Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 26
Текст из файла (страница 26)
55. Распроетраневве теории пределов. Естественно встает вопрос о распространении теории пределов, развитой в главе 1 (Я 1 и 2) применительно к случаю варианты, на рассматриваемый здесь общий случай произвольной функции. Для этого существуют два пути: 1. Прежде всего, можно перефразировать здесь изл оженные там рассуждения.
Мы для примера фактически выполним это по отношению к предложению 1' в 26. Рассмотрим функцию 1'(х), заданную в некоторой области Х, с точкой сгущения а*). 1 Если лри стремлении х к а ргункция у (х) имеет конечный предел А, и А р (А ц), то для достаточно близких к а значений х (отличных от а) и сама рзункция удовлетворяет неравенству (14) У(х) р (1(х) ц). Выбрав положительное число в ~А — р (д-А), будем иметь А — е -р (А+в д). Но, по определению предела, для этого е найдется такое д, что, лишь только [х-а~ Ь (где х взято из ь и отлично от а), тотчас же А — в у'(х) мА+е. Для тех же значений х и подавно будет выполняться (14), Читатель видит, что никаких новых идей для доказательства привлекать не пришлось.
«) Число а может быть и бесконечным, но мы для определенности ограничимся случаем конечного с. 1 а пРедел Функции 55! Отсюда непосредственно могут быть оправданы и утверждения 2', Зо и 5' из 2б. Например, полагая в 1' р= О (у=О), получим: 2 Если при х а функция Ях) имеет конечный положительный (отрицательный) предел, то и сама функция положительна (отрицательна), по крайней мере, для значений х, достаточно близких к а, но отличных от а.
Справедливо и утверждение, аналогичное 4', но в более узкой форме: 4" Если при стремлении х к а функция Ях) имеет конечный предел А, то для значений х, достаточно бли зк их ка, функция будет ограниченной: (Дх))=ФМ' (М'=сопз1, (х — а( д). Напомним, что первоначально и для варианты х„, имеющей конечный предел, неравенство ~х„~-М' было получено только для и- М, но, так Как лишь конечное число значений варианты может не удовлетворять этому неравенству, то нетрудно было, увеличив в случае надобности М', добиться выполнения неравенства для в с е х х„. Здесь же этого, вообще говоря, сделать нельзя, ибо значений х, для которых ) У(х) ~ =- М', может оказаться и бесконечное множество.
1 Например, функцнялх).= — (для х О) при х 1 стремится к единице; 1 очевидно, Дх)к2, если )х — !( - —, однако для всех рассматриваемых значений х функция 1(х) вовсе не будет ограниченной. 11. Переходя к другим теоремам, в которых переменные связываются знаками равенства, неравенства или арифметических действий, мы, прежде всего, должны оговорить, что, соединяя две или несколько функций л(х), к(х), ... (определенных в одной и той же области Ю) такими знаками, мы всегда подразумеваем, что их значения отвечают одному и тому же значению х.
Все эти теоремы можно было бы доказать аналогичным образом наново, но — и это важно подчеркнуть — на деле нет необходимости их передоказывать. Если, говоря о пределе функции, стоять на «точке зрения последовательностей», то, поскольку для последовательностей теоремы доказаны, они верны и для функций. Для примера остановимся на теоремах 1, 2', 3' из 30: Пусть в области Х (с точкой сгущения а) заданы две функции Ях) и я(х), и при стремлении х к а обе имеют конечные пределы 1пп Ях) =-А, 1пп я(х) = В. Тогда и функции (15) Ях) ~й(х), Дх) .й(х), Ь Г.
М. Фххххххьлхц, т. ! 1ЗО гл, и. элгкцин одной пв»вмвнной также илгеют конечные пределы (в случае частноао — в предпо- ложения, что В о 0), именно А+В, АВ, В ' На «языке последовательностей» данные соотношения расшифро- вываются так: если (х„) есть любая последовательность значений х иэ Х, имеющая пределом а, то г (х„) — А, д(х„) — В. Если к этим двум вариантаи применить уже доказанные теоремы, то получаем сразу: 1!гл (у(х„) + ~(х«)) = А -+- В, !(ш У(х») Я(х«) = А ' В У(х») А 11ш (' — ) —— —, а это (на «языке последовательностей») и выражает именно то, что пуз<но было доказать «). Таким же образои на общий случай, рассматриваемый нами теперь, автоиатически переносится и все сказанное в 3! относительно «неопределенных выражений>, условно характеризуемых символами: О оо — — О сю, оо — со.
О' со' Как н в простейшем случае, когда мы имеем дело с функциями натурального аргумента, здесь для «раскрытия неопределенности» уже недостаточно знать лишь пределы функций у(х) и д(х), а нужно учесть и самый закон их изменения. Читатель легко проверит, что в примерах 4), 5) предыдущего и' мы имели дело с неопределенностью вида — и О ° оо, а в примере 7)— с неопределенностью вида —. В следующем п мы приведем даль- О о О' нейшие примеры, уже с применением простейших теорем теории пределов. Мы еще вернемся к этому вопросу н в $ 4 главы 1Ч, где будут даны общие методы раскрытия неопределенностей уже с применением дифференцизльного исчисления. 56. Примеры.
