Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 28
Текст из файла (страница 28)
—, теперь уже нетрудно сообразить, что х -2( !Гх)' 1пп — = !!ш а ~- "х-Е фХ+-! ! )ГХ)()ГХО))Х 1)фл-1+)Х~-1) -2 1 = 1!е 1.!.— +1 1+ 1 — — 1- — + 1-!-— 3 Таким образом, здесь порядок выражается числом —. 2 Пе следует думать, конечно, что для всякой бесконечно малой Д (даже с р а ни и м о й со всеми степенями а") может быть установлен определенный порядок.' ') Повсюду здесь мы пользуемся тем, что 1пп )!1+я=1! это было доказано е О в 5б, 3) (для корня любой степени ш).
! )!+х — 1 — — х (и т-! !нп х О ХЕ 2И3 1-созх 1 !вп х-О хз 2 621 1 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ББСКОНБЧНО МАЛЫХ 139 Любопытные примеры, относяшиеся сюда, можно получить из Формул, установленных в 54, 4) и 5) (при а 1 и й 0): лх !оя, х 1ип — =- -'-, 1лп — =- О. (2) х-й- хй ' х-Ч х й Прежде всего, отсюда х" хй !!ш —: — О, !лп х + а* г + !Ока х 1 ! Заменив теперь здесь х на — и положив сшс в первом из этих соотношений а= —, х с 0 с«.!, мы получим: 1 !ояа х !ип к-+е х й сь !ип — =-О, х-ье х й 62. Эквивалентные бесконечно малые. Остановимся теперь на одном особенно важном частном случае бесконечно малых одного порядка.
Л. Будем называть бесконечно малые а и!) э к в и в а л е и т н ы м и (в знаках: а-ф), если их разность у=р — а оказывается величиной высшего порядка, чем к а зю дал из бесконечпо малых а и ф: у = о(сг) н у = о(/)). Впрочем, достаточно потребовать, чтобы у была высшего порядка, чем о д н а из этих бесконечно малых, потому что, если, например, у высшего порядка, чем а, то она будет также высшего порядка, чем Р. Действительно, из того, что !пп '-=О, следует, что и у !ип — = 1пп — = !ип — †.= О. у ° у ° а 1т- и Рассмотрим две эквивалентные бесконечно малые а и (), так что р = а -, у, где у = о(а), Если п р и б л и ж е н н о положить ф=-а е), то— по мере уменьшения обеих величин — стремится к нулю не только а б с о л ю т н а я погрешность от этой замены, представляемая вели- *) Знак='=означает приближенное равенство.
1 Таким образом, бесконечно малая сх (О«с 1) будет высшего поряд- 1 ка, чем все степени х" (й 0), в то время как бесконечно малая 1ояе х (л»1) оказывается низшего пор яд к а, чем все зги степени. гл. и. оз нкции одной пьннмнннон 140 1бй чиной ~у~, но и относительная погрешность, равная ~ -~ .
Иными а словами, при достаточно малых значениях и и !э можно со сколь угодно болыиой относительно й точностпью положить !1=и. На этом основана, при приближенных выкладках, замена сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми. Установим полезный критерий эквивалентности двух бесконечно малых, который в сущностн дает второе определение этого понятия, равносильное ранее данному: ,1гглч того чтобы две бесконечно малые а и !пэ были эквивалеюпны, необходимо и достагпочно, чтобы было 1пп — = 1. и Пусть сперва вьшолняетсн это соотношение, так что 6=- — 1 О. Тогда у=р — сг=д ° а будет величиной высшего порядка, чем а, ибо 1!ш-У=!1пт 6=0. Обратно, пусть теперь х и !1 эквивалентны, т.
е. у=-р -и есть бесконечно малая высшего порядка, чем и. Всзгедствне этого имеем Р --1= -О, откуда --1, Р о о ч. птр, д. С помошью этого критерия, например, сразу видно, что при х О бесконечно 1 малые з!ох и !кх эквивалсгпны х, а 1!1 эх-1 эквиваленпго --х. Отсюда — пригн ' ближенньге формулы: 5!н х=х, гй х::=х 1 1!+х — 1='.— х, в частности, 1г!+х — 1хь — х. м'' ' 2 Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к всполье зованию их при раскрытии неопределенности вида †, т. е.
