Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Прежде всего, с ее помощью устанавливается существован и е корней. Например, для всех очевиден корень х= 4 уравнения 2"=4х, ио труднее заметить существование еще одного корня, А между тем, функция 1 Пх)=2"-4х при х=0 принимает значение 7(0)=1»0, а при х= — — значение ('1=— 2 à — = ] 2-2«0, следовательно (так как она непрерывна), обращается в 0 в 121 1 некоторой точке между 0 и —. 2 Другой пример: рассмотрим, вообще, алгебраическое уравнение нечетной степени (с вещественными коэффициентами) У(х)маьхщеэч-ах'"+...-(-аэ,х~-ан+,=О. При достаточно болылих по абсолютной величине значениях х многочлен имеет знак старшего члена, т. е. при положительном х — знак а„а при отрицательном х — обратный знак. Так как многочлен есп непрерывная функция, то, меняя знак„ он в промежуточной точке необходимо обращается в О.
Отсюда: вояков ахгвбраичесное уравнение нечетной стенвни (с вещвснивнными ноэффичиенншми) имеет но крайней мере один вещественный норень. Теоремой К о ш и можно пользоваться ие только для установления существования корня, но и для приближенного его вычисления. Поясним зто примером.
Пусть У(х)=хь — х — 1. Так как У(1)= — 1, 7"(2)=13, то многочлен имеет 171 в а сВОЙстВА непРВРыВных Функций 821 корень м е ж д у ! и 2. Разделим этот промежуток (1, 21 на 10 равных частей точка- ми 1,1; 1,2; 1,3; ... и станем последовательно вьгчисляты У(1,1) = — О,бз ...; У(12) = — 0,12 ...; У(1,3) = ч-0,55 .. Видим, чго корень содержится между 1,2 и 1,3. Разделив и этот промежуток на 10 частей, найдем: у(1,21) = — 0,06 ...; у"(1,22) = — 0,004 ...; 7'(1,23) =. ч-0,058 Теперь ясно, что корень лежит между 1,22 и 1,23; таким образом, мы уже знаем значение корня с точностью до 0,01 и т. д.
«). В свете эгих замечаний интересно сопоставить изложенные выше два доказазсльства одной и той же теоремы. Второе из них является только «доказательс5вом сушествованняв корня уравнения У(х) =О, ничего не говоря о том, как корень найти. Первое же намечает определенный путь к реальному вычислению корня: путем последовательного деления промежутка пополам (чем мы для просготы ограничились) можно в действительности заключить искомый корень в промежуток произвольно малой длины, т.
с. вычислить этот корень с произвольной степенью точности. 82. Теорема о промежуточном значении. Доказанная в 80 теорема непосредственно обобщается следующим образом: Вторая теорема Вольт(ано — Коши. Пусть фупкцил у (х) определена и непрерывна в некотором промежутке и (замкнутом или пет, конечном или же бесконечном). Если в двух точках х=а и х=Ь (а Ь) этого промеэкутка функуил принимает неравные зпачепил у(а):=А и у(Ь) =-В, то, каково бы пи было число С, лежащее м е ж д у А и В, пайдстсл такал та гка х=с между а и Ь, что Лс) =С *") Д о к азатель ст в о.
Будем считать, например, А В, так что А С.В. Рассмотрим в промежутке [а, Ь) вспомогательную Функцию с5(х) = =Лх) — С. Эта Функция непрерывна в промежутке [а, Ь) и иа концах его имеет разные знаки: 75(а) =у(а) — С=А — С О, 75(Ь) =-ЛЬ) — С =  — С О. Тогда, по первой теореме Больцано — Коши, между а и Ь найдется точка х = с, для которой о5(с) = О, т.
е. Лс) — С = О или у'(с) = С, ч, итр.л. *) Впрочем, практически этот путь невыгоден. В главе 1г' (а 5) будут указаны гораздо более эффективные приемы. **) Очевидно, что первая теорема Боль нано — Коши сеть частный случай этой: если А и  — разных знаков, то в качестве С можно взить и О. 172 ГЛ. Н.
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРНМНННОН Мы установили, таким образом, важное свойство функции ф(х), непрерывной в промежутке: переходя от одного своего значения к другому, функция хоть раз принимает, в качестве значения, каждое промежуточное число. Иными словами это свойство можно выразить и так: значения, принимаемые непрерывзюй фулкцией ф(х), когда х изменяется в коком- либо промежутке Х, сами также заполняют с п л о иг ь некоторый промежутогг "2) .
Действительно, пусть т — -Шт(у(Х)), М=-Знр(ф(Х)) в) иу,есть произвольное число между т и М: Уо Необходимо найдутся значения функции уз=ф(х1) и ув=-з(хо) (х, и х, взяты из промежутка ь), такие, что т .у1 уо ув М это вытекает из самого определения т о ч н ы х границ числового множества. Но тогда, по доказанной теореме, существует между х, и х, такое значение х=х (очевидно, также принадлежащее ь), что /(хо) в точности равноуо; следовательно, это число входит в множество "т) . Таким образом, ф представляет собой и р о меж уток с концами т и М (которые сами могут ему принадлежать или нет — смотря по случаю; ср. 84).
Мы видели в 71, 2', что в случае монотонной функции упомянутое свойство, обратно, влечет за собой непрерывность. Однако не следует думать, что так будет всегда; легко построить заведомо разрывные функции, которые все же этим свойством обладают.