1) Обобщая примеры 1) и 2), 32, исследуем поведение многочлеяа р(х) = а,х»+а,хэ '+... + аа,х+ ля, ч) В случае частного можно было бы заметить (анааогично тому, как мы это сделали аэя варианты), что для х, достаточно близких к а, знаменатель д (х)с-о, так что дробь — имеет смысл, по крайней мере, дая этих зиау'(х) е (х) челий х. 1 Х ПВНДНЛ ОУНКГГИИ а затем — и частного двух таких миогочленов р(х) аех"+а,хх гх ° . Ч-а» зх+еа д(х) Ь,х/+Ь,х' '+... +Ь/ зх+Ь/ при х- х Путем преобразования а, а/з) р(х) =х» ~ао+ — +...
х — ! х х;,~ легко установить, что !лп р(х)= з ( — ), х х причелг знак предела при /г четном определяется лизпь знаком а„а при /г нечетном— зависит еще и от знака х. 2) Аналогично находим, что р(х) л, !вп — =и, —, Оц х-я о(х) ' Ьв' Ц в зависимости от того, будет ли 1г 1, /г=1нлн /г 1. Знак предела (в перволг случае) устанавливается по знакам ав и Ьм а также (при /г -1 нечетном) — по знаку х. 3) Докажем для любого положительного рашгонального показателя г Формулу ((ч у-! /О~ Начнем с простейшего случая, когда показатель есть натуральное число: г=л.
По биному Ньютона л(л — 1) лх-1- хз+... +х» ()ч-х)» — 1 1 2 л(л-1) и+ хЧ-... +хв — г; х х 1 ° 2 так как при х-О все члены в последней сумме, кроме первого, стремятся к О, то, действительно, имеем (!+ к)я — 1 1нп = л. «-е х 1 Пусть теперь г =. — (где гл — натуральное), и рассмотрим выражение я )/1ч-х — 1 Положим /г1->х-1 =-у, откуда х=. (1 ч у)м — 1. '1'ак как (счнтая !.х ! 1) ж и 1 — (х! )/1-Ьх 1Ч-(х(, то !пп (/1+х-!, х-е так что, вместе с х, и у -О. А тогда, по предыдущему случаю, (/1ч-х-1 , у 1н» = !лп х о х у-е(1+у)"' — 1 зл ч) Ниже (77, 5) (в)! она будет обобщена на случай любого вещественного показателя.
гл. и. тункции однои пнкнмпнной 152 156 (1.1 х)т 1 (1 1,)л 1 (1 у)л 1 (1л.у)т 1 у П ьг)т откуда ул йп— х-о х т 4) Найти предел л~ — х )1+х-1-- 1нп х о Хе и С помошыо той жс подстановки )г1-~-х-1---у преобразуем рассмазршыемос выражение к внлу 1 > — — ((! Ьу)т-1! т 1()-Ьу,т-1)~ глызин... то-1 лъ — 1 откуда сразу ясно, что искомый предел равен— 2ллг 5) Предел (54, 7)! йш — — —. 1 х о х часто используется для нахождения других пределоо.
1 — созх 1 ~0) (а) Очсиидно, х х 2 я1з — з(п— 1-созх 2 1 2 ле хо 2 х 2 1 так как выражешт в скобках сгремится к 1, то обший предел н будет —. гйх — з)их 1 (0) (б) Н' о хо 2 (О! ' И здесь преобразование легко приводит к уже изученным пределалг: Гйх — о!их 1 Япх 1 — созх хо сов х х хз Заметим, что сох х 1 прн х О, как это вытекает, например, нз предыдушего результа га (а). (в) 1'нп (зсс х — 15 х) = 0 ( — ).
х-„ л Наконец, обший случай г=- — исчерпывается введением той жс вспоьгогательт ной переменной у: 57! ! к г!Редея Функции а я Здесь удобнее псрсити к псрсмснипя а=- †-х; очсвиднп а -О при х-- †. Имеем 2 2 1-сова 1 — сова и Зепх-!ах= свса-с!К а=- — — =- —. —.и О. вьп и ав вша 57. Предел монотонной функции. Вопрос о самом существованиии предела функции й' л.) а особенно просто решаетсл для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной варианты [34). Пусть функция г'(х) определенд в некоторой области Уб=-(х). Функция называется возрастающей (убывающей) в этой области, если для любой пары принадлежащих ей значений нз х'.
х следует у(х') у(х) [Г(х') - г(х)). Если же из х' х следуе~ лишь у'(х')=-у"(х) [Г'(х')- З'(х)), то функцию называют неубывающей (н с возрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) — но в ш и р о к о м смысле. Функции всех этих типов носят общее название м о и о т о ц н ы х. Для монотонной функции имеет место теорема, вполне аналогичная той теореме о монотонной варианте, которая была установлена в 34. Теорема. Пусть функуия у(х) монотонно возрастает, хотя бы в широком слчысле, в области Х, имеющей точкой сгущения число а, большее всех значений х (оно может быть конечным или равным -~- ).
Если при этом фупкуия ограничена сверху: у(х)~М (для всех х из Х), то яри х а функция имеет конечный предел! в протпвпол! случае— опа стремится к е Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим сначала, что функция Г(х) ограничена сверху, т. е. ограничено сверху множество Ях)) значений функции, отвечающих изменению х в области К. Тогда для этого множества суп!естиует [11) конечная точная верхняя граница А. Докажем, что это число А и будет искомым пределом. Задавшись произвольным числом в О, по свойству точной верхней границы, найдем такое значение х'ка, что у(х') А-е.
Ввиду монотонности функции, для хих' н подавно будет: у'(х)мА — е. Так как, с другой стороны, всегда у(х) .А ~А+с, то для упомянутых значений х выполнится неравенство [Ях) — А ! е. Это и доказывает наше утверждение, стоит лишь прн а конечном положить х'=а — д (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
