Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Аналогично, из промежутка [а„Ьг) выделим его половину [аа, Ьг) — при условии, чтобы в ней содержалось бесконечное множество чисел х„, и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, на lс-й стадии его выделим промежуток [а„, Ьх), также содержащий бесконечное множество чисел х„. 141 Гл. ь теОРия пРеделОВ 88 Каждый из построенных промежутков (начиная со второго) содержится в предьщушем, составляя его половину. Кроме того, длина к--го промежутка, равная ~-а Ь»- с»= —,» стремится к нулю с возрастанием lс. Применяя сюда лемму о вложенных промежутках [381, заключаем, что а» и Ь» стремятся к общему пределу с. Теперь построение частичной последовательности [х„,) произведем индуктивно — следующим образом.
В качестве х, возьмем любой (например, первый) из элементов х„нашей последовательности, содержащихся в [а„Ь,]. В качестве х,„возьмем любой (напрвмер, первый) изэлементовх„, следующих зах„,исодержащихсяв [ая, Ь»1, и т. д. Вообще, в качестве х, возьмем любой (например, первый) из элементов х„, следующих за ранее выделенными х,„, х,„..., х„,, и содержащихся в [а», Ь»[. Возможность такого выбора, производймого последовательно, обусловливается именно тем, что каждый из промежутков [а»,Ь»! содержит бесконечное множество чисел х„, т. е. содержитэлементых„со сколь угодно большими номерами. Далее, так как а»~х„,. Ь» и 1нпа»=1!шЬ»=с, то, по теореме 3; 28, и !пи х„,=с, ч.
и тр. д. Метод, примененный при доказательстве этой леммы и состоящий в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, известен под именем метода Бо х ь ц а и о; он часто будет нам полезен и в других случаях. Лемма Вольцано-Вейерштрасса значительно облегчает доказательство многих трудных теорем, как бы вбирая в себя основную трудность рассуждения.
Ддя примера докажем снова с ее помощью Принцип сходимости; мы имеем в виду д о с т а т о ч н о с т ь содержащегося в нем условия, которая потребовала от нас в 39 значительных усилий. Итак, пусть условие выполнено, и по заданному е -0 найден таков номер Ф, что для л»Ж и л' .Ф имеют место неравенства (2) или (3) Вели л' при этом фиксировать, то из (3) ясно, что варианта х„, в» всяком случае, будет ограниченной: ее значения для л Ф содержатс. между числами х„— е и х„+г, и нетрудно эти границы раздвинут так, чтобы охватить и первые !У значений: х», х», ..., хи. Тогда, по только что доказанной теореме, можно выделить части ну»о последовательность [х, ), сходящуюся к конечному пределу 1пп х„,=с.
42] 1 4. пяиицип сходимости. члстичнын пвццилы 89 Покажем, что к этому пределу стремится вообще и варианта х„. Можно выбрать [с настолько большим, чтобы было )х„ь-с! я и, одновременно, ля У. Следовательно, в (2) можно взять и'=-пи. (х„- и, сопоставляя оба зти неравенства„окончательно находим ]хн-с( «2е (для л Ф), что и доказывает наше утверждение *). 42. Наиболыпнй н наименьший пределы. Итак, для любой варианты хн, будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Мы покаакм сейчас, что среди этих частичных пределов необходимо найдутся наибольший и наимсньший! онн называются наибольшим и наименьшим пред е л а м и самой варианты х„и обозначаются, соответственно, через !!шха и 1ппх„.
ТНОЯНЛЯН. Наибольший и наименьший пределы для варианнгы хн всегда суигестиуют. Их равенство есть условие, необходимое и да«та»па«ние длл существования предела варианты (а обычном смысле) ь*). Доказательство. Начнем с рассмотрения вопроса о наибольшем пределе. Мы уже вцлелп выше [40], что если варианта хн не ограничена с в е р х у, то из последовательности (1) ее значений можно вьшелить такую часп«чную последовательность (х,ь], что 1йп хнь= + Таким образом, в этом случае + является о д н н м из частичных пределов варианты, и, очевидно, на и боль ш им из всех возможных, так что 1лп х„= + Предположим же теперь, что варианта хн ограничена сверху: хн~М (и 1, 2, 3 ...).
Рассмотрим точную верхнюю границу значений хн для н»йл Ми=вар(хн)=апр(ха+„ха.ь„...] М. и ь При возрастании й значение Мк может разве лишь у м е н ып а т ь с я, следовательно, по теореме о монотонной варианте [34], во всяком случае существует предел (при возрастании /с до бесконечности) йш Ма, конечный или раввьй— ") Число 2« в такой же мере «цронзвольио малое» число, как и г. Если угодно, можно было сначала взять не ь, а —, тогда мы здесь получили бы е. Впредь подоб- 2 ных указаний мы уже делать не будем. и») Зта теорема, доказательство которой не использует леммы Б о л ь ц а и о— Вейерш трасса, перекрывает последнюю.