при разыскании прес дела отногпения лвуя бесконечно лгальгх —. 1гахсдая иэ ипх нрв этом махсепг быть эамеявяа, беэ влияния па суьуесгпвавалив и величину предела, любой эквивалентной ей бесконечно лгалай. Действительно, если а а и 3 К т. е. Р Нгп — 1 и 1!гл — = 1, аз) 1 3. кллссиеи!ганн«! ььсконьчь!О млльж 141 то опюшенне 1 - (хвх«) '1'1-хб«о-1 2 1 1|ш = 1нп «-.о а!и 2х «-.о 2х 4 Из доказанного вьыскаст также, что две бесконечло магме, эквивалентные третьей„эквивалентны мелсду собой.
бЗ. Выделение г !авион част!!. Если выбрана основная бескопе*шо малая и, то и р о от ей ш ими бесконечно малыми естественно считать величины вида с.и", где с — постоянный коэффициент н ймО. Пусть бесконечно малая Р будет й-го порядка относительно а, т. с. 1нп — == с, и" где с — конечное и отличное от нуля число. Тогда !нп —..— -1, б сая н бесконечно малые,3 н сиа оказываются зквнвалентпымн: |б)-са".
Эта пр о от е й и а я бесконечно «палая сиь, экшмаленптая данной бесконечно малой Р, называется ее г л а в и о й ч а си! ыо (или г ла впыл! членолг), Пользуясь установленныл»и выше результатами, кроме уже усач:шных проемах примеров, легко выделить главные части выражений; ! 1 — соя х -. Аг, 2 1 |й.к-я!и х — х'". 2 Здссь х- О, и именно и=- х является основной бесконечно малов. 1 Наконег|, если х-.
, 'и за осиовную принята бесконечно малая а= —, то нмссм также 3 1 (1)с ~(х-,1»- 1(х-1 — 21(х 4 ~ ! Вш эти результаты снова приводят к приближенным формулам. пусть !) га", т. е. б=ссгаьт, гле у.=а(ал). можно представить себе, что !о бесконечно л»алой у снова выделен главный член: Г = с'аы ~ 4, где х':-хч а д.= о,'и"), и т. д. Р Р Р и гл о я Ф отличаюшееся от отношения -- множитслямн, стремяшимися к сдиннце, имеет и предел одновременно с ним (и притом тот же). Если удастся выбрать и и (1 достаточно просзыми, то это можа» сразу значительно упростить задачу,"напрвмср, Гл. и.
Функции ОднОЙ пнгеменнОЙ 163 142 Например, сали положип (считая х-0): 1 ](1+х — 1= — х+у, ш то, как мы уже нмели (56, 4)], у т — 1 1пп — = —- х-е х' 2т' ш — 1 так что главная часть у есть — — — х'. Отсюда 2т' 1 и-1 ](1+х-1= — х- - х'+о(х'). ш 2яр В частности, 1 1 ]~1+ х-1 = — х — — х'-о(х'). 2 8 Этот щюцесс последовательного выделения из бесконечно малой простейших бесконечно малых все возрастающих порапков можво продолжать и дальше. Мы ограничиваемся в настоящем параграфе установлением общих понятий, иллюстрируя их лишь немногими примерами. В последующем мы укажем систематический нр нем как для построения главной части данной бесконечно малой величины, так и для дальнейшего выделения из нее простейших бесконечно малых, о котором только что шла речь (см. 104, 1241 В заключение, остановимся еще на таком вопросе: если для двух бесконечно малых р и у известны их главные члены сиа и с'а"', что можно сказать о главном члене их суммы Р-у? При гсм7с' главным членом ее, очевидно, будет тот нз членов сха и с'ик', в котором показатель меньше.
