Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 33
Текст из файла (страница 33)
->- 1и аэ 1'пи 1и )>а)...ап=-1пп =!и а. л В таком случае — по непрерывности по к аз л тел ь но й функции п С помощью пределов 1) и 2), 54, этот результат распространяегся и на случай а=О и а= -," Таким образом, мы получаем следующее преобразование упомянутого предложения: Если полозжптельнач еараапта а» пмееп! предел (калечный плп пет), п)о пт>н жсе предел имееа> и лорполто л Ьп =- 1>'а> ае... ап, 4) Применив это предложение к последовательности а, аз ап оп+> а ал-> ап придем к интересному следствию; и а„е, 1пп 'г аи =1'пи— ап е предположении лишь, что существует в т о р о й из этих пределов.
гл. и. аенкции одной пв именной 177 Найдем дли примера продел )/л! !йп —. ал (и+1)л+' ил / 1 !л л) 1 Значит, и искомый предел есть — . которые понадобятся Имеем 1 (1 ! )». — = оя, так как выражение, стоящее справа под знаком логарифма, при и 0 стремится к е (54, (13)), то (по непрерывности л о г а р и ф м и ч ос к о й функции) его логарифм стремится к 1ояа е, ч.
и тр. д. Отметим частный случай доказанной формулы, когда речь идет о н а т у р а л ь н о м логарифме (а = е): Г !п (1+и) 1пп . .-о В простоте этого результата и коренятся, по существу, тс преимущества, которые представляет натуральная система логарифмов. Обращаясь к формуле (б), положим а"-1=)3; тогда при и 0 (по непрерывности показательной функции) и/) О. Имеем, далее, и=!ояа(1 ьр), так что, если воспользоваться уже доказанным результатом: ໠— 1, р 1 1пп — =-1пп — = =!па, ч. и тр. д. „о и р о !ока(1+Р) !оя»е 1 Если, в частности, взять и=- (л=1,2,3, ...), то получится интел росная формула: /л !пил'т'у'а — !)=1па ( О).
» -~- и! Полагая а» = —, будем иметь ил ' а„ч., (и+1)! и! 5) Установим ряд важных пределов, нам в следующей главе: (а) 1нп = 1оя„е !ояа(1+и) -о (б) !пп — =!п и «-о (1+а)~ -1 (в) !пп — — - ---=и «-о © © 6) 1 Ф НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ! ФУНКЦИЙ 1б5 Наконец, для доказательства формулы (в), положим(1 ~ х)4-1=,В; при и О (по непрерывности степен нон функции) будет и р О. )!огарнфмируя равенство (14 гг)Р=1-5, получим, что р.1п(1 ! К)=1п(1-';!3).
С помощью этого соотношения преобразуем данпос нам выражение так: (1ФФ)'-1 1) Р !и(14>а) х х 1и (1-!-Р) а 11о доказагшому, оба отношения б !и (! ! «) и 1и (! —,Л й стремятся к 1, так что все произведение имеет пределом )г„ч. н тр. д. Предел, рассмотренный в 5б, 3), получается отсюда, как частный случай, при)г=-г, 78. Степенно-показательные выражения. рассмотрим теперь с з епснно-пг>казательнос выражение и':, где и н е являются функциями от одной н той же переменной х, с областью изменения -'ь, имеющей точку сгущен!!я х; в частности, зто могут быть две варианты и, и г:„.
Пусп существуют конечные пределы: йгп и г и и 1пп и =- Ь, х х причем а О. Трсбуется найти предел выражи!!Ня и'. Представим его в виде Их Ех. ~х х Функции е и 1и н имеют пределы 1пп Р = Ь„! Нп 1п и = !п и х х, х х (здесь использована непрерывность логарифм и чешско й функции), так что !пп г 1п и = Ь 1п гь х х, Отсюда — по непрерывности и о к аз атель н о й функции — окопчательно: й,л „х Ег'ха аг х хх Предел выражения их можно установить и в других случаях, к о гда известен предел с произведения и!Пи — конечный илн бесконечный. При конечном с искомый предел будет, очевидно, е'! если же с=- — илн, то этот предел, соответственно, будет О или 4- [54, 1)).
