Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Заметим, что для бесконечно больших величин может быть развита подобная же классификация. Как и в 60, будем считать рассматриваемые бесконечно большие величины функциями от одной и той же переменной х, которые стремятся к -, когда х стремится к а. 1. Две бесконечно большие у и г считаются величинами одного г порядка, если их отношение — !(а с пим и — ) имеет конечный и отличный от нуля предел. г П. Если эке отношение — само становится бесконечно большим у ( а обратное отпоше>!ие — — бесконечно малани), то х считается >' бесконечно большой величиной высшего порядка, чем у, и, одновременно, у будет бесконечно большой п и з и! е г о и ар я д к а, чем я.
г В случае, когда отношение — ни к какому пределу не стремится, у бесконечно большие у их будут несравнимы. При одновременном рассматривании ряда бесконечно больших величин, одну из них (скажем, у) выбирают в качестве о он о в ной и с се степенями сравнивают остальные бесконечно большие. Например, если (как мы предположили выше) все онн суть функции от х и стремятся к -'. при х а, то в качестве основной бесконечно боль- 1 шой обыкновенно берут ~ х,', если а = ~, — — — — при а конечном.
' !х-а! П1. Бесконечно большая г называется величиной )с-го порядка (относительно основной бесконечно большой у), если г и ух будупг одного порядка, т. е. если отношение -й имеет конечный и отличный от нуля предел. !Е Г. М. Фиитгигоиыг, т. ! 146 ГЛ.ГГ.ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Мы не станем приводить здесь примеров, ибо ик легко получить, заменив рассмотренные выше бесконечно малые величины обратными им, Упомянем только о том, что бесконечно большая ех (а 1) при х- Ф - будет в ы с ш е г о п о р я дкв, в бесконечно большая 1ояех (а 1) — низшего порядка, чем любая степень х" (с положительным показателем А); это следует из формул (2) 61.
й 4. Непрерывность (и разрывы) функций бб. Определение непрерывности функции в точке. С понятием предела функции тесно связано другое важное понятие математического анализа — понятие непрерывности функции. Рассмотрим функцию у'(х), определенную в некоторой области ."е'=(х), для которой хе является точкой сгущения; при этом пусть сама точка х принадлежит области определения ф у н к ц и н „так что в этой точке функция имеет определенное значение Г(хе). Когда устанавливалось цонятне о пределе функции при стремлении х к х, (52, 53) 1пп у(х), х х, неоднократно подчеркивалось, что значения х, переменная х н е п р ин и м а е т; это значение могло даже не принадлежать области определения функции, а если и принадлшкало, то значение г(х х "Ои образовании упомянутого предела не учитывалось. Однако особую важность имеет именно случай, когда 1нп г"(х) =Яхе).
х х, Говорят, что функция у(х) непрерывна при значении х=-х, (или в точке х=хе), если вьшолняетсл это соотношение; если эке оно нарушено, та говорят, что при этом значении (или в этой точке) фучагг)ия имеет р а э р ы в е). В случае непрерывности функции у(х) в точке хе (и, очевидно, только в этом случае), прн вычислении предела функции 1(х) при х-х, становится б е з р а з л и ч н ы м, будет ли х в своем стремлении к хе принимать, в частности, и значение х, нлн нет. Определение непрерывности функции можно сформулировать в других терминах.
Переход от значения х„к другому значению х можно себе представить так, что значению хе придано приращение ") Этв терминология связана с интуитивным предсгввлевиеьх о Непрерывности и разрывах кривой: функпия непрерывна, если непрерывен ее график, точки разрыва функции отвечают точкам разрыва графика. На деле, однако, понятие непрерывности для кривой само требует о 6 основан и я, и простейший путь к нему лежит кек раз через непрерывность функций) о к непРВРыВность (и РАТРывыз Функции 147 66! Х!хо.— л -ло*). Новое значение функции у.=у'(х) —.
