Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Тогда, лишь только ~ х-х,| б (х и х,), будет ли х рационально или нет, во всяком случае ~ Дх] ! г. Значит, для любой точки х, существуют Дх«4 0)=Дх„-О)=0. Если х, есп иррациональная точка, то н Дх«) О, т. е. в этой точке Функция непрерывна; если же х, рационально, то Дх,) отлично от О, и налицо разрыв (обыкновенный), с обеих сторон. 71.
Непрерывность и разрывы монотонной функции. Рассмотрим функцию Г'(х), которая — при изменении х в промежутке К«") монотонно возрастает (убывает), хотя бы в широком смысле 157). По отношению к таким функциям имеет место следующая теорема: 1' Монотонно возрастающая (убывающая) функиия 1(х) может иметь в К разве лишь разрывы первого рода, т. е. скачкй. Возьмем любую точку х, промежутка К, и пусть она не является левым концом этого промежутка. Рассматривая ту часть промежутка, которая лежит влево от хе, применим к ней теорему из 57 о пределе монотонной функции; поскольку для х хе, очевидно, у(х)~у(хе), то существует конечный предел Если он совпадает со значениемДх,), то слева в точке х, функция непрерывна; в противном случае — налицо скачок.
Аналогично убеждаемся в том, что в каждой точке х, промежутка гь (не служащей правым его концом) справа тоже либо имеет место непрерывность, либо скачок. «) зту функцию рассматривал Р и м а н (В. В)ешапо). «*) Зтот промежуток может быть как конечным, так и бесконечным замкнутым или открытым (с одного или с обеих концов).
221 ь к непеввывность (и Рьзпывьп Функций )55 С помощью доказанной теоремы легко установить критерий непрерывности монотонной функции, удобный на практике: 2' Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке К функции з(х) содержатся в промежутке оч и спло ать заполняют его (так что каждое значение у из Л принимается фующией хоть раз), то зта функз)ия непрерывна в Л ь). Попробуем допустить, по в какой-нибудь точке хь из Х функция ф(х) имеет разрыв, например, слева; как мы видели, этот разрыв может быть только скачком. В этом случае существует предел у(хв -О), но он меньше значения у(ха).
Так как для х х„будет )'(х) -.)'(хв — О), а для х =ха, очевидно, )'(х)ж )'(хс), то функция не может принимать значений у, лежащих м е хс д у числами ) (хь — О) и ) (ха), принадлежащими промежутку ф). Это противоречит условию теоремы; значит, на деле функция ф(х) разрывов не нмсст.
В следующем и' читатель найдет ряд примеров приложения этой полезной теоремы. 72. Непрерывность элементарных функций. Для ряда элементарных функций непрерывность была доказана под видом примеров в 68. Пользуясь теоремой 2" предыдущего номера, легко, прежде всего, наново установить непрерывность функцин а" или з1п х. Функция у=а' (а~)) монотонно возрастает при изменении х в промежутке ~б'=( —, -, ). Ее значения положительны и заполняют весьпромежуток '))=(О, + ), что видно из существованиялогарифма х = )о8, у для любого у =0 [20].
Следовательно, показательная функция непрерывна при любом значении х. Аналогично, непрерывность функции у=з)п х, скажем, при изменении х в промежутке Х=[ — —, -~, вытекает из ее монотонности 2' 2)' в этом промежутке, да еще из того факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает каждое значение между — 1 и ь 1. То же относится и к любому промежутку вида Однако более интересны для нас но вые р е з ул ьта ты, которые так жс легко могут быть получены применением названной теоремы. Продолжим перечисление основных элементарных функций, начатое в 68. 5' Логарифмическая функция: у=)ойлх (а О, ам1).
Ограничиваясь случаем а -1, видим, что эта функция возрастает при изменении х в промежутке ь =(О, ь ). К тому же она, очевидно, *) Условие, чтобы значения з(х) заполняли сплошной промежуток '4, высказано здесь, как д оста то ч нос для непрерывности монотонной функпни; впоследствии [82) мь1 убедимся, что оно является и необходимым. гл. и. пункции одной пнвнминиой 15б Пз принимает любое значение у из промежутка '3 =( —, ч ), именно, для х = ау. Отсюда — ее непрерывность. б' Степенная функция: у=х" (р О), при возрастании х от О до н- возрастает, если р О, и убывает, если р О.
При этом 1 она принимает л ю б о е положительное значение у (для х=уя), следовательно, и она непрерывна *). Наконец, упомянем 7' Обратные тр иго но ме тр иче сине функции: у=агсып х, у=атосов х, у=агсгб х, у=агсс15 х. Первые две непрерывны в промежутке ( — 1, х1), а последние — в промежутке (-, е ). Доказательство предоставляем читателю. Резюмируя, можно сказать, таким образом, что основные элементарные функции оказываются непрерывными во всех точках, где они имеют слтысл (т. е.
в соответствующих естественных областях их определенна). 73. Суперпозиция непрерывных функций. Общирные классы непрерывных функций могут быть построены с помощью суперпозиции (51) функций, непрерывность которых уже известна. В основе этого лежит следующая Теорема. Пусть функция р(у) определена в промежутке 5), а функция 1'(х) — в промежутке К, причем значения последней функции не выходят за пределы ьв), когда х изменяется в К. Если Я(х) непрерывна в точке х из К, ар(у) непрерывна в соответствующей точке у =Лх) из ьг), то и сложная функция р(1(х)) будет непрерывна в точке х,.
