Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

е. существуют такие постоянные и конечные висла т и М, что т==Дх) ЛХ при а=х=-.Ь. Доказательство поведем от противного: допустим, что функция Дх) прп изменении х в промежутке (а, Ь) оказывается и еограниченной. В таком случае для каждого натурального числа и найдется в промежутке (а, Ь) такое значение х=-х„, что ~у(х,) 1 =-.-и. (4) По лемме Боль цап о-Вейерш грасса [41), из последовательности (х,) можно извлечь частичную последовательность (х,„), схоляшуюся к конечному пределу: х„„х (при й -'; ), причем, очевидно, них„~Ь.

Вследствие непрерывности функции в точке х„тогда должно быть и л (хм) з (хо) а это невозможно, так как из (4) следуег, что )дх„5)!-- Полученное противоречие и доказывает теорему. 85. Наибольшее и наименьшее значения функции. Мы знаем, что бесконечное числовое множество, даже ограниченное, может не иметь в своем составе наибольшего (наименьшего) элемента.

Если функция у'(х) определена и даже ограничена в некотором промежутке изменения х, то в составе множества ее значений (7(х)) может не оказаться наибольшего (наименьшего). В этом случае точная верхняя (нижняч) граница значений функции Дх) гл. и. аинкцин одной пн вманнои 17б (85 не достигается в названном промежутке. Так будет обстоять дело, например, с функцией з'(х) = х — Е(х) (график ее представлен на рнс. 33). При изменении х в любом про- межутке [О,Ь) (Ь~1), точной верхе' ней границей значений функции будет 1, но она не достигается, так что наибольшего значения функция не имеет. Читателю, вероятно, ясна связь Юр 1 й з е х этого обстоятельства с наличием Рис. ЗЗ. у рассматриваемой функции р а зр ы в о в при натуральных значениях х.

Действительно, для н е п р ерыв н ых в замкнутом промежутке функцийимеет место: Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция у'(х) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь), то онадостигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ, Иными словами, в промежутке [а, Ь) найдутся такие точки х= х, и х=х,, что значения 1'(хс) и г'(хз) будут, соответственно, наиболыиим и наименыиим из всех значений функции у"(х), 1-е доказательство. Положим М=-апр [у(х)); по предыдущей теореме, это число — конечное.

Предположим (вопреки тому, что нужно доказать), что всегда у(х). М, т. е. что граница М не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную функцию 1 ц(х) = —— М вЂ” Пх) Так как, по предположению, знаменатель здесь в нуль не обращается, то эта функция будет непрерывна, а следовательно (по предыдущей теореме) ограничена: ц(х)ый (р 0). Но отсюда легко получить, что тогда у"(х) ~М вЂ” —, 1 1 т. е.

число М--, меньшее, чем М, оказывается верхней грани- н' цей для множества значений функции 1'(х), чего быть не может, ибо М е с т ь т о ч н а я верхняя граница этого множества. Полученное противоречие доказывает теорему: в промежутке [а, Ь) найдется такое значение х„что у"(х,)=М будет наибольшим из всех значений з'(х).

з к свонствн непРеРИВных Функций 177 Аналогично может быть доказано утверждение и относительно наименьшего значения. 11-е доказательство. Можно и здесь исходить из леммы Боль ца но-В ей ерш трасса [41]. Ограничимся утверждением о наибольшем значении. Если, как и только что, М=зпр (Дх)), то по свойству то ч ной верхней границы (11], для любого л найдется такое х=-хн в (а, Ь], что у'(х„)»М — —, 1 (Э Тогда из последовательности (х„) может быть извлечена частичная последовательность (хтн), сходящаяся к некоторому значению х„ из 1а, 6]: х„ х„ так что, ввиду непрерывности функции, и г'(х,н) )'(ха). В то же время из (5) имеем Дх ) -М- — и, в пределе, Дх)=М, 1 В» о- Ноях„) не может быть больше верхней границы М множества значений функции и, следовательно, Г(ха) =М, что и требовалось доказать.

Отметим, что оба приведенные доказательства суть чистые «доказательства существования». Средств для вычисления, например, значения х =ха никаких не дано. Впоследствии (в главе 1 у', з' 1], правда, при более тяжелых предположениях относительно функции, мы научимся фактически находить значения независимой переменной, доставляющие функции наиболыпее или наименьшее значения. Если функция г'(х), при изменении х в каком-либо промежутке л, ограничена„то ее колебанием в этом промежутке называется разность Иначе можно определить колебание ш как точную верхнюю границу множества всевозможных разностей г'(х") — г'(х'), где х' и х" принимают независимо одно от другого произвольные значения в промежутке Ж: ш= зпр (1'(х") — Лх')).