Пусть теперь )с=ге'; тогда главной частью для Р'-у явится сумма (с+с')к" — в п реди ол ожении, однако, что с+с'ФО. В случае же, когда оба главных члена взаимно уничтожаются, сумма р-~у оказывается бесконечно малой высшего порядка, чем каждое из слагаемых. Так будет, например, лри х 0 для бесконечно малых 1 — 1 Д=](Т~ -1-- 2 2 Если выделить в них еще следуияцие члены: 1 1 1 1 8- — х- — х'+о(х'), у= — — х- — хгьо(хз), 2 8 ' 2 8 то ясно, что 1 ])+у= ]Т+х+ ]Гг-х ив 2 — — хкео(х), 4 так что ])Фу будет бесконечно малой втор ого порядяа, а ее главный член 1 равен — — хк. 4 1 з клдооииикация ннсконнчно малых 641 143 64.
Задачи. Для иллюстрации изложенных соображений приведем несколько задач, в которых они попользуются 1) Пусть прямолинейное расстояние на местности измеряется с помошью мерной рейки длины 1 м. Так как факт!шести рейка прикладывается не точно вдоль измеряемой прямой, то результат измерения оказывается несколько больше истинной длины. Сделаем самое невыгодное предположение, именно, что рейка прикладывается зигзагом, так что ее копны отстоят от прямой поо ч е р е д н о то в одну, то в другую сторону на расстояние Л м (рис. 25).
Требуется оценить погрешность. Х г Рис. 25. При однократном прикладывании рейки абсолютная погрешность равна разности между длиной 1 рейки и ее проекцией на измеряемую прямую; проекция жс эта будет: Воспользовавшись приближенной формулой 1 "1!1 4 х 1-~- — х 2 4Лз при х= — — (что оправдано, вводу малости величины Л относительно !), зал<елим !' выражение для проекции следукяпим; 2Лз ) 2Ле 21з В таком случае, упомянутая погрешность есть —, а относительная по2Лз грешность, очевидно, будет — .
Та же относительная погрешность сохранится Р и прн многократном прикладывании рейки. 2Лз Если для этой погрешности установлена граница Л, т. е. должно быль —, .д, 1Гд !3 то отсюда Л ! ~/ —. 2 Например, при измерении двухметровой рейкой 9=2), для достижения относительной точности в 0,001 достаточно, чтобы уклонение Л не превосходило 2 )(0,0005='-0,045 м=4,5 сж. 2) Найти формулу для длины 1 открытого ремня, надетого на данную пару зпкивов радиусов Я и г, с расстоянием А между центрами (рис, 26).
Из чертежа имеем ! — = А С+ Сс = са, 2 Но АС=Я~ — 4а~, са=г ~ — — а), Гдс ЧЕРез а обозначены равныс углы <ОВОС и < Вас; а из гт ООо С =.О = ((Аг-(В- )й ГП. Н. ФУНКДНН ОДНОН ПЯРНМНННОИ Таким образом, (=л(Кьг)+2и(К-г) ' 2з(йв-(К-г)'. Для упрощения этой формулы вспомним, что ОВ К вЂ” г и='з!пи= — = — —.
Оо й — в предположении, что К-г мало относительно г(. В том же предположении После подстановки этих значений и преобразований, получим окончательную й! Рис. 26. (К вЂ” г)в 1='-л(КЬг)Ч 2А< 3) При разбивке дуг окружностей на местности имеет значение следующая задача: найти отношение стрелю (=.-ОВ дуги АВС окрулспости к стреле л з=РзВз половины АВ,В этой дуги (рис. 27). 6' Если положить радиус окружности равным г, луАОВ=(е, то л)АОВз= — и 2 у'=. ЮВ = г(1 — соз (в), у;=г(1-сов — ~.
9') Таким образом, искомое отношение равно у 1 — соз (в Л 1 — сочв 2 145 $3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ выражение это слишком сложно, чтобы им удобно было пользоваться иа практике. Найдем его предел при Чг-О (ибо для достаточно малых р это выражение можно приближенно заменить его пределом). С этой целью заменяем числитель н знаменатель их главными частями н сразу находим: 1 2 ! лп —.= 1пп -4 Итак, для дуг, соответствующих ие- О большому центральному углу, приближенно можно считать, что стрела пелудуги вчет- Рис. 27. веро меньше стрелы дуги. Зто позволят последовательно строить промежуточные точки дуги, для которой даны концы и середина. 65. Классификации бесконечно больших.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
