Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 36
Текст из файла (страница 36)
87. Теорема Кантора. Если функция у(х) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь), то она и равномерно непрерывна в этом промежутке. Доказательство поведем от противного. Пусть для некоторого о п р е д е л е н н о г о числа е» 0 не существует такого числа 180 ГЛ. П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПВРВМВННОЙ Ь О, о котором идет речь в определении равномерной непрерывности. В таком случае, какое бы число Ь. 0 нн взять, найдутся в промежутке [а, Ь) такие два значения хв и х', что ~х' — хД Ь, и тем не менее [>(х') — 1(хв)~~е. Возьмем теперь последовательность [Ь„) положительных чисел так, что Ь„О. В силу сказанного, для каждого Ь„ найдутся в [а, Ь> значения х<'> и х<'> (они играют роль хв и х'), такие, что (при в=1, 2, 3, ...) (х<'> — х<вв! 6„, и тем не менее )у'(х<'>) — Лх<">)! -е.
По.лемме Боль цап о — В ей ерштр ас са [4л> из ограниченной последовательности [х<">) можно извлечь частичную последовательность, сходящуюся к некоторой точке х промежутка [а, Ь). Для того чтобы не осложнять обозначений, будем считать, что уже сама последовательность [х<">) сходитсЯ к хв. Так как х<'>-х8".> 0 (ибо >х<"> — хд">!. Ь„,ад„О),тоодновременно и последовательность [х8".>) сходится к хь. Тогда, ввиду непрерывности функции в точке х, должно быть Лх<">) -Лхь) и у'(х<ь">) -у"(хв), у(х<">) — Т(хф) -О, так что а это противоречит тому, что при всех значениях и [у'(х<'>) — Т(х<в'>) ! -е. 88.
Лемма Бореля. Мы докажем сейчас одно интересное вспомогательное утверждение, которое — подобно лемме Б о л ь ц а н о— Теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает такое следствие, которое ниже будет нам полезно: Следствие. Пусть фу>ап<ияу"(х) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь). Тогда по заданному е 0 найдется такое Ь»О, что если промежуток произвольно разбить на частичные промежутки с длш1ами, меньшими 6, то в каждом из них колебание функ<>ни Т(х) будет меньше е.
Действительно, если, по заданному е, в качестве Ь взять число, о котором говорится в определении равномерной непрерывности, то в частичном промежутке с длиной, меньшей д, разность между любыми двумя значениями функции будет по абсолютной величине меньшее. В частности, это справедливо и относительно н а и б о л ь ш е г о и наименьшего из этих значений, разность которых и дает колебание функции в упомянутом частичном промежутке [85).
5 а свонсГВА непРеРывных Фкцкцип 881 181 — В е й е р ш т р а с с а — может бь5ть полезно при проведении многих тонких рассуждений; оно принадлежит Б о релю [Е. Воге1). Рассмотрим, наряду с промежутком [а, Ь], еще некоторую систему открытых промежутков о,которая может быть как конечной, так и бесконечной. Условимся говорить, что система л, по к рыв а е т промежуток [а Ь] (или что этот промежуток покрывается системой л', и т. и.), если для каждой точки х промежутка [а, Ь] найдется в ~' промежуток о, содержащий ее. Этот способ речи облегчит нам формулировку и доказательство упомянутого утверждения.
Лемма Бореля. Если з ам кнут ы й промежуток [а, Ь] покрываетск йескоиеч пой системой г,=-[о] открытых промежутков, то из пее всегда л~ожпо выделить конечную подсистел51 ~;*=[о„оя,..., а„], копгорая также покрывает весь промежуток [а, Ь]. 1-е до к аз атель ство поведем от противного, применив метод Боль ца но [41]. Допустим же, что промежуток [а, Ь] не может быть покрыт конечным числом промежутков о из л,. Разделим промежуток [а, Ь] пополам.
Тогда хоть одна из половин его тоже не может быть покрыла конечным числом а; действительно, если бы одна из них могла быть покрыта промежутками о„о,,о (из л,), а другая — промежутками о„+ы о' „з,..., о„[из ~), то из всех этих промежутков составилась бы конечная система ~*, покрывающая уже весь промежуток [а, Ь], вопреки допущению. Обозначим через (а„Ь,] ту половину промежутка, которая не покрывается конечным числом о (если же обе таковы, то — любую нз них).
Этот промежуток снова разделим пополам и обозначим через [а, ЬР] ту из его половин, которую нельзя покрьпь конечным числом о, и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим бесконечную последовательность вложенных промежутков [а„, Ь,] [п=-1, 2, 3,...), каждый из которых составляет половину предшествующего. П р омежутки эти все выбираются так, что ни один из ннх не покрывается конечным числом промежут к оо в о.
По лемме о вложенных промежутках [58], существует общая им всем точка с, к которой стремятся концы а„, Ь„. Эта точка с, как и всякая точка промежутка [а, Ь], лежит в одном из промежутков а, скажем в о =(а, р), так что а с. Р. Но варианты а„и Ь„, стремящиеся к с, начиная с некоторого номера будут сами содержаться между а и Р [26, 1'], так что определяемый ими промежуток [а„, Ь„] окажется покрытым всего лишь одним промежутком ор, вопреки самому выбору этих промежутков [а„,Ь„].
Полученное противоречие и доказывает лелину. Приведем еще одно доказательство, построенное на новой идее; она принадлежит Ле бег у [Н. 1.еЬезйце). П-е доказательство. Рассмотрим точки х* промежутка [а, Ь], обладающие тем свойством, что промежуток [а, хь] покрывается Е К СВОЙСТВА НВПРВРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 185 89] жения теоремы — все же ни в одной точке функция Дх) не обращается в нуль.
