Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. В=а — х'), а при а= ч- взять А=.х'. 134 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Если функции у'(х) сверку не ограничена, то, каково бы ни было число Е, найдется такое х', что у(х') Е; тогда для х х' и подавно Лх) Е, и т. д. Предоставляем читателю преобразовать эту теорему для случая, когда предельное значение а м е н ь ш е всех значений х, равно как и для случая монотонно убывающей функции. Легко усмотреть, что теорема о монотонной варианте в 34 есть просто частный случай этой теоремы. Независимой переменной там был значок п, областью изменения которого служил натуральный ряд,1е=(п), с точкой сгущения + В последующем нам чаще придется в качестве области К, в которой рассматривается функция Ях), встречать с п л о ш н о й п р омежутон (а', а), где а' а и а — конечное число или +-, либо же — промежуток (а, а'), где а' а и а — конечное число или— 58.
Общий признак Больцано — Коши. Перейдем теперь к рассмотрению общего случая — функции у'(х), заданной в области К = (х), для которой а служит точкой сгущения. Для сушествоваиия кон е ч н о г о предела этой функции при стремлении х к а может быть установлен такой же признак, как и в случае варианты (39). Формулировку его мы дадим параллельно для случая конечного а и для случая а= Ф -. Теорема. Длн 1пого чтобы функцилУ(х) при стремлении х к а имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа е О существовало такое число б О (А О), чтобы неравенство )Ях) — у'(х') ) .е выполпнлось, лишь только ~х-а )«б и !х'-а ~«б (х -А и х' А). Доказательств о проведем в предположении, что а — конечное число.
Н е о б к о д и м о с т ь. Пусть существует конечный предел 11ш у'(х) =А. х а Тогда по заданному е О найдется такое б О, что ~Дх) — А ~. — „, если только ~ х — а ~ «Ь. Пусть и ! х' — а ~ «д, так что и 1 А — у'(х') ! г' 1 2, пРедел Функции 591 135 Отсюда получаем (~(х)-Ях')! =- ((Ях)-А)+(А-у(х')]! („Г(х)-А~ Ф ! А-Дх')) е, в предтоложении, что одновременно (х-а! д и )х' — а! Ь. Достаточность может быть установлена с помощью рассуждений, вполне аналогичньзк тем, которые были применены в случае варианты [391.
Проще, однако, не повторяя этик рассуждений, попросту свести вопрос к уже рассмотренному случаю. Путь для этого нам открывает второе определение понятия предела функции кна языке последовательностей 153).» Итак, пусть условие, сформулированное в теореме, выполнено, и по произвольно взятому е .О установлено соответствующее д.
О. Если (х„) есть любая последователъносп значений х из Х, сходящаяся к а, то, по определению предела последовательности, найдется такой номер )т, что для и -)т будет: ~х„-а~ д. Возьмем, нарялу с и, и другой номер и'= М, так что одновременно !х„-а( д и (хпа) б. Тогда, в сиду самого выбора числа д, )Ях„) — у(х,)( = к. Это неравенство, таким образом, выполняется при единственном требовании, чтобы оба номера ц и и' были . Лт. Это означает, что для варианты 1(х,) (и = 1, 2, 3,...) выполняется условие 39 и, следовательно, последовательность у"(хт), г'(хя), ..., г"(х,), ... имеет конечный предел.
Мы видели в 53 (см. замечание в конце), что этого уже достаточно, чтобы последний предел был одним и тем же, как бы ни выбирать последовательность (х„), сходюцуюся к а; этот предел и будет пределом функции, существование которого надлежало доказать. (Легко вывестн достаточность высказанного условия и из теоремы Больцано — Вейерштрасса — наподобие того, как это сделано для варианты в конце 4Ц 59. Нанбоныпнй п ааамеаьыай предены Функпап. Дане прн отсутстянн определенного предека Функции Дх) прн стремпеннн х к а. дпя отдельных посдедокатеяьпостей значений хп а предеп !ян у(хк) и ч есе же может сущестконатья его назыныот час та ч н ы м пределом Фувкцнн. ГЛ. и.
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПНРНМНННОЙ 136 160 1 Например, для фуихпии зю х при х» х (или для пп — при х 0) эти частичх ныс пределы заполняют весь промежуток от — 1 до +1. Среди частичных иредвлвв груикчии всегда иабдетсл как и а и б о л ь и~ и й, так и паиме и ь иг и б; их обозначают так: лю у1х) и х а !лп у(х). х а Равенство иаибольишго и наименьшего пределов есгиь условие, необходимое и достаиючиов длл существовании оиредвлвиисга иргдвла !буикиии, в обычном смысле слова, Мы ограничимся формулировкой этой теоремы, нс приводя доказательства Оно может быть выполнено в том жс порядке идей, что и в 4Х й 3. Классификация бесконечно малых в бесконечно болыиих величин 60. Сравнение бесконечно малых.
