Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Для осуществления этого проще всего повернуть плоскость чертежа хОу на 180' вокруг биссектрисы первого координатного угла (черт. 19). 1»1 Такии образом, график у = е.(х) по- 1'1 лучается как зеркальное отражение графика у=у(х) относительно этой биссектрисы. По черт. 13 и 14, например, I сразу видно, что они именно так получены один из другого.

Точно так же, исходя из высказанных соображений, легко О объяснить симметричность (относительно биссектрисы) каждого из черт. 11 и 12. Черт. 19 50. Обратные тригонометрические функции. В дополнение к.тем классам элементарных функций, которые были упомянуты в 48, рассмотрим теперь T Обратные тригонолгетричеекие функции: у=агса1пх, у=агссоях, у=агс1их, у = агсс1я х, (у = агсзес х, у = агссяс х). Остановимся сначала на первой из них. Функция у=я1пх определена в промежутке Х=( — оо, + по), причем ез значения заполняют сплошь промежуток У =[ — 1, 1].

Параллель оси х пересекает синусоиду, т. е. график функции у=а[их (черт. 15) в бесконечн о м и н о ж е с т в е точек; иначе говоря, каждому значению у из промежутка [ — 1, 1) отвечает бе с конечное ми о же с т во вначенийх. Поэтому обратная функции, которую обозначают так: х = Агся1пу, » будет (бесконечно-)многоаначной. Обычно рассматривают лишь одну «ветвь» этой функции, отвечаюшую изменению х между — — и —; каждомуу из [ — 1, 1[ в этих пределах отвечает одно значение х; его обозначают через х = агса(пу и называют главным значением арксинуса. * Мы уже подчеркивали з свое время [48,5'), что аргумент х тригонометрической функции выражает угол в р а дианах; разумеется н здесь значения обратных тригонометрических функций, если их рассматривать как меру угла (илн дуги) все выражены в радианах (в ради усах).

60) $1. понятии егнкции Поворачивая синусоиду около биссектрисы первого координатного угла (черт. 20), получаем график многозначной функкии у=Агсз!пх; сплошной линией выделен гра-' фик главной ветви ее у=агсз!пх, которая однозначно определена в промежутке [ — 1, 1], вначений х н притом удовлетворяет неравенству я я — — =.

агсз!п х (— 2 ' 2' которое характеризует ее среди других ветвей. Вспоминая из элементарной тригонометрии, как выражаются в с е 'значения угла, имеющего данный синус, через одно из этих значений, легко написать формулы, дающие з с е значения арксинуса: Агсз!п х = агсз!п х+ 2 ля (А=О, -4-1, -+-2, ...).

или (2л+1)к — агся!пх. Исходя из теоремы сложения для синуса гйп (а+ р) = з!п а соз р+ соз а ° з1п р, можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно, положим здесь а =агсз!их, р=агсз!пу (где х и у лежат между — 1 и + 1); тогда з!п а=х, з!пр=у сова= р~! — хз, соз 'р = р 1 — у', причем корни берутся со знаком плюс, так как углы а и р, по характерному свойству главного значения арксинуса, лежат между — — и †, так что косинусы их положи- 2 2' Черт. 20. тельны.

Итак, з!п (а+ 1) =х у'! — у~+у )/à — хз, откуда а +р =а!си!п х+ агсз!ну= = Агсзгп (х ~1 — уз+у 1/! — хз). Формула может быть написана проще: ащип х+ агсзи1у=агсз!п(х ~/! — у'+у у'1 — хз) ГЛ. П. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПВРВМВННОй (бо 112 лишь в том случае, если и а+р не выходит из промежутка — †, -2-1. Это условие автоматически выполняется, если аргументы х н у (а с ними в и р) имеют разные анаки. В случае яге одинаковыя знаков высказанное условие, как легко видеть, равпоснльно такому: х'+у' ~ 1.

Подобные же рассуждения применимы к функции у = сов х ( — ОО ~х( + оо). И здесь обратная функция у=Агссоях ( — 1 =х~ 1) оказывается (бесконечно-)многозначной (см. черт. 18). Лля выделения' о д н о з н а ч и о й ветви, ее подчиняют условию: О ~ агссоз х ~ я; это есть гл а в на я в е т в ь арккосинуса. Функция агссозх связана с агсз1пх очевидным соотношением агссоя х = — ' — агсз!п х 2 1 действительно, - не только косинус угла — — агся1п х равен з1п(аша1пх)=х, но и сам угол содержится именно между О и 1г.

Остальные значения Агссозх выражаются через главное его значение по формуле Агссозх= 2йк-+ агссоях (в = О, -~-1, -~-2, ...). функцня у=1ях определена для всех значений х, кроме значений х=(2л+1) — (А=О, -+-1, -+-2, ...). Значения у заполняют здесь промежуток ( — Оо, +по), причем каждому у снова соответствует бесконечное множество значений х (см.