Тогда, по лемме и" 80, к а ж д у ю точку х' промежутка [а, Ь) можно окружить такой окрестностью и' =(х' — Ь', х'; Ь'), что в ее пределах*) Ях) сохраняет определенный знак. Бесконечная система ~=[а) этих окрестностей покрывает, таким образом, весь данный промежуток [а, Ь1 Тогда, по лемме Б о р е л я, для этого оказывается достаточно уже к о н е ч н о г о числа упомянутых окрестностей, образующих систему ~е. Левый конец а нашего промежутка принадлежит одной из окрестностей этой системы ~е, скажем, окрестности и,=(х, — Ь„ х,-Ь,). 1 и Рис. 35. Ее правый конец х,+Ь„в свою очередь, принадлежит окрестности п,=(хг-бг, ха РЬ,) из ~е, точка хгч Ьг содеРжитсЯ в окРестности па=(хг-ЬВ, ха+Ь,) из ~е, и т. д.
(рис. 35). После конечного числа шагов, передвигаясь направо, мы придем к окрестности а„=(х„— Ь„, х„+ Ь„) из ~е, заключающей в себе уже правый конец Ь данного промежутка. Если бы ~е содержала еще какие-либо другие промежутки, кроме (6) ог '"а ол ~ Дх) — Дх') ( е Дх') — е . Дх) «Дх') -' е. или е) То есть в общей части этой окрестности и промежутка (а, Ь), в котором х только и может изменяться. то их, очевидно, можно было бы просто опустить.
В окрестности о, функция у'(х) сохраняет определенный знак, именно, знак у (а). На и в аг функция имеет определенный знак, который должен тоже совпадать со знаком Да), и о с к о л ь к у и, и аг в з а и ми о налегают. Так же убеждаемся в том, что тот же знак функция сохраняет и в следующей по порядку окрестности иа, налегающе й на о„н т. д. В конце концов, придем к заключению, что и в последней окрестности и„функция имеет знак у(а), так что и 1"(Ь) совладает по знаку с Да), а это уж противоречит предположению. Теорема доказана. 2' 1-я теорема Вейерштрасса [84), Ввиду непрерывности функции у (х), какую бы точку х промежутка [а, Ь1 ни взять, задавшись числом В.-О, можно окружить эту точку столь малой окрестностью а'=(х' — Ь', х' '- Ь'), чтобы для всех принадлежащих ей значений х выполнялись неравенства Гл.
и. Функции Одной пвввмвннои 184 Таким образом, в пределах каждой такой окрестности функция т'(х) заведомо ограничена: снизу — числом у(х')-е, а сверху — числом у (х')+е. Читателю ясно, что и здесь к бесконечной системе .~ окрестностей, обладающих указанным свойством, надлежит применить лемму В о р е л я. Из нее следует, что найдется в ~ конечное число окрестностей (б), также в совокупности покрывающих весь промежуток [а, Ь].
Если т,~Дх);М, в а„ тз~Лх) ам~ в ая, т„ФДх)~М„Н а„, то, взяв в качестве т наименьшее из чисел ий, т,,, ..., т„, а в качестве М вЂ” наибольшее из чисел М„М,,..., М„, очевидно, будем иметь т-у(х)-М во всем промежутке [а, Ь], ч. и тр. д. 3'. Теорема Хаюиора (87]. Зададимся произвольным числоме.
О. На зтот раз каждую точку х' промежутка [а, Ь] окружим такой окрестностью а'=(х' — Ь', х'+д'), чтобы в ее пределах выполнялось неравенство [Л )-Л.)[-'-,. Если х, также есть точка атой окрестности, то одновременно и [у( ) Х( в)! г Таким образом, для любых точек х и х„из а' будем иметь ! Лх) Лхе) ! Стянем каждую окрестность а' вдвое, сохраняя ее центр, т. е. вместо а' рассмотрим окрестность а'=~х'- —, х'~ — !. г Из этих окрестностей также составится система,~;, покрывающая промежуток [а, Ь], и именно к ней мы применим лемму Бор ел я. Промежуток (а, Ь] покроется к о н е ч н ы м числом промежутков из ~: — д; др Пусть теперь Ь будет наименьшим из всех чисел —, и х„, х — любые В; две точки нашего промежутка, удовлетворяющие условию: [х-х.[~Ь. (7) ГЛАВА ТРЕТЬЯ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 5 1. Производная и ее вычисление 9й.
Задача о вычислении скорости движущейся точки. Начнем с частного примера, именно, рассмотрим свободное падение (в пустоте — чтобы не учитывать сопротивления воздуха) тяи желой материальной точки. Если время Г (сек.) отсчитывается от начала падения, то пройденный за это время путь в (м), по известной формуле, выразится так: М /м 1 где 8=9,81 ~ ~. Исходя из этого, требуется опреде1ееке ~ лить скорость с движения точки в данный момент б когда точка находится в положении М (рис. 36). Придадим переменной г некоторое приращение Лг и рассмотрим момент г+Лб когда точка будет в полоРис Зб женин М,.
Приращение ММ, пути за промежуток времени Лг обозначим через Лв. Подставляя в (1) г ь Лг вместо Г, получим для нового значения пути выражение в ~ Лв=-(е, 11)'-', 2 Лв=~~(2~ ° Ле РЛге). откуда Разделив Лв на Лб мы получим среднюю скорость падения точки на участке ММ,: де с = — =«г ь- ЛЕ Ш 2 Как видим, эта скорость меняется вместе с изменением Лг, тем лучше характеризуя состояние падающей точки в момент Г, чем мень- ше промежуток Лб протекший после этого момента, 188 191 гл. ш. пеоизводныв и диеевгнщиллы секущую ММ,. Когда точка М, будет перемещаться вдоль по кривой, эта секущая будет вращаться вокруг точки М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
