Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Если радиус г увеличить на Лг, то соответствующее приращение ЛД величины Д будет площадью кругового кольца, содержащегося между концентрическими окружностями радиусов г и г+ Лг. Из выражения ЛЮТФИ(«4 Лг)з — пг»=2лг Лг« ж(Л«)з сразу усматриваем, что главной частью ЛД при Лг О будет 2лг.Лг; это и есть дифференциал, Щ Геометрически он выражает площадь прямоугольника (полученного как бы «выпрямлением» кольца) с основанием, равным длине окружности 2лг, и высотой Аг. 4 з 2) Аналогично, для объема И=-лг' шара радиуса г, при увели- 3 ченин радиуса на Лг, получается приращение А㫠— — -п(г+Лг)з — -пг»=4пг'Л« — 4лг ° (Лг)'+ 3л(Л«)з главной частью которого при Лг О, очевидно, будет А)'=4лг'Л«.
Это — объем плоского слоя с основанием, равным поверхности шара 4лгз, и с высотой Лг; в подобный слой как бы «распластывается» слой, содержащийся между двумя концентрическими шаровыми поверхностями радиусов г и « ФЛг. *) Здесь ат яах е д н н ы я символ яграет роль фунзнноняяьно«о обозначения. 211 1041 1 а диееенннциял 3) Наконец, рассмотрим свободное падение материальной точки, Фя по закону в= —. За промежуток времени Лб от г до 1еЛО движу- 2 щаяся точка пройдет путь Лв= гй+Аяу вм в 2 2 — — =я).Л1+2 (Лг)я.
При Лг О его главной частью будет Ыв=г1 Ла Вспомнив, что скорость в момент г будет о=гг 190), видим, что дифференциал пути (приближенно заменяющий приращение пути) вычисляется как путь, пройденный точкой, которая в течение всего промежутка времени Лг двигалась бы именно с этой скоростью. 104. Связь между дифферевцируемостью и существованием производной. Легко установить теперь справедливость следующего утверждения: Для того чтобы функция у= У'(х) в точке хс была диффврвнцируема, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этой точке существовала конечная производная у' = )'(х ). При выполнении этого условия равенство (1) имеет место при значении постоянной А, равном именно этой производной: Лу = у„'Лх+ о(Лх). (1а) Необходимость. Если выполняется (1), то отсюда Ау в(Ах) Ах Ах так что, устремляя Лх к О, действительно, получаем А=йю — =у„'.
Ау Достаточность сразу вытекает из 9б, 1' (см. там (За)). Итак, дифференциал функции у=Дх) всегда равен Я) с)у = у„' ° Лх. Подчеркнем здесь же, что под Лх в этом выражении мы разумеем и р о и з в о л ь н о е приращение независимой переменной, т. е. произвольное число (которое часто удобно бывает считать не зависящим от х). При этом вовсе не обязательно предполагать Лх бесконечно малой; но е с л и Лх О, то дифференциал с(у также будет бесконечно малой, и именно (при у„'ыО) — главной частью ") Легко проверить, что именно тях н составлялся днф4еренпнял но всех случаях, рассмотренных я предыдущем и'.
Напрныср, в случае 1), нмссьс Д=птс, )2,'-2нб 43=2лт ° Аг, н т. д. гл. ш. пгоизводныа и диеевганциьлы 1104 бесконечно малого приращения функции Лу. Это и дает основание приближенно полагать ЛУ= УУ, (3) с тем большей точностью, чем меньше Лх. Мы вернемся к рассмотрению приближенного равенства (3) в 107. Чтобы истолковать геометрически дифференциал Ну н его связь с приращением Лу функции у= 1'(х), рассмотрим график этой функции (рис. 44).
Значением х аргумента и у функции определится точка М на кривой. Проведем у в этой точке кривой касательную МТ; как мы уже видели [921, ее угловой коэффициент, 1я а, равен производной у„'. Если абеб а' Ф ( ) циссе х придать приращение Лх, -лх то ордината кривой у получит приращение ЛУ=ФМ,. В то же время орднната касательной получит приращение ФК. Вычисляя х' ФК как катет прямоугольного треугольника М1УК, найдем: Рис. 44.
ЯК=МУ 1я к=у„' Лх=41у. Итак, в то время как Лу есть приращение ординаты кривой, оу является соответственным приращением ординаты касательной. В заключение остановимся на самой независимой перем е н н о й х: ее дифференциалом назывиот именно приращение Лх, т. е. условно полагают лх=Лх. (4) пу =у„ох так ее обычно и пишут. Отсюда получается ~1~ Ух,~„ (5) (б) так что выражение, которое мы раньше рассматривали как це л ьный символ, теперь можно трактовать как дробь. То обстоятельство, что слева здесь стоит вполне определенное число, в то время Если отождествить дифференциал независимой п ереме инойой х с дифференшзалом функции у=х (в этом — тоже своего рода соглашение!), то формулу (4) можно и доказать, ссылаясь на (2): Их=х„' Лх=1.Лх=Лх.
Ъ'чнтывая соглашение (4), можно теперь переписать формулу (2), дающую определение дифференциала, в виде 215 1 2. диФФеРенциАл 1051 как справа мы имеем отношение двух неопределенных чисел л»у и Йс (ведь «!х=Лх произвольно), не должно смущать читателя: числа Их и с!у изменяются пропорционально, причем производная у„' как раз является коэффициентом пропорциональности. Понятие дифференциала н самый термин «дифференциал» е) принаддежат Л е й б н и ц у, которьгй не дал, однако, точного определенна этого понятия.