Предположим, что в каком- либо исследовании одновременно рассматривается ряд бесконечно малых величин: Напрнмср, если и=х О, то по сравнению с этой бесконечно м а л о и одного порядка с ною будут бесконечно малые пи х, !ях, ))!.ьх-1, ибо, хая мы знаем 154, 7); 56, 3)), 11+х-1 1 !лп х-о х т ь!п х !ип — =1, -о х а) Мы будем считать, что переменная, на которую мы делим, нс сбратается в О, по крайней мере, для значений х, достаточно близких к а. ,Р,у,"' которые, вообще говоря, будут функциями от одной и той же переменной, скажем, х, стремящейся к конечному или бесконечному пределу а.
Во многих случаях представляет интерес сравнение названных бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу сравнения двух бесконечно малых и и р кладется поведение их отношения а), На этот счет установим два соглашения: в! и! 1. Если отношение — ~а с ним и — ! имеет конечный и оти ) И личный от нуля предел, то бескоиечномалые а и !б считаются величинами одного порядка, П. Если эке отношение — само оказывается бесконечно малым р" (а обратное отношение — — бесконечно большим), гпо бесконечно малая Р р считается величиной высшего порядка, чем бесконечно малая и, и одноврелгенно бесконечно малая а будет низшего норядка, чем бесконечно малая р.
бЦ й 3. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 137 Наоборот, бесконечно малые х ~[(14Х вЂ” 1 х —, 1 — СОЗ.Х, «К Х вЂ” 51П Х (!) будут, очевидно, высшего порядка, чем х [56, 4); 5), (а) и (б)1. Конечно, может случиться, что отношение двух бесконечно малых не стремится ни к какому пределу; например, если взять [см, 54, 9) и 10)1 1 а=х и Г(=х»ш-, х 1 то их отношение, равное з!и —, при х О предела не имеет. Н таком случае говорят, х что две бесконечно малые не сравнимы между собой.
Заметим, что если бесконечно малая р' оказывается высшего и о р я д к а, чем бесконечно малая а, то этот факт записвыают так: Р= (). Например, можно писать: 1 — совх=о(х), 1ях — гйпх=о(х) и т. п. Таким образом, символ о(а) служит общим обозначением для бесконечно малой высшего порядка, чем а. Этим удобньпи обозначением мы впредь будем пользоваться. б1. Шкала бесконечно малых. Иной раз встречается надобность в более точной сравнительной характеристике поведения бесконечно малых, в выражении их порядков ч и с л а м и.
В этом случае, прежде всего, в качестве своего рода «эталона» выбирают одну из фигурирующих в данном исследовании бесконечно малых (скажем, а); ее называют основной. Конечно, выбор основной бесконечно малой в известной мере произволен, но обычно берут простейшую из всех. Если рассматриваемые величины, как мъг предположили, являются функциями от х и становятся бесконечно малыми при стремлении х к а, то в зависимости от того, будет ли а нулем, конечным и отличным от нуля числом или бесконечностью, естественно за основную бесконечно малую взять, соответственно 1 х, х — а х Далее, из степеней основной бесконечно малой а (мы будем считать а»О) с различными п оп о жите льными показателями, а", составляют как бы шкалу для оценки бесконечно малых более сложНой ПРИРОДЫ а).
П1. Уславливаются считать бвсконеч~о малую [1 величиной х-го порядка (относительно основной бесконечно малой а), если д и ак (lс .О) будут величинами одного порядка, т.с. если отношение — имеет конечный и отличный от нуля предел. а" *) Легко видеть, что при l«мо величина аа будет бесконечно малой одновременно с а. гл. н. пункции одной пивнминной 135 (51 Теперь, например, можно, ие довольствуясь утверждением, что бесконечно малые (1) (при х О) будут величинами высшего порядка, чем и=х, сказать точно, что первые две нз ник суть бесконечно малые в т о р о г о порядка, а последияя— третьего порядка относительно а=х, ибо (56, 4); 5), (а) и (б)) 1йх-з!в х 1 !лп «-О х' 2 Чтобы взять более сложный пример, рассмотрим выражение ))=)Гх.Ь1+ ~х-1-2)гх; при х + оно будет бесконечно малым, что становится ясным, если представить его в виде 1 1 ф=Цх+1 — )(х) — ()Гх — )гх — 1) =- )х-~-1-~)х )(х+)гх-1 Продолжая это преобразование, найдем: )гх — 1 — ух ь1 Ф— Цгх+1+ )х)()!х-~ 7х 1) ЦГхь14 7хЩх+ )Гх:1)()гх- !+ Кхч- 1) 1 Полагая и=..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