Доказательство. Зададимся произвольным числом е О. Так как р(у) непрерывна прн у=уз„то по е найдется такое о О, что из (у — у ) - а следует ~ р(у) -р(ун) ! в, С другой стороны, ввиду непрерывности Лх) при х=х, по а найдется такое д О, что из )х-хв! «д следует (Лх)-у'(хн)) = ~у'(х) — ун(. о. По самому выбору числа а отсюда следует, далее, ! ИЛх)) -р(уь)! = !ЖЕ(х)) - р(Лхн)) ! -' *) Если и О, то значение О включается кнк в промежуток юменения х, тнк и н промежуток изменения у; при д О значение О не н к л ю ч а е т с я.
Далее, р если д — целое число яп нли пробное з — с нечетным зннмензтелем, та степень х можно рассматривать и для х«о; иепрерыниость ее длн этих значений устанавливается аналогично. 1 Л, НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПЧ РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИЙ 741 157 Этим «на языке е-бя и доказана непрерывность функции у(у'(х)) в точке х,. Например, если степенную функцию хн (х =-О) представить в виде сложной функции: ха= ее )и к которая получается от суперпозиции логарифмической и показатель- ной функций, то из непрерывности последних двух функций уже будет вытекать непрерывность степенной функции.
удовлетворяют отому уравнению: с(х 1-у) — стл су. !!о весь вопрос именно в том, будут лн онн единственными яснрсрывшлмн функциями, имеющими свойства (А). Для того чтобы ус»ановить, что зто действительно так, предположим, что некоторая н ел ре р ыв н а я функция Дх) уравнению (А) удовлетворяет, и покажем, ч».о тогда она необходимо имеет внд (а). Прежде всего, с помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (А) ца случай любого числа (=и) слагаемых: и Г(хчу Р... Фх)=Дх)ФЯу)+... Ч- у(г).
(4) Действительно, если допустить верность его для какого-либо числа п= -2 слагаемых, то оно окажется верным и для ич 1 слагаемых: н и /(хчу+...Рс»-и)=Дх+у+... +г)ФДи)=(т(х)+... +Де))+Ди). Полагая в (4) х=у — —...=х, найдем: Дих) =-п.,Г(х). 1 Заменив здссь х на — х, мы получим и (5) ~'~ — х! .= — Дх), (и ! и а затем, если подставить иы (т — натуральное) вместо х н использовать преды- дущее равенство, придем к соотношению г'Г х) = —. Дх) (б) 74.
Решение одного функционального уравнении. Д)ш облегчения изложения в ближайшем л', займемся сейчас следующей задачей (которая представляет и самостоятельный интерес): Найтиесе непрерывные влроыеысу»нкв ( —, ', ) !1)упки»г») /(х),уйовлетаорлющие условию Лх»-)')=Лт) ) ) (у), (А) каковы бы нн йылн эианеннл х и у.
Уравнение (А) является простейшим примером так называел»ых ф у н к ц н ональн ы х уравнений, формулирующих некос свойствО иСкомой функции, по которому она и лолжна быть найдена. Наша задача состоит в ра»ысканнн всех н сир с ры вн ы х ре ш е н и й уравнения (А). Легко видеть, что линейные однородныс функции, вида Дх) = ох (с= сола».), (а) 158 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ЦЕРЕЬГЕННОЙ Положим теперь в основном уравнении (А) х=у=О; получим ЛО) = 2у"(0), так что ЛО) — О. Если же взять у= — х, то, с учетом (7), найдем: Л-х)= — Лх), так что функция Лх) меняет знак при изменении знака х.
А тогда из (5) и (б) легко вывести: Л вЂ” нх) = — Лих) = — л. Лх) (8) и, аналогично, вообще т) гп У~ — — х~ = — — Лх). Полученные соотношения (5) — (9) могут быть объединены в равенстве Лгх)=г У'(х), справедливом для любого вещественного значения х, каково бы ни было р ациональное число г. Если взять здесь х=! и обозначить /(1) через с, то получим Т(г) = сг. Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вгщ функции Л но пока лишь для р а ци опальных значений аргумента При атом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет условию (А), и не опирались на ее непрерывность.
Пусть теперь е будет любое иррациональное значение аргумента. Легко построить стремящуюся к неьау последовательность рациональных чисел гы га, гп,... (можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). Мы только что видели, что Лг)=сгп (н=!, 2, 3, ...). ПЕрЕйдЕМ ЗдсСЬ К ПрсдЕЛу При Н вЂ” ь+; СПрана МЫ ПОЛУЧИМ СЕ, СЛСВа жс, ИМЕННО ввиду предположенной непрерывности функции Л получится !ОпЛг )=Ле), так что, окончательно Ле)= е. Таким образом, действительно, наша функция при всех вещественных значениях аргумента выражается формулой (а). Эта формула дает самое общее решение уравнения (А) в непрерывных функциях. 75. Фупкциональнаи характеристика показательной, логарифмической н степенной функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
