Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

ьтнкция одной пкевьщнной Сама точка сгущения при этом может принадлежать Ю или нет. Пусть в области Х, для которой а является точкой сгущения, задана некоторая функция )'(х). Представляет интерес поведение этой функции при приближении х к а. Говорят, что функция г(х) имеет пределом число А при стремлении х к а (или в точке а), если для каждого числа ь >О найдется такое число 3)0, что (У(х) — А(<" г, лишь только )х — а((д (1) (где х взято из Я' и отлично от а)"'.

Обозначают этот факт так: 1пп у (х) = А. х а (2) Если область Х такова, что в любой близости от а, но сир а в а от а, найдутся отличные от а значения х из Х (в этом случае точку а называют правой точкой сгущения для Х), то можно специализировать только-что данное определение предела функции, ограничившись лищь значениями х) а. В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции Дх) пр и стремлении х к а справа или, короче, пределом (в точке а) справа и обозначается символом 11щ У(х) или У(а+ О) ь".

х а+О Аналогично устанавливается понятие о левой точке сгущения и о пределе функции при стремлении х к а слева или о пределе (в точке а) слева: 1пп ) (х) или У'(а — 0) "*. Если точка а является одновременно точкой сгущения для Х, и правой, и левой, то, как легко установить, для существования предела (2) необходимо и достаточно существование порознь и равенство пределов с и р а в а и с л е в а: Вщ у (х) = 1пп ~ (х) = А. х- а+О х а-0 (где, как и всегда, х взято из Х и отлично от а). ь Именно из того, что а есть точка сгущения для Я; яаствует, что такие значения х в окрестности (а — 3, а+8) точки а наверное существуют. ьь Исаи само а =О, то вместо О+О (Π— О) пишут просто +О( — 0).

При стремлении х к конечному пределу а функция может иметь и бесконечный предел. Именно, функция Дх) имеет пределом +оо ( — ео) при стремлении х к а, если для каждого числа Е)0 найдвтся такое число 8)0, что )'(х) >Е ()'(х)( — Е), лишь только 1х — а1с 6 (3) 33) 117 $ 2. пввдвл втнкции Запись этих фактов аналогична (2): 1пп у(х)=+ со ( — оо) к « Для рассматриваемого случая могут быть повторены сделанные выше замечания относительно односторонних пределов справа и слева. Если множество М'= (х) содержит сколь угодно большие (по абсолютной величине) положительные (отрицательные) значения х, то говорят, что + ос ( — оо) является точкой сгущения для Х. В этом предположении: функция у(х) при стремлении х к +оо ( — со) имеет предел А, если, каково бы ни было число е)0, для него существует такое число а)0, что (,у(х) — А)(ь, лишь талы«о х)Ь (х( — а) (4) (где х берется из Х), При этом пишут: 1!ш У'(х)=А.

к +«» 㫠— «я Наконец, легко перефразировать все сказанное на случай А=+ оо или — оо. Сущность всех этих определений одна и та же: функция у(х) должна быть сколь угодно «близка» к своему пределу А, лишь только независимая переменная х достаточно «близка» к своему пределу а. Но переменная «близка» к своему конечному пределу, если разность между ними (по абсолютной величине) мала, а к б е ск о н е ч н о м у, если она сама (по абсолютной величине) велика и притом сохраняет знак предела. Ясно, что числа Ь(Ь) во всех случаях зависят от ь(Е). Заметим в заключение„ что при стремлении функции у(х) к 0 еа называют бесконечно малой; еа называют бесконечно большой, если )у'(х)( стремится к оо. Если последнее обстоятельство имеет место при х — а, то говорят также, что в точке а функция обращается в бесконечность.

бб. Сведение к случаю варианты. Если рассматривать варианту, как функцию от независимой переменной п, изменяющейся в пределах натурального ряда, то предел 'этой функции при и — оо, как он определен в б2, очевидно, совпадает с пределом варианты, определанным в 23 и 27 (роль Ь там играет М). Таким образом, предел варианты есть частный случай предела функцшс Однако и, обратно, в некотором смысле предел функции может быть сведен к пределу варианты.