гл. и. ез нкции одной пш вмннной 166 179 Ь=х Ь=О; Ь=О. а=1, а=О, В этих случаях говорят, что выражение и' представляет неопределенность вида 1", О", '*) (смотря по случаю). Для решения вопроса о пределе выражения пе здесь мало знать лишь пределы функций и и и, а нужно непосредственно учесть закон, Gо которому они стремятся к своим пределам. 1 1!и Варианта ]1-,"--), при л-, или более общее выражение (!-ьп)", прн а -О, имеющие прелелом е, дают пример неопределенности вида 1 .
Выше, в 77, 4), я 1 ! Гл! /н!)я мы рассматривали варианту ~/ — = ~ — ), представляющую неопределенность л" и л вида О'. Наконец, в 32, 1О), выражение 1!л тоже было неопределенным — вида Приведем еще несколько примеров на раскрытие неопределенностей новых видов. 1 79. Примеры.
1) Найти !!ш Оп х)" ( '). Обозначая данное выражение через у, имеем [см. 54, 2) и 5)] 1и (1п х) !п Оп х) 1пх Ш = — = — ° — -О к !пк х так что у-е'= 1. 2) Найти 1ппхнсх х С Здесь [54, 7) и 5)] (О'). з1п х 1и у = з!п х !п х - — х 1п х - О, х следовательно, опять у 1. 3) Пример 1), 76, легко теперь следующим образом об о 6ш итти если варианта х„х (где х — конечное число), то е) Относительно самих этих символов можно было бы повторить сказанное в сноске на стр. 62. Самое же определение предела с = 1нп (п 1п и] — лишь по заданным пределам а и Ь вЂ” возможно всегда, кроме случаев, когда это произведение (при х х,) представляет неопределенность вида О. Легко сообразить, что исключительные случаи отвечают таким комбинациям значений а и Ь: 1 4.
нецРВРыВность (н РА3РыВы) ФункциИ 79! 167 Для доказательства достаточно представить предложенное выражение в вице ~н'Г основание степени стремится здесь к е, показатель же — к х. 4) К этому можно привести и пример: х х)и 1пп !соз — +4 ып — ~ =е)х (1 ). и-4- ( и )с~ Хп Полагая выражение в скобках равным 1+ — „имеем л х х 5!и — 1 — соз— Х х! л х с = и ) соз — ! )- Я 5п) — 1 = Ях — — — х и и х и т.
д. 5) Аналогично исчерпывается пример (а, Ь 0) 'пи~и б ~-- — - ! -))аЬ (!"). ~~а+ '~Ь 2 Здесь пи и хи и ~ — 1~ = — (и()Га — 1)+и())Ь-! )), ~ ))а+ ))ь 1! 2 2 2 так что, на основа~ил одного частного следствия из формулы 5) (б), 77, 1 / хи- — (!и а+!и Ь)=1п ) аЬ, 2 и искомый предел, действительно, оказывается равным е)п ))сс! = '!) а(х 6) Наконец, рассмотрим предел 1 1 2 пп' — 2 сох* — 3 х х х) 2 2 1пп (соя х)пп " !!гп Ц1 — 25!пх — ~ ~ е хо хе 2 ))е (!"). Ч)ггатель видит, что в случае неопределенности вида 1 удобно приводить дело непосредственно к е. Как уже указывалось, о б гд и е метода раскрьпни неопределенностей всех видов будут даны в главе 1Ч ($4). ГЛ.
П. ФУНКЦИИ ОДНОИ ПЕРЕМЕННОЙ 168 1во э. Своиства неирерывнык функций 80. Теорема об обращении функции в нуль. Займемся теперь изучением основных свойств функции, непрерывной в некотором промежутке. Интересные и сами по себе„эти свойства в дальнейшем изложении часто будут служить основой для различных умозаключений. Начнем со следующей простой теоремьз, принадлежащей Б о л ьцан о (В. Во!еапо) и К О ш и (А. Ь. Санс)!у), Пероал теорема Больцано — Коши. Пусть рункииз! Ях) определена и непрерьмна в занкнутом промежутке [а, Ь) и на концах этого промежутка принимает значенил р а з и ы х з н а к о в. Тогда между а и Ь необходимо найдется точка с, в которой функцнл обращается в нуль: «(с)=О (а с -Ь). Теорема имеет очень простой геометрический смысл: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси х на другую, то она пересекает эту ось(рнс.