х,х" нх Д Когда речь идет о непрерывной функции Дх) в замкнуг о м конечном промежутке ь =- ]а, Ь], то, как следует из дока- ганной теоремы, колебанием будет попросту разность между 2 Г. М. Фнхтентахен, т, 1 гл. п, окнкции одной пвеямвнной !7В наибольшим и наименьшим значениями функции в этом промежутке. В этом случае промежуток вд значений функции есть з а м к н ут ы й промежуток 1т, М1, и колебание дает его длину.

86. Понятие равномерной непрерывности, Если функция Дх) определена в некотором промежутке К (замкнутом или нет, конечном или бесконечном) и непрерьгвна в точке х этого промежутка, то 1пп Ях) = г"(х,) »» нли 1«на языке е-д», 66): для каждого числа е =-О найдется такое число д О,что )х — хв~ «д влечет за собой (Дх) — Дх«)~ -е. Предположим теперь, что функция Дх) непрерывна во всем промежутке ь', т. е.

непрерывна в каждой точке хв этого промежутка. Тогда для каждой точки хв нз ь в отдельности по заданному е найдется д, соответствующее ему в упомянутом выше смысле. Прн изменении х в пределах К, ! даже еслие неизменно, число д, вообще говоря, будет мев няться. Одного взгляда на рнс. 34 достаточно, чтобы убедиться в том, что число д, пригодное на участке, где функция изменяется медленно (график представляет и ол х-б х» х.б л о г у ю кривую), может х» -»-б» х»б» д оказаться сл „ом боль Ряс. 34, шим для участка быстрого изменения функции (где график круто поднимается нли опускается).

Иными словами, число д вообще зависит не только от е, но и от хв. Если бы речь шла о к о н е ч н о м числе значений хв (прн неизменном е), то из конечного числа соответствующих им чисел д можно было бы выбрать наименьшее, и это последнее годилось бы, очевидно, и для всех рассматриваемых точек х одновременно. Но по отношению к б е с к о н е ч н о м у множеству значений х„ содержащихся в промежутке ь, так уже рассуждать нельзя: нм (прн постоянном е) соответствует бесконечное множество чисел д, среди которых могут найтись и сколь угодно малые.

Таким образом, по отношению к функции Ях), непрерывной в промежутке К, встает во- ! а сВОйстВА ненРеРыВных ФункциЙ прос: существует ли, при заданном г, такое д, которое годилось бы для всех точек хв из этого промежутка? Если для каждого числа в 0 найдется такое число д. О, что )х-хв! 6 влечет за собой (Дх) — Дх,)( -г, где бы в пределах рассматриваемого промежутка л', ни лежали точки хв и х, то функцию у(х) называют равном ер но непрерывной в промежутке о. В этом случае число д оказывается зависящим только от г и может быть указано до выбора точки хв: д годится для всех х, одновременно. Равномерная непрерывность означает, что во всех частях промежутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента„ чтобы добиться заданной степени близости соответствующих значений функции.

Можно показать на примере, что непрерывность функции во всех точках промежутка не влечет необходимо за собой ее р а в н о м е рн о й непрерывности в этом промежутке. Пусть, например, !(х) = ! 2 =в)п — для х, содержащихся между 0 и —, исключая О. В этом случае х л' 2 область изменения х есть незамкнутый промежуток [О,-~, и в каждой его точке функция непрерывна. Положим теперь хв= 2 ! =- —, х= — (где и — любое натуральное число); тогда !2пч1)п ' пп Дхв)=з!Н(2п+1) — = +1, у(х)=-яппл:=О, так что ! 7'(х) -7'(хв)/ =.1, 1 несмотря на то, что !х-хе[=-- с возрастанием и может быть сделано сколь угодно малым.

Здесь при е = 1 нельзя найти 6, которое 2! годилось бы одновРеменно длЯ всех точек хв в ~0, — 1, хотЯ длЯ каж- ДОГО ОТДЕЛЬНОГО ЗНаЧЕНИЯ Хы ВВИДУ НЕПРЕРЫВНОСтн ФУНКЦИИ, таКОЕ Ь существует! Весьма замечательно, что в замкнутом промежутке [а, Ь) аналогичного положения вещей быть уже не может, как явствует нз следующей теоремы, принадлежащей К а н т о р у (Сз. Сап!ог).

Характеристики

Список файлов книги