Пусть множество 2 =(х) ииеет точку сгущения а (здесь а может быть как конечным числом, так и бесконечностью того или [66 118 Гл. и. Функция одной пвгвмзнной иного знака). Тогда из Я' (бесчисленным множеством способов) можно навлечь такую последовательность (6) хм х„х,..., х„, аначенпй х (отличных от а), которая имела бы своим предел'ом а.

Действительно, если а конечно, то, задавшись положительной вариантой 8„, стремя!цейся к нулю, в каждой окрестности (а — В„, а+3„) (и= 1, 2,' 3, ...) точки а кайлам по точке х =х„ из Х, отличной от а: так как ]х„— а](8„, то х„-Ра. При а=+со ( — оо) зададимся положительной вариантой Ь„-Р+ оо и для каждого Ь„ изидам значение х=х„ из Х, для которого х„ ) Ь„ (х, ( — Ь„); очевидно, х„-ь + со ( — оо), и т. д. Последовательности (6) значений аргумента отвечает последовательность значений функции ,г (х!), 7 (хя), г (хь), ... 7'(х„), (7) Легко усмотреть, что при наличии равенства (2) эта последовательность всегда имеет предел А.

Остановимся для примера на случае конечных а н А. Если задано произвольное число ь) О, то сначала возьмам то число 3) О, которое ему соответствует в силу определения предела (2). По числу 3, ввиду сходимости последовательности (6) к а, найдатся [26] такой номер гч', что для и >М будет выполняться неравенство ]х„ — а ] (В, а следовательно [см. (1)], и ]7(х„) — А ] (а. Этим и доказана сходимость последовательности (7) к А. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение: Допустим и!еперь, что какую бы последовательность (6) (иэ Х) с пределом а ни пробегала независимая переменная х, соответствующая последовательность (7) значений функции всегда имеет предел А.

Тогда это число А будет пределом функции )'(х) — в согласии с определением в 62. Ограничимся и здесь случаем конечных а и А. Рассуждая от противного, предположим, что А не будет пределом функции в упомянутом 'смысле. Тогда для н е ко т о рог о числа ь) О уже не су!цествовало бы соответствуюшего 3; т.

е., какое бы малое 3 ни взять, всегда найдатся хоть одно значение переменной х=х' (отличное от а), для которого ]х' — а](3, но тем не менее ] Т(хг) — А])ь. Возьмам последовательность положительных чисел [8„), стремяшихся к нулю. На основании только что сказанного, для к аждого числа 3 = 3, найдатся такое значение х' = х„', что ]х„' — а](бт но тем не менее ]Т(х,') — А]~а.

2. пгздал ьтнкции Из втих значений, таким образом, составляется некоторая последовательность ! -«о -«м Хо г ~ Хл~ для которой ~х,' — а((Ь„(п=1, 2, 3, ...); так как дл-»0, то х„'-»а. По допущению теоремы, соответствующая последовательность значений функции 7 (Х~), Г (Хь), 7 (Хь)~ ..., 7 (Хл) должна стремиться к А, а зто невозможно ввиду того, что при всех п = 1, 2, 3, ... имеем )~(хл) — А ( ) л. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Таким обрззом, мы в сущности приходим ко второму определению понятия предела функции, которое в 62 было выражено, так сказать, «на языке ь-д», Теперь же мы можем выразить его «на языке последовательностей», ионимая равепсгпво (2) в том смысле, что для любой последовательности (6), имеющей предел а, соответствующая последовательность (7) имеет предел А.

