Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть теперь варианта х„не ограничена сверху. Тогда, сколь велико ни бьио бы число Б. О, найдется хоть одно значение нашей переменной, которое больше Е; пусть это будет хн. хн Е. Ввиду монотонности варианты х„, для п Ф и подавно хп»-В, а это и означает, что йшх„=+ 135 гл. е теОРИЯ пределОЕ Легко понять, что все заключения остаются в силе и для переменной, которая, лишь начиная с некоторого места, становится монотонной (ибо — без влияния на предел переменной — любое число первых ее значений можно отбросить). Обратимся к примерам применения теоремы.
35. Примеры. 1) Рассмотрим варианту (считая с ы О) Хл лг где л!=1 2 З...л. (Она при с 1 представляет неопределенность вида —.1 Так как хл+г хл ' и+1 то, лишь только л с-1, переменная становится убываюшеи; в то же время снизу она ограничена, например, нулем. Следовательно, вариипа хл — по теорсме— имеет конечный предел, который мы обозначим через а. Для того чтобы найти его, перейдем к пределу в написанном выше равенстве; так как хл+, пробегает ту же последовательность значений, что и хл (с точностью до первого члена) и имеет тот же предел а, то мы получим а=а О, отсюда а =-О н, окончательно, !йп — = О.
2) Считая снова с О, определим теперь варианту хл так: хг=-)1с, хг-6+~с, х,=1с+Ус+)с, и вообще хл = 1 С+ у с+ " ° + ус. л корила Таким образом, хл+, получается нз хл по формуле Ха+ г = )СС-~- хХль. Ясно, что варианта хл монотонно возрастает. В то же время она ограничена сверху, например, числом 1гс+1. Действительно, хг= ")гс меньше этого числа; если ДОПУСтИтЬ ТЕПЕРЬ, Чта КаКОЕ-ЛИбО ЗиаЧСНИЕ Хл « '1'С-Ь1. тО И ДЛЯ СЛЕДУЮЩСГО ЗиаЧЕ- ния получаем „-~ срг г-Г ггЛ ~-гт г.
Таким образом, наше утверждение оправдывается по методу математической По основной теореме, вариаата хл имеет некий к о н е ч н ы й предел а. Для определения его перейдем к пределу в равенстве х)г+г=с+хл1 мы получим, таким образом, что а удовлетворяет квадратному уравнению а'= с+а.
73 35) 1 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА Уравнение это имеет корин разных знаков; но интересуюший нас предел а не может быть отрицательным, следовательно, равен именно п о л о ж и т е л ь н о ьг у корню: 1Га4ссч-1 ф 1 а= 2 3) Взяв любое х„О хл 1, определим варианту «л рекурренгпым соотношением хл; г = лл(2 — хл) Допустив, чго О хл 1 (это условие для в=О выполнено), установим, по О х„х„эг 1. Действительно, так как 2-хл»1, то хль, хл) но ха(2-хл)=1 — (! — хл)', огкуда хл+г 1. Таким образом, индуатнвно доказано, что варианта хл, монотонно возрастая, остается меаьше единицы; следовательно, она имеет конечный предел а»О.
Переходя к пределу в рекуррентном соотношении, иайделг, что а= 1. Итак, 1'ип хл = 1. Предоставляем читателю самому разобраться в том, что произойасг, если взять хв вне промежутка (О, 1). 3 а м о ч а н не. Пусть с — любое положительное число, и положим ха =сул. Нагшсанное выше рскуррентное соотношение заменится таким: ул+ г - ул(2 — сул). 1 Взяв начальное значение ул под условием: О у, †, получим, что у„,монотонно с возрастая, будет стремиться к —.
По этой схеме на счетных машинах и вычисляс ется число, обратное с. 4) Пгсть ланы два положительных числа а н Ь (а 6). Составим их среднее арифметическое и среднее геометрическое: а+Ь а,=- — —, Ь,- )гаЬ. 2 Известно, что первое среднее больше второго л); в то же время оба они содержатся между исходными числами: а а, Ь, Ь. Для чисел а, и 6, снова составим их оба средних: а,+Ь, а, = —, Ье = ')'агбг, 2 причем а, а, Ь, Ь„ и т.
д. Если шола ал и Ьл уже определены, то ал+, и Ьл „, определяются по формулам ал+ Ьл алч!= Ьлчг галЬл 2 и, как и выше, ал алиг Ьльг Ьл л) Это сразу следует из неравенства а+Ь 1 ("Гга — '!/Ь)э — --- 1)аЬ Ь— (а — 21гаЬ+6)= О (лри а»6). 2 2 2 74 ГЛ.
!. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Таким образом составляются две варианты ап и Ь„, из которых первая оказывается убывающей, а вторая — возрастающей (навстречу одна другой). В то же время а ап Ьп Ь, так что обе варианты ограничены н, следовательно, обе стремятся к конечным пределам: а - 1нп ап и Ь'= 1нп Ьп. Вели в равенстве ап+ Ьп апвг = 2 а-гЬ а1 = — -. 2 а,—,'-Ь, а,=- —, 2 2аЬ Ь,= а->Ь 2а,Ь, Ь,= —, а,->Ь, ап+ Ьп 2апЬп апь|= —, Ьп+~ = 2 ап+Ьп а+Ь Из известного уже нам неравенства — 1ГаЬ (при а 'Ь) получаем: 2 ( ) а+Ь)з а+Ь 2аЬ вЂ” ) аЬ и, наконец,— 2 ) 2 а+Ь так что среднее арифметическое больше среднего гармонического; к тому же оба средних содержатся между исходными числами. Применяя это к ап и Ьп, найдем: ап ап-~1 Ьп.ь|~бп Совершенно аналогично тому, как это бьшо сделано в предыдущем примере, убедимся в том, что обе варианты ап и Ьп стремятся к общему пределу с, который можно было бы назвать средним арифметико-гармоничес к им чисел а и Ь.
ь) Число с называется средвим гармоническим двух положи- 1 тельных чисел а и Ь, если о бр а гное ему число — является средним ариф- 1 1 с метнческим для обратных чисел — н —: а Ь 1 1(1 1) 2аЬ вЂ” = — ~ — + — ), откуда с = — . е 2(а Ь) а+Ь перейти к пределу, то получим а-г)) а= — —, ' откуда а=а".
2 Таким образом, обе последовательности — и средних арифметических ап, н средних геометрических Ьп - стремятся к общему пределу д=д(а, Ь); следуя Гауссу (С. г. Оаозз), его называют средним а риф ме тнко-ге о метр и ч е с к и м исходных чисел а и Ь. Выражение числа д (а, Ь) через эти последние покуда нам недоступно — длл не~ о требуется так называсмыд з л л н и т н ч вский интеграл (см. второй том).
5) Отправляясь снова от двух положительных чисел а и Ь (а-.Ь), на этот раз станем последовательно составлять средние арифметические и средине гармонические «). 1 3. МОНОТОННАЯ ВАРИАНТА 75 Однако, здесь предел с имеет простое выражение через а и Ь. Именно, видим, что а,Ь, = аь; так как, аналогично, и аае,Ьа+, —— ааЬ„, то заключаем, что при всех значениях л а„Ь„Ь. Переходя здесь к пределу, получаем с= )'аь, т. е. среднее арифметика-гармоническое двух чисел попросту есть вх среднее геометрическое. 6) Наконец, приведем более сложный пример. с Исходя из некоторого вещественного числа с, положим х,= —, а последую- 1' щие значения варианты ха определим индуктивно формулой с ха ха+1= — + — ° (1) 2 2 Исследуем вопрос о пределе этой варианты при двух различных предположениях относительно с.
Замеппа, что, если бы мы наперед знали, что существует конечнь1й предел а 1пп хл, (2) то найти его не составило бы труда. Стоит лишь перейти к пределу в равенстве (1), определяющем нашу варианту, чтобы получить с а* а= — Ь вЂ” или аз — 2аис=О. 2 2 Из этого квадратного уравнения находим а -1 — 1'1- с.
(+> Отсюда сразу в1щно, что варианта х„заведомо н е м о ж е т иметь конечного предела при с 1. (а) Предполозшм сначала, что О с~1. Тогда ясно, что ха О. Вычитая из (1) почленно аналогичное равенство с х„, хл — + —, 2 2 найдем, что 1,1 ха-ха-1 Ха+1 Хе = 2 с Очевидно, х, х,= —; а из цредыдушего равенства следует, что, лвшь только 2 х„х„„тотчас же и х„+, х„.
Таким образом, по методу математической индукции устанавливается факт монотонного возрастания варианты ха. Аналогично доказывается ограниченность (сверку) нашей вариавтм: ха<1. Это неравенство очевидно для в=1; если же оно соблюдается при каком-нибудь значении л, то будет верно и для л-Р1 — в силу (1). Значит, предел (2) действительно существует, а тогда он выражается формулой (3), и именно со знаком минус прн корне, так как предел этот не может быть больше едишщы, б) Пусть теперь — 3~с О. Очевидно, для всех л: с хл~ —.
2 75 135 ГЛ.1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Покажем, что в этом случае хл О. Это верно при л = 1; если же допустить справедливость этого утверждения дли какого-либо значения л, то ~с! 2 ~с(й ( (с( х,»- — — )с~ )так как — 1), 4 4 с и хе+1 будет имегь знак —, т. е, будет отрицательным, ч. и тр. д. 2 На этот раз варианта ха не б у де т монотонной. Однако, если положить а (1) л=2Е и 2Е-2, а затем и=2Е-Е1 и 2Е-1, и в обоих случаях почленно вычесть, то почучим: й й х,л-хм-й Хай+ 1 - Хйа л- 2 й й Х,ЛЬ, — Лйл-л хйа+,-хы= 2 (4) Отсюда можно инлуктивно заключлтгч что всегда ХМ.1.1 Хйа 1 Н ХМ-йй Хйа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