черт. 16). Поэтому обратная функция х= Агстяу, заданная в промежутке ( — оо, + ОО), будет (бесконечно-)многозначной. на черт. 21 изображен график функции у=АРО12х, полученный поворотом на 180" вокруг биссектрисы первого координатного угла графика функции у=1ях. За главное значение арктангенса„агстях, принимают то из значений этой многозначной функции, которое удовлетворяет неравенствам — — (агс(нх( —.

2 2' Таким путем определяется однозначная функция — г л а в н а я в е т в ь арктангенса, заданная для. всех значений х. Остальные вна. чения арктангенса, как легко показать, получаются так: Агс12 х = агс12 х + йя(А = О, -4- 1, -4- 2, ), $1. понятив аункции о01 Теорема сложения для тангенса: (и(а+ р) = ~ + ~ ~ черт.

2к если положить а=агс1ях, ~=агс1ду, дает (при ху ае 1) 1я (а + р) = — У, так что а + р = агс1и х+ агс1иу = Агс(и — +У . И в данном случае равенство приводится к простому виду агс1и х+ агс1яу = агс1п 1 — ху ' лигпь если — я (а+рс, 2, т. е. если хус, 1, 114 гл. и. егнкция одной пвгвмзнной (61 Нетрудно установить прямую связь между функциями агс16х и агсз1пх: к х агс1й х = агсз1п или агсгйп х = агс16 —: . у 1+х' 'Р' 1 — к' ! — Ф < Х < -!-Ф] (-! <х<+!! Например, если положить а=агс1дх„так что 1иа=х, то з1п з= = , причвм корень бератся со знаком !Як Х )'1+!2~я )/1+кг плюс, потому что — — <" я <" —; отсюда и вытекает что 2 2 ' з = агся1п )~ 1+х' Упомянем еще о функции Агс1их ( — оо(х '+со); ее главное значение определяется неравенствами 0(агсс1ях(и и связано с агс1ях соотношением агсс1д х = —" — агс1п х.

2 Остальные значения арккотангенса имеют вид Агсс16х=агсс1дх+й~ (л=О, -1-1, -1-2, ...). На функциях агсзс х ( — ео (х ( — 1 и 1 ~х(+ оо) н агссозсх (те же промежутки изменения) останавливаться не будем, предоставляя читателю самому в них разобраться. 61, Суперпозиция функций.

Заключительные замечания. Познакомимся с понятием 'суперпозицни (или наложения) функций, которая состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется некоторая функция от другого аргумента. например, суперпозиция функций у= з1п х и х= 1ояу дает функцию л=1ои з1 х; аналогично получаются и функции уг1 — х , агс1и — и т. п. Я 1 В обгцем виде, предположим, что функция г= р(у) определена в некоторой области 1т' = (у ), а функция у=/(х) определена в области Ю=(х), причем значения ее все содержатся в области У. Тогда переменная л, как говорят, через посредствоо у, и сама является функцией от х: = р (у(х)) По заданному х из Х сначала находят соответствующее ему (по правилу, характеризуемому знаком Я значение у из У, а затем устанавливают Соответствующее з т о м у значению у (по правилу, б2! й 2.

пгядял ьтнкции характеризуемому знаком ц) значение г; его и считают соответствующим выбранному х. Полученная функция от функции нли сложная функция н есть результат сулерлознции функций )'(х) и о(у). Предположение, что значения функции 7(х) не выходят за пределы той области У, в которой определена функция 2(у), весьма существенно: если его опустить, то может получиться и нелепость.

Например, полагая г=!ойу, а у=з!их, мы можем рассматривать лишь такие значения х, для которых зш х > О, ибо иначе выражение 1ой з!и х не имело бы смысла. Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что характеристика функции, как с л о ж н о й, связана не с природой функциональной зависимости г от х, а лишь со способом задания этой зависимости. Например, пусть г= !У ! † для у в [ — 1, ![, а у=а!их для х в [ — — — ""1. Тогда 2' 21' г= 1/! — а!и' х = соз х.

Здесь функция соя х оказалась 'заданной в виде сложной функции. Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции функций, мы можем точно охарактеризовать простейший из тех классов функций, которые изучаются в анализе: это, прежде всего, перечисленные выше э л е м е н т а р н ы е ф у н к ц и н 1' — 7', а затем— все те, которые из них получаются с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций, последовательно примененных коне ч н о е число раз. Про них говорят, что они выражаются через элементарные в конечном виде; иногда их все также нааывают элементарными. Впоследствии, овладев более сложным аналитическим аппаратом (бесконечные ряды, интегралы), мы познакомимся и с другими функциями, также играющими важную роль в анализе, но уже выходящими за пределы класса элементарных функций. 2 2.

Предел функции 62. Определение предела функции. Рассмотрим числовое множество Х=[х[, Точка а называется точкой сгущения этого множества, если в любой близости от а содержатся значения х из Х, отличные от а. Чтобы выразить это определение в более точных терминах, введем пвиятие о к р е с т н о с т и точки а: так называется любой открытый промежуток (а — 3, а+3) с центром в точке а. Теперь можно сказать, что точка а будет точкой сгущения множества Х, если в каждой ей окрестноснш содержатся отличные от а значения х из Я". 116 гл. и.

Характеристики

Список файлов книги