В заключение отметим, что достаточно предположить одно лишь существование предела для каждой, последовательности (7), отвечающей любой сходящейся к а последовательности (6), чтобы отсюда уже вытекало совпадение всех этих пределов. Лействительно, допустим, что для двух последовательностей: Ю ХМ ' ' Хл~ ° ° ° " Х1 Хь ° ° -«л стремящихся к а, имели бы У(хл) -» А и У(хл) -» А'* где А' =,е А'. Тогда, перемежая члены обеих последовательностей, составим новую последовательность: Ю л ХЮ «М ЬЮ . ° ° Хл~ Хл она, очевидно, стремится к а, поскольку для достаточно больших п и х„, и х„" отличаются от а произвольно мало. В то же время соответствующая последовательность значений функции: у(х',), у(хл), у(х,'), у(х,"),..., 7'(х.'), у(х„"),..., вопреки предположению, не имеет вовсе предела, так как частичные последовательности из е6 членов, стоящих на ч6тных яли неч6тных местах, стремятся к различным пределам 140].

Полученное противоречие и доказывает, что последовательности вида (7) на деле стремятся все к одному и тому же пределу. 120 [34 гл. и. етнкция одной пвгкмвнной 34. Примеры. 1) Докажем, что 1'ип а" =+ <ю (при а) 1), х +а При любом Е) О, достаточно взять Ь = !од Б, чтобы х) Ь влекло за собой а" ~Б, что и доказывает наше утверждение '", диалогично доказывается, что 1ип ах=О (при а)1). Именно, каково бы ни было а)О (а(1), если взять Ь=1ой — = 1 т = — 1о а, то ка при х( — Ь необходимо ах(а. Если же О(а(1, то с помощью преобразования легко установить результаты цш ах = О, 1ип ах = + со (при О ( а ( 1).

х +ы х — Р 2) Установим, что при а) 1 1ип !ойах=+со, !ип !одах= — оо. х +в х +О При любом заданном Е)Оглишь только х» ав, будем кметы !оа к~Е, и аналогично, лишь только 0 ( х ( а — к, выполняется неравенство: 1од х( — Е. Этим и доказаны оба соотношения, 3) Имеем, далее, я я 1!ш агс!дх= —, !!п! агс!ах= — —. х +~в 2'., 2' Остановимся для примера на первом пределе. При любом а)0, доста- точно взять х) !3~ — — а, чтобы было: агс!Ех) — — а так что [г 2 О ( — — асс!и х ( а. 2 4) Более тонким является соотношение: ах 1гш — =+ со (при а ) 1).

Вспомним, что частный случай его мы уже имели: !!ш ах х -1- Л [32, 9)[; очевидно, одновременно будет и ал 1!п! =+ ео. а С более ч а с т н ы и результатом 1!ш а" =+ оо (а ) 1) !аы уже имели дело в лу, 121 2 2. пгкдил етнкци!г 641 Следовательно, по заданному Е ) 0 найдется такое натуральное число А1, что при и ) А( выйолняется неравенство а» »+1 Пусть теперь х) А!+1; если положить л» Е(х), то л) АГ и л -х ~»+1, так что ໠໠— » — )Е, х л+1 что и доказывает наше утверждение. Отсюда, как и в 32, 9), легко получить а" 11ш — З вЂ” — + со (а ) 1, й ) 0), л +аэх 5) Аналогично, опираясь на прежний результат [32, 11)) 1,ш ~ода и 0 (а л +а» можно установить, что вообще йш л =0 (а) 1), 1ойа х х где х принимает любые положительные вещественные значения.

Заменяя здесь х на ха (й) 0), легко показать, что и 11ш — ~жл — =0 (а) 1,'й) О). ». !.л» л Действительно, если, задавшись произвольным л)0, взять й так, чтобы при х ) й выполнялось неравенство 1ойл х — л — (йл х Э 1 то при х) й,=йь будет х") й и . 1оК»х — в — ~' х 1 Если заменить здесь х на †, то полученный результат перепишется в виде 1ип х 1о2„х = О (а ) 1, й ) 0).

Характеристики

Список файлов книги