх), у = р(х), у = г(х) и т. п.«).
Буквы у, р, Г,... характеризуют именно то правило, по которому получается значение у, отвечающее заданному х. Поэтому, если одновременно рассматриваются р а з л и ч н ы е функции от одного и того же аргумента х, связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и той же буквой. Хотя именно буква «эф» (в различных алфавитах) связана со словом «функция», но для обозначения функциональной зависимости, разумеется, может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют ту же букву у: у=у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