Например, значения функции [70, 4)): у(х)=вш- (хм0), ф(0)=0„ когда х изменяется в каком-либо промежутке, содержащем т о ч к у разрыва х=0, заполняют сплошь промежуток ( — 1, — 1). 83. Существование обратной функзщн. Применим изученные в предыдущем и' свойства непрерывной функции к установлению, при некоторых предположениях, существования о дн О з н ачн о й обратной функции и ее непрерывности (ср. 49]. Теорема. Пусть функция у =у(х) определена, монотонно возрастает (убывает) в*) и непрерывна в некотором про,иежутке Х. в) Напоминаем читателю, что если множество (Пх)) нс ограничено сверху (снизу), то мы условились в 11 полагать М= Ф (т — ).
вв) В с т р о г о м смыглс слова (зто здесь сузпсствонно). вз) Е 5. СВОЙСТВА НЬПРВРЫВНЫХ ФГНКЦИЗ) Тогда в соответствующел«промелсутке '3 значений этой функции су«цес/пвуеп/ о д н о э и а ч на я обратная функция х=я(у), также .монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная. Д о к а з а т ел ь с та о. Ограничимсяслучаемвозрастающей функции. Мы видели выше, что значения непрерывной функции у(х) заполняют сплошь некоторый промежуток ")), так что для к а ж д о г о значения у, из этого промежутка найлется хоть одно такое значение х, (из ь), что /" (хе) '= ус Но ввиду монотонности этой функции такое значение может найтись только одно: если х,»илимхе, то, соответственно, и )(х,)- или .
Дхе). Сопоставляя именно это значение х, произвольно взятому у„нз )), мы получим однозначную функцию =б(у) обратную для функции у =Дх). Легко видеть, что эта функция д(у), подобно Дх), также монотонно возрастает. Пусть у' -у" и х'=я(у'), х" =б(у"); тогда, по самому определению функции я(у), одновременно у' = Т(х') и у" =Т(х"). Если бы бьшо х' х", то, в силу возрастания функции /с(х), было бы и у' у", что противоречит условию. Не может быть и л' =х", ибо тогда было бы н у'=у", что также противоречит услоВию, Итак, возможно только неравенство х'- мх", так что б(у), дейс гвительно„возрастает.
Наконец, чтобы доказать непрерывность функции х=(у), достаточно сослаться на теорему в 71, 2', условия которой Выполнены: названная функция монотонна,и ее л" л ",гю/). Рнс. 32. значения, очевидно, за полняют сплошь промезкуток л в). Все утверждения теоремы геометрически очевидны, их легко «про'пггатьз по рис.
32. ") какое бы х нз л нн взять стоит лишь положить у = ггх), чтобы для з т О г о у функлия Е(у) имела своим значением именно взятое х. Гл. !!. Функции однои пиввминной 174 С помощью доказанной теоремы можно наново установить ряд уже известных нам результатов. Если применить ее к функции х" (и — натуральное число) в промежутке Х= [О, ч- ), то придем к существованию и непрерывности ы (арифметического) корня х = у'у для у в ')) = (О, -!. ).
Исходя из функции у=а" в промежутке ь =(-, '- ), докажем существование и непрерывность логарифма х=!о8, у в промежутке е)) =(О, .!. ). Наконец, рассматривая функции у=я!их и у=18х, первую — в промежутке бг= [--, -1, а вторую — в открытом промежутке с"з= =[--, — 1 убедимся в существовании и непрерывности обратных 2' 2~' им функций х=агсыпу н х=агс(йу, соответственно, в промежутках ф,=( — 1, +Ц и 5з=(-, -' ). (При этом предпопагается, что предварительно уже доказана непрерывность функций х", а", я(их, 18х — без ссылки на с у щ е ств о в а н и е обратных им функций (иначе получился бы порочный круг).
Такие доказательства н были даны в 68; соображения жс п 72, очевидно, здесь непригодны.) Рассмотрим еще такой пример. ПустьдляхвХ (-, 4 ) т=х-е.э!ох, Где О я 1. Легко показать, что эта функция будет монотонно возрастающей (в узком смысле). Именно, если х" х' и у', у" — соответствующие значения у, то у" — у' =- (х" — л ) — г (з!о х" — Ио х'). Но [см. (2), 68) (з!п х" — з!и х' ! ~х" — х', откуда и следует, что у" — у' О, т. е.
у" у'. Применив к этому случаю теорему, убеждаемся в том, что и х является о д н оз н ач ной функцией от у, и т. д. Приведенный пример представляет интерес тем, что соприкасается с одной задачей теоретической астрономии. Уравнение Е.= М.!-е ° з!и Е (За) есть знаменитое ураеыеяые Келлеры, которое связывает среднюю яном а л и ю М планеты с ее эксцентрической аномалией Е (е есть эксцентриситет планетной орбиты).
Мы доказали, таким образом, что, каково бы ни было значение средней аномалии, уравнение К е п л е р а, действительно, однозначно определяет значение эксдевтрической аномалии. 84. Теорема об огранйченности функции. Если функция Дх) определена (следовательно, принимает конечные значения) для всех значений х в некотором конечном промежутке, то зто не влечет за собой с необходимостью ограниченности функции, 1 н свойстнл непРеРыВных Функции 175 851 т. е. ограниченности множества (Дх)) принимаемых ею значений.
Например, пусть функция Дх) определена так: г'(х)=-, если О х 1, и ДО)=О. 1 Функция эта принимает только конечные значения, но она не ограничена, ибо при приближении х к О может принимать сколь угодно болыпие значения. Заметим попутно, что в полуоткрытом промежутке (О, 1) она непрерывна, но в точке х=О имеет разрыв. Иначе обстоит дело с функциями, непрерывными в замкнутомо м промежутке. Первая теорема лэейерплгпрасса. Если функция ф(х) определена и непрерывна в замкнут ам промежутке (о, Ь), то она ограничена, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