Яхо ';- тхо) разнится от старого уо:.-Дх ) на п р и р а щ е н и е г)уо = Ах) — Лх.) =- Лхо+ Лхо) — Х(хо) Для того чтобы функция г(х) была непрерывна в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Ауо в этой точке стрсмилось к О вместе с приращением Лхо независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характериз»ется тем, что бесконечно малому приращениво аргумента отвечает оеекоиечио лгалое лсе приращение функции. Возвращаясь к основному определению (1), раскроем его содержание «на языке е-дп (52). Смысл непрерывности функции 7(х) в точке х, сводится к следующему: каково бы ни было число е»О, для него найдется такое число д -О, что неравенство 1!х — хо, '=д влечет за собой !7(х) — З"(то)! е.
Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в д ос т а т о ч н о малой окрестности (хо - д, х ч б) точки х . Наконец, «на языке носледовательностей» непрерывность выразится так: какую бы последовательность значений х из Х: сходящуюся к х, ни взять, соответсгпвующа.ч последовательность значений функции Х(х,), Х(хо), ., Х(х,) сходится к з (хо).
3 а м е ч а н и е. Пусть точка х=-х„служащая точкой сгущения для области К, в которой определена функция у(х), сама области Ж не принадлежит, так что в этой точке функция не определена. Если, однако, с у щ е с т в у е т конечный предел йш Д(х), х х, то стоит лишь дополнить определение функции, положив у (хо) равным зтомупределу, чтобы функцияоказалась непрерывной и в точке х=-.хо. Это в подобных случаях мы обычно и будем впредь подразумевать. Наоборот, если упомянутый предел не существует, то— несмотря на то, что в самой точке х=хо функция не определена— все же говорят, что функция в этой точке терпит разрыв: она будет иметь здесь разрыв, какое бы значение дополнительно ни приписать функции при х---х,.
*) В анализе принято приращения величин х, у, а ... обозначать через Лх, 1у, ли, ... Эти обозначения наллежит рассматривать кох и с л ь л ы е символы, лс отделяя Л от х, и т. и. 1о Гл. и. Функции ОднОЙ пеРеменнОЙ Обычно мы будем в дальнейшем рассматривать функции, определенные в промежутке СЬ; все его точки являются его точками сгущения, так что по отношению к любой из них можно ставить вопрос о непрерывности. Для упрощения речи, уславливаются говоритгч что функция непрерывна в промежутке ь, если она непрерывна в каждой точке промежутка в отдельности.
67. Арвфметнческне операции иад непрерывными функциями. Прежде чем перейти к и р им е р ам непрерывных функций, установим следующее простое предложение, которое позволит легко расширить их число. Теорема. Если две 4ункции г'(х) и я(х) определены в одном и том же промежутке Х и обе непрерывны в точке х, то в той же точке будут непрерывны и функиии 1(х)+я(х), Дх) «(х), ---, последнЯЯ ПРи Условии, что б(хе)ФО. Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы [5Я. Остановимся для примера на частном двух функций.
Предположение о непрерывности функций 1(х) и е(х) в точке х равносильно наличию равенств 1[ту(х):---у(хв), 1пп б(х) = б(х,). х у х- у Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаме- нателя не нуль), имеем: у(х) у"(х„) х е(х) в(х.) ' а зто равенство и означает, что функция — ' непрерывна в точке х,. Ебх) в(х) 68, Првмеры непрерывных функций. 1' Целая и дробная рациональные функции. функция у(х)=х, очевидно, непрерывна во всем промежутке ( —, + ): если х„х, то у(х„)== =-х„х,=у(хв). Точно так же непрерывна и функция, сводящаяся тождественно к постоянной. Отсюда, на основании теоремы предыдущего и', вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения н рхх ах'"=а х х...х 1 * нБПРВРыВность (и РА3РыВы) Функций как про изведения непрерывных функций, а затем — и много- члена (целой рациональной функции) а,ХВ Фа,Х« '4 .., +а„,Х «а„ как с у м мы непрерывнык функций.
Во всех упомянутых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке ( —, -. ). Очевидно, наконец, что и ч а с т н о е двух многочлснов (дробная рациональная функция): аххал-а,х" «4-... —,' а„ххча„ ЬххФФЬ,хФ '+... ФЬФ,х+Ь также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. 2'. Показательная функция. Докажем непрерывность показательной функции ах при любом значении х=.х„,"иными словами, установим, что !Цп ах=ах «-х, (При этом достаточно ограничиться предположением: а =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
