Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В этих условиях само уравнение у=у(х) называют уравнением кривой АВ, [48 162 гл. и. етнкция одной пиввмвннон Например, на черт. 6 и 7 изображены графики функций у=-+- )/1 — х' и У=-(- )гхе — 1; (~ «! () (1 -~ж(1 читатель узнает в них окружность и равнобочную гипер-. б о л у. Много других примеров графического изображения функций читатель найдет в ближайших номерах.
Строится график обычно по точкам. Берут в промежутке Х ряд близких между собой вначений х, вычисляют по формуле у=у(х) соответствующие значенияу: х = [ х, ! х, (х, 1....(х„ У = ( У ! У«(уч Н "(Уч и наносят иа чертбж точки (хн У()~ (хю Уе) (хв Уе) ° ° (хл Ул).
Через эти точки от руки или с помощью лекала проводят к р и в у ю, которая (конечно, лишь с некоторым приближением) и дает искомый график. Чем плавнее ход графика и чем гуще взяты точки на нем, тем точнее начерченная кривая воспроизводит этбт график. Следует заметить, что хотя геометрический образ функции всегда можно себе «представить», но не всегда этот образ будет к р и в о П в обычном, интуитивном смысле, е Ф Построим, например, график функции у = Е(х). Так как в шюмежттках..., [ — 2, — !), [ — 1,0), [О,1)„[1, 2), [2, 3), ... функция сохраняет постоянные значения ..., — 2, ™1, О, 1, 2, ..., то график будет состоять нз ряда отдельных горизонтальных отрезков, лишенных своих правых концов (черт. 8)е. Для функции у(х) Дирихае график состоит из множества точек с нррац н о не л ь н ни н ебсцнесамн не оен л н множества точек е р а ц ион ел ьн ы и н абсциссамн на прямой у = 1; его и изобразить невозможно.
48. Важнейшие классы функций. Перечислим здесь некоторые классы функций, получивших название элементарных. 1' Целая и дробная рациональные функции. Функция, представляемая целым относительно буквы х многочленом: у = а,х" + а,х" '+... + а„, х + а„ ч Это обстоятельство синволнзируется с т р е а к а м н, которые своими остриями указывают иа точки, не принадлежащие графику, $ 1. понятия этнкции 48] 103 (а„а„.а„.. ° — постоянные), называется ц е л ой р аци он а л ь ной функцией.
Отношение двух таких многочленов: о,х" +а,х" '+... +а„,х+а„ у-а, +э, = +"..'.+а„, +а. называется дробной рациональной функцией. Она опре- делена для всех значений х, кроме тех, которые обращают знаме- натель в нуль. для примера на черт. 9 даны графики функции у=ахя (пара- б олы) при различных значениях коэффициента а, а на черт. 10— а графики функции у= — (равнобочные гиперболы), также при х различных значениях а. 2' Стеленная функция. Так называется функция видз у =х", где р — любое постоянное вещественное число.
При целом р полу- чается рациональная функция. При р дробном мы имеем здесь ра- дикалл. Например, пусть т — натуральное число и ! », и/ эта функция определена для всех значений х, если т †нечетн, и лишь для неотрицательных значений †п в четном (в этом случае мы имеем в виду арифметическое эначен.не радикала). Нзко- иец, если 1» — иррациональное число, мы будем предполагать х)0 (х=0 допускается лишь при р)0). На черт. 11 и 12 даны графики степенной функции при различ.
ных значениях 9. 3' Показательная функция, т. е. функция вида а» где а — положительное число (отличное от единицы); х принимает любое вещественное значение. Графини показательной функции при различных значениях а даны на черт. 13. 4" Логарифмическая функции, т. е. функция вида у=1од х, где а, как н выше,— положительное число (отличное от единицы); х принимает лишь положительные значения. На черт. 14 даны графики этой функции при различных значениях а. 5' Тригонометрические функции: у=з1пх, у=сов х, у=(пх, у=с1пх, у=всех, у=сзсх 107 з 1. понятия ьтнкции 481 Очень важно раз навсегда усвоить, что аргументы тригонометрических функций, если их рассматривать как меры углов, всегда выражают эти углы в радианах (поскольку не оговорено противное), 1(ля !их и весх исключаются значения вида (2й+ 1) —, а для с!их и свсх — значения вида йа (А — целое).
Графики функций у=в!их(совх) и у=!нх(с!йх) даны на черт. 15 и 16. График синуса обычно называют синусоидой. Иной раз, особенно в технических вопросах, представляют интерес: ' 6' Гиперболические функции. Так называются функции: е» вЂ” е» е»+е»' вйх —, сйх= вйх е» вЂ” е" сйх е»+е» ейх с»+е "' вЛх с» — е» ' ''' (гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, ...); они определены для всех значений х, исключая с!Л х, который теряет смысл при х = О. Эти функции проявляют замечательную аналогию с тригонометрическими функциямсс.