31). Рис. 31. 1- е д о к а з а тель с т в О мы проведем по методу Боль ц а н о [41) — последовательным делением промежутка. Для определенности положим, что«(а) .О, а«(Ь) О. Разделим промежуток [а, Ь) пополам а+Ь точкой — --. Может случиться, что функция «(х) обратится в нуль аФЬ 2 в этой точке, тогда теорема доказана: можно положить с= —. аФЬ 2 Пусть же «" ~ ' ~ и О; тогда на концах одного нз промежутков а+Ьз га+ь а, 2 ), ~ 2, Ь~ функция будет принимать значения разных знаков (и притом отрицательное значение на левом конце н по- 88! г а сволотах нвпеетывных екнкции 169 ложительное — иа правом). Обозначив этот промежуток через 1а,, Ь,], имеем Да,) О, ДЬ,) =О. Разделим пополам промежуток (аи Ь1] н снова отбросим тот слуа,ч-Ь, чай, когда 1'(х) обращается в нуль в середине — — этого проме- 2 жутка, ибо тогда теорема доказана, Ооозначим через (ае, Ьз] ту из половин промежутка, для которой Даз) О, ЛЬ,,) О.
Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом л и б о мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки деления на точку, где функция обращается в нуль, — и доказательство теоремы завершится,( — л и б о получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. Остановимся на этом последнем случае.
Тогда для и-го промежутка,'а„, Ь„] (я = 1, 2, 3, ...) будем иметь Да„) О, Х(Ьа) = О, причем длина его, очевидно, равна Ь-а Ь вЂ” а — —— а а' За (2) Построенная последовательность промежутков удовлетворяет условиям леммы о вложенных промежутках (38], ибо, ввиду (2)„!цп(Ь„-а„)=0; поэтому существует точка с из промежутка (а, Ь], для которой й ш аа = 1пп Ьа --- с. Покажем, что именно эта точка удовлетворяет требованию теоремы. Переходя к пределу в неравенствах (1) и используя при этом непрерывностьь функции (в частности, в точке х.-=.с), получим, что одновременно Дс)=!ппу"(аа)слО и Дс) — -!ппз'(Ьа)==.0, так что, действительно, ](с) =О.
Теорема доказана. Мы дадим ниже второе доказательство теоремы К о ш и, построенное на другой идее. Предпошлем ему следующее очевидное предположение; Лемма. Если 4ункиияДх) ненрерьпна в точке х=х и значение .1'(х ) о т л ич н о о т О, то для всех достаточно близких к хе значений х фУнкциЯ Дх) сохРанЯет тот зже знак, какой она имеет в точке ха. Это вытекает из утверждения 2' в 55, 1, причем в данном случае роль пределаА функции (именно ввиду не и р е ры в ности) играет 1"(х). 170 ГЛ.
П. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (В1 П-е доказательство. Рассмотрим все те точки х=х промежутка (а, Ь], для которых 1(х) О. К их числу, например, относятся точка а н (в силу леммы) близлежащие к ней точки. Множество (х] ограничено сверху числом Ь. Положим теперь с=зцр (х] 111]; мы утверждаем, что 1'(с) =О. Действительно, допустим противное; тогда либо у'(с) О, либо Лс) .О. Если бы бьпю Лс) 0 (тогда заведомо с Ь, ибо нам дано, что 1(Ь) =.0), то — по лемме — и и р а в е е с нашлись бы значения х, для которых Дх) О, а зто противоречило бы определению с, как верхней границы для (х). Еслиже было бы 1'(с) О,то — снова на основании леммы — имели бы 1'(х) 0 и вблизи с с л е в а, именно — в некотором достаточно малом промежутке (с — Ь, с], а тогда там вовсе не бьщо бы значений х, что также невозможно, нбо с, по определению, есть т о ч н а я верхняя граница для Я .
Теорема доказана. Заметим, что требование непрерывности функции у(х) в замкнутом промежутке (а, Ь] существенно: функция, имеющаи разрыв хоть в одной точке, может перейти от отрицательного значения к положительному н не обращаясь в О. Так будет, например„с функцией 1 1'(х) =Е(х) — —, которая нигде не принимает значения О, хотя у(0) = 2' 1 1 = --, а 7"(1) =-- (скачок прн х = 1). 2' 2 81. Применение к ренэенню уравнений. Доказаинан теорема имеет применение при решении уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