[42 90 Гл. 1. ТБОРия пРеделОВ Случай, когда этик предел есть —, тахже исчерпывается просто. Для любого Е 0 найлется такой номер /с = Ю„что Мы — Е; ио для и»У, очевидно, хь«Муг, тах что при указанных значениях и и подавно хи« -Е. А это означает, что существует предел (в обычном смысле) 1йп хи который одновременно будет и наибольшим и н а имен ып им*). Остается рассмотреть самьгй важный случай, когда существует к о н е ч н ы й предел: 1пп Мв= М*; мы покажем, что это число М* и будет искомым наибольшим пределом для варианты х„. С этой целью установим два характерных свойства числа М*.
Если лроювольно взять число в О, то найдется такое я=У', что Мн М*-~-»; так как, прн и Ж' хи«Мнч то и подавно х„М*фв. Итак, имеем 1 свойство числа М*: каково бы ни былие О, существует такойномвр Ак, чтв длн всех и А1'будет хи МвЧ-в. С другой стороны, нри произвольном в»0 и любом й будет Мв Мв М"-в. Но тогда, по свойству т о ч н о й верхней границы [11[, среди значеняй х«с номерами и Е+1, )гч-2, к+3, ... найдется такое значение х»з что ахи' М*-в. Заменяя произвольно взятое й на А1, сформулируем П свойство числа Мв1 каковы бы ни былие О и номер Аг, найдви1слзначвнив хв' с номером и' гу таков, что хи' М Подчеркнем разницу в формулировках обоих свойств. В нервом случае неРавенспю вьшолнаетсн ДлЯ в с е х значений хи с п л о ш зь начинаа с некотоРого. Во втором же случае неравенству удовлетворяют лишь о т д е л ь н ы е значения хи, среди которых, однако, именная значения со сколь угодно бал ьшими номерами, Преясде всего, опираясь на эти свойства, докажем„что ч и с л о М* с л у ж и т ч а с т и ч н ы м и р е д е л о м д л я в а р и а н т ы хи .
Для этого нужно вьщелнть частичную последовательность (х„), сходящуюся к М ". Возьмем последовательность положительных чисел в,-О. Положив н,=), допустим, что номера и,=1 и«и, ... и1, уже выбраны, и покажем, как выбрать и1. По 1 свойству для е =щ найдем соответствующий номер ут" У1, такой, что Для вСЕх л )ч'1 будет хи«Мв+вг.Теперь обратимся ко П свойству, полагая по-прежнему в щ, а за Ф взяв наибольший из номеров щ, и АГ1; этому выбору чисел и и лГ я отвечает номер и'=т. Для него, с одной стороны, хлу М* — щ, в) При налячяи обычного предела варяанты все частичные пределы с ннм совпадают [40). 42) 1 4. ПРИНЦИП СХОДИМОСТИ.
ЧАСТИ»ЭНЫВ ПРЕДЕЛЫ 91 с другой же, так как и; Ф»ч одновременно будет и хо» М +е!. Отметим, кроме того, что л» лэ,. Для элементов хм построенной таким путем — индуктивно — последовательности будем иметь )хк» вЂ” М*! е» ((=2, 3, 4, ...), так что, действительно, хщ Ме. Накален, установим, что ни один части ч ныл и редел не может п р ев з о й т и М*. В самом деле, пусть для некоторой частичнойпоследовательности (хт) имеем хк» а, так что а сеть один из частичных пределов. По 1 свойству для достаточно далеких номеров (уне бш»ьших, чем Ж') будет х.» М*-!Пь Переходя здесь к пределу, получим а~М"-(-е и, ввиду произвольности б окончательно, атМ4. Таким образом, М е действительно будет и а и б о л ь ш и м из всех частичных пределов, т.
е. Ме=!ипхи. Аналогично устанавливается существование н а и м е н ь ш е г о предела. Не повторяя всех рассуждений, отметим следующие два обстоятельства. Если этот наименьший предел есть +, то существует предел в обычном смысле 11п» хи=+ Если же наименьший предел есть конечное число М 4, М„-1!шх, то оно обладает свойствами, аналогичными указанным вьипе для М*: 1 свойство числа М,: какоео бы ки былое О, сук(есин»ует такой номер Ж", что дел и Ж" будет хи».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