Черт. !т. Черт. 1В. Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки!) сЛ (х -+.у) = сЛ х ° сйу с- вЛ х зйу, яЛ (х -+-у) = вЛ х сйу -+- сЛ х вйу, из которых при у=х, в частности, следует: сйв х — яйв х= 1, сЛ 2х=сЛ'х+ вЛ'х, яЛ2х=2яйх сйх. [49 108 гл„ ы. егнкция одной пвгвмвнной Например, первая из этих формул сводится к легко проверяемому тождеству: е»+У + е-»-У е» + е-» еУ + е-У е» е-» еУ е-У 2 2 2 Так же проверяются и остальные. Графики гиперболических функций изображены на черт.
17 и 18. 49. Понятие обратной функции. Прежде чем перейти к обратным тригонометрическим функциям, сделаем пояснение относительно обратных функций вообще, Предположим, что функция у =У (х) задана в некоторой области Ю, и пусть У будет множество всех аначений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в пределах области Ю.
(В нашей практике как Ю, так и У обычно будут представлять собою промежутки) Выберем какое-нибудь значение у=у« из области чГ; тогда в области Х необходимо найдзтся такое аначение х=х, при котором наша функция принимает именно аначение у„ так что У (хо) =У«1 е»+е» =у или 2 е' — 2у е" + 1=0 подобных значений х, может оказаться и несколько. Таким образом, каждому значению у нз У ставится в соответствие одно или несколько значений х; этим определяется в области Ог однозначная или многозначна я функция х=8(у), которая и называется обратной для функции у=у(х). Рассмотрим примеры: . 1) Пусть у=а" (а) 1), где х изменяется в промежутке Я'=( — ео, + ео).
Значенияу заполняют промежуток У = (О, + оо), причем каждому у из этого промежутка отвечает, как мы знаем [20[, в .9 одно определенное х = 1од у. В этом случае обратная функция оказывается однозначной. 2) Наоборот, для функции у=х', если х изменять в промежутке Х=( — оо, +со), обратная функция будет двузначной: каждому аначению у из промежутка У =[О, + со), отвечают два значения х= -+- )/у из Х. Вместо' этой двузначной функции обычно рассматривают раздельно две о днов н а ч н ы е функции х=+ 1/у и х= — 1/у («ветви» двузначной функции).
Их можно пороань также считать обратными для функции у =х', в предположении лишь, что область изменения х ограничена, соответственно, промежутком [О, + ео) или промежутком ( — оо, О[. 3) Аналогично, если взять у=сйх, где областью изменения х снова является промежуток Ю=( — оо, +оо), то, решая уравнение 1ОО 49) $1. понятия эвикции относительно е", найдзм (при у = 1) д за значения е" =у -+- у'уа — 1, откуда х=1п(у-+- р'у' — 1). Снова — д в у з н а ч н а я функция, которая распадается на две о д н озна чные ветви, отвечающие порознь изменению х от О до + оо и от — оо до О. 4) Если же у=яйх, то — при любом у — из уравнения е« вЂ” е « 2 у или еа» 2у е» 1 О найдем лишь о д н о значение для е": "=у+ уу'+1, так как второе значение — с минусом при корне, как отрицательное, невозможно и должно быть отброшено. Отсюда х=1п(у+ у'у'+1), так что здесь обратная функция однозначна.
Заметим, что по графику функции у=у(х) легко сообразить, будет ли обратная для нее функция х=аг(у) однозначной вли нет, Первый случай представится, если любая прямая, параллельная оси х, пересекает этот график разве лишь в одной точке. Наоборот, если некоторые из таких прямых пересекают график в н е с к о л ь к и х точках, обратная функция будет многозначной. В этом случае по графику же легко разбить промежуток изменения х на части так, чтобы каждой части уже отвечала однозначная «ветвь» этой функции. Например, по одному взгляду на параболу черт. 4, которая служит графиком функции у=х', ясно, что обратная ей функция двузначна и что для получения однозначных «ветвей» достаточно раздельно рассматривать правую и левую части этой параболы, т, е. положительные и отрицательные значения х в.
Если функция х = 4 (р) является обратной для функцийу=У(х), то, очевидно, графини обеих функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой х, т. е. вместо функции х=й (у) рассматриватьу= а (х). Тогда лишь придется горизонтальную ось назвать осьюу, а вертикальную— осью х; график все еще останется прежним. Если же пожелать, ' Ниже 183) мы вервймся еще к вопросу о существовании и однозначности обратной функции. гл. и. этнкция одной пвгимвнной [80 110 чтобы (новая) ось х была бы, как привычно, горизонтальной, а (новая) ось у в вертикальной, то этн оси нужно будет переставить одну на место другой, что уже изменит и график.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