Наряду с дифференциалами, Л е й б н н ц рассматривал и «дифференциальные частные», т. е. частные двух дифференциалов, что равносильно нашим производным; однако именно дифференциал был для Лейбница первоначальным понятием. Со времени К о ш н, который своей теорией пределов создал фундамент для всего анализа и впервые отчетливо определил производную как предел, стало обычным отправляться именно от производной, а понятие дифференциала строить уже на основе производной. 105.
Основные формулы и правила диффереипироваиии. Вычисление дифференциалов функций носит название д и ф фе р ел цир о ван и я **). Так как дифференциал Ыу лишь множителем «!х отличается от производной у„', то по таблице производных для элементарных функций !9э! легко составить таблицу дифференциалов для них: ау=О ау=) -' Ь »г»е г)у ая 1. у=с 2. у=х" 1 у=, дм »зу = 2)гм «1у=дз 1пд «1х «!у=ах «1х «гу = 1ова е ' «ух у= у'х З.у=" 4. у=!ой«х у=)вх 1у=— »хв у= «1х «1у =- вш х. «1х 5. у=явх 6. у=коих Ну=весзх «Ь=— »гм соз«и 7. у=1ах ») От латинского слова б!»Тесея!!а, озвачающего яразвостыь »«) Впрочем, тем же терменом обычно обозначают и вычисление гьроизволвых, ляя которого ва русском языке иет особого термина.
В большинстве ввостраввых языков лля обозвачевия зтвх операпвя существуют ляа различвых термвиа; например, по-фравпузски различаюти<Ыг!«абаю» и аб!ГГбгд»«Ь1!ою>. 21б гл. ш. пгоизноднын и днеевгвнциллы (1ЕЬ тта (у= — щ" ( = — —. а)ат и Фе [у= — ' 1-~- ае Правила д яффе ренцирован ия е) выглядят так: 1.
Ы(си)=с ати„ П. с((и+ о) = тйт х т(о, П1. Ы(ио)=и т1о-~о Йс, ЪЧ И~л) 'Лл-'и. Все они легко получаются из соответствующих правил для производных. Докажем, например, два последних: й(и о)=(и о)' ° Их=(и' очи ° о') Ых= =о (и' Их)+и (о' Ых)=о <Хич и ио, л) (л)' л'е — ле' ( е (вче' )-л (е'.лх) Н=н' =' 106, Иввариавтивсп формы дифференциала. Правило дифференцирования сложной функции приведет нас к одному замечательному и важному свойству дифференциала. Пусть функции у=,Ях) и х=9(1) таковы, что из ник может быть составлена сложная функция: у=т(9(1)).
Если существуют производные у„' и х,', то — по правилу У [98) — существует и производная у,'=у„' х„'. (7) Дифференциал 4у, если х считать независнмой переменной, выразится по формуле (з). Перейдем теперь к независимой переменной ц в этом предположении имеем другое выражение для дифференциала: Иу=-у, ~.
*) Еслнречь вдет именно о вычислении двфференпн апов, 8, у=сгйх 9. у=агсавтх 10. у=агссоах 11. у=агсейх 12. у=агссгйх (у= тту = (у= $ х диФФБРенцивл 217 1061 Заменяя, однако, производную у,' ее выражением (7) и замечая, что х',.бс есть дифференциал х как функции от б окончательно получим: Ну = у„х, 'й =у„с(х, т. е. вернемся к прежней форме дифференциала.' Таким образом, мы видим, что форма дафферен пиала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой. Мы всегда имеем право писать дифференциал у в ф о р м е (5), будет ли х независимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано б то Ых означает не произвольное приращение Ах, а дифференциал хкакфункцииоткЭтосвойствонназывают инвариантно стью формы дифференциала.
Так как из формулы (5) непосредственно получается формула (б), выражающая производную у„' через дифференциалы с(» и Иу„то и последняяформуласохраняетсилу, по какой бы независимой переменной (конечно, одной и той же в обоих случаях) ни были вычислены названные дифференциалы. Пусть, например, у=~1 — хз(-1 х. 1), так что » „з Положим теперь х=вш 7(--кз«-1. Тогда у= «1-в(пес=сов б и мы 2 будем иметь: ах=совг й, с(у= -в(п1.бк Легко проверить, что формула -зш!.й ив 1 созз Ш со»1 дает лишь другое выражение для вычисленной выше производной. Этим обстоятельством особенно удобно пользоваться в случаях, когда зависимость у от х не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных х и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называемой и ар ам е т р о м): х=«(з), у=у(г). (8) Предполагая, что обе эти функции имеют производные и что для первой из них существует обратная функция 2=6(х), имеющая производную (83, 94), легко видеть, что тогда и у оказывается функцией от х: у = «(0(х)) =Ах), (9) для которой также существует производная.
Вычисление этой производной может быть выполнено по указанному выше правилу: (г 7')ыд 3'1 1«'(~) » сх» 4 ~Ф»1 9Ф)* (18) 1тот гл. ш, пеоизводные и двоек еьнциллы 218 не восстанавливая непосредственной зависимости у от х. Например, если х=з)п 0 у=созе~- — г -), то производную у„ можно определить, как это сделано выше, не пользуясь вовсе зависимостью у ='1'1- х'. Если рассматривать х и у как прямоугольные координаты точки на плоскости„то уравнения (8) каждому значению параметра 1 ставят в соответствие некоторую точку, которая с изменением 1 описывает кривую на плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
