Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Уравнения (8) называются п а р а м е т р ическими уравнениями этой кривой. В случае параметрического задания кривой, формула (10) позволяет непосредственно по уравнениям (8) установить угловой коэффициент касательной, не переходя к заданию кривой уравнением (9); именно, 18 а= —,. у1 х) (11) 3 а м е ч а н и е. Возможность выражать производную через дифференциалы, взятые по любой переменной, в частности, приводит к тому, что формулы Ыу 1 с~у Иу йг Ъ их' Ж Бах' еу 107. Дифференциалы как источник нриблнженнык формул. Мы видели, что при Лх 0 дифференциал Ну функции у (если только у„~ О) представляет собой г л а в н у ю ч а с т ь бесконечно малого приращения функции Ау.
Таким образом, Ау Иу, так что )у -1у, или подробнее 4Ях,) =- Ях, е Лх) -Лх,) — '-у'(х,) ° Лх (За) с точностью до бесконечно малой высшего порядка, чем Ах. Это значит (б21, что относительная погрешность этого равенства становится сколь угодно малой при достаточно малом Ах. выражающие в лейбницевых обозначениях правила дифференцирования обратной функции и сложной функции, становятся простыми алгебраическими тождествами (поскольку все дифференциалы здесь могут быть взяты по одной и той же переменной). Не следует думать, впрочем, что этим дан новый вывод названных формул: прежде всего, здесь не доказывалось существование производных слева, главное же — мы существенно пользовались инвариантностью формы дифференциала, которая сама есть следствие правила У.
219 1071 1 а диеенвнпцнлл Рассмотрим простой пример: пусть у=х'. Тогда Лу=(хе ьЛх)з — х3=3хев'Лх >Зле'Лх з Лхз Лх) -Лх ) =' 7'(х ) ° (х — х„) Лх) х7(хе) о 7'(хе) . (х — х ). или По этой формуле, для значений х, близких к х„функциями(х) приближенно заменяется л и н е й и о й функцией. Геометрически это соответствует замене участка к р и в о й у =7(х), примыкающего к точке (хо, Лх,)), отрезком касательной к кривой в этой точке: ) =.Г(хе) ' 7'(хе).(х- ) *) (ср. рис, 44). Взяв для простоты хе=О и ограничиваясь малыми зна- чениями х, будем иметь приближенную формулу: Лх) ='ЯО) ь/'(0) х. *) Действительно, уравнение прямой с угловым козффнниентогн Iг, прокодяпзея через точку (х„уе), будет у = уе -Ь(г(х — хр); в слузне касательной здесь следует положить у,=у(хе), А =у (ха).
и линейной частью Лу (как мы это выше установили в общем виде), действительно, является дифференциал Ыу=Зхзе Лх=у„Лх. Положим конкретно х„=2,3; если взять Лх=0,1, то будем иметь Лу= =2,4з-2,3'=1,657 и ну=3 ° 2,3'0,1=1,587, так что погрешность от замены первого числа вторым будет 0,070, а относительная погрешность превысит 4е(е.
При Лх=0,01 получим Лу=0,159391 и о)у=0,1587, что дает относительную погрешность, уже меньшую 0,5е/,; при Лх = 0,001 — о т н о с и т е л ь н а я погрешность меньше 0,05е)е и т. д. 11одобное же обстоятельство может быть и непосредственно усмотрено из рис. 44, дающего геометрическое истолкование дифференциала. На графике видно, что при уменьшении Лх мы, действительно, все с большей относительной точностью можем заменять приращение ордннаты кривой приращением ординаты касательной. Выгода замены приращения функции Лу ее дифференциалом Ыу состоит, как ясно читателю, в том, что Иу зависит от Лх линейно, в то время как Лу представляет собою обыкновенно более сложную функцию от Лх.
Если положить Лх=х — х, и хе+Лх=х, то равенство (За) примет вид 220 ГЛ. И!. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ]100 Отсюда, подставляя вместо !"(х) различные элементарные фупкыии, легко получить ряд формул: 1 (1ч-х)язь!З-(зх, в частности, ]'!,-хо!1+ — х, 2 е" '-1+х, 1п(1ох)жх, Зшх=х, гвхзкх, и т. и, 3 откуда з(à — — Аг 4 / Если, например, учесть измеыевие длины провода от изменения температуры или нагрузки, то отсюда можпо предусмотреть и ызмеыепие стрелы провеса. 2) известно, что кругогюй тох (рис. 46) действует ыа едиыиоу так называемого !<магнитного заряда», помещеыыую на его оси ва расстоявии х ог центра О, с силой !г (а" Ф х!)! где гг — постояввый козффипиеит, а радиус.
Найти выражение для силы, с какой круговой ток будет действовать ва магнит ЖЮ длиыы Ах, расположенный Рис. 46. по оси тока. При зтом будем считать, что в полюсе !!Г сосредоточен положительвый кмагиитыый заряд» т, а в полыме б— равыый ему отрицательный ямагиитыый заряд» вЂ” ль Общая сила Р действия тока иа магиит выразится так: !гга Ьп 1 Р= -!гт А~ е а а (а'-1-хз)е (аз!-(я+Ах)з]я ~( +)*3 Заменяя приращение фуыкции (в предположении, что Ах мапо) ее дифферешзиалом, получим 1 т х Р' -!ол г) 3/г тАх.
е х (а'Ф х')з (а" + хз)з 108. Првмеиевве двфферевнвавов при сцепке погрешвостей. Особенно удобно и естествепио использовать понятие дифференциала в приблвжевиых вычислеииях (из которых миогие вам уже известны). Приведем примеры приближеивьгх формул другого типа, также имеющих своим источииком равенство (3). 1) Если длину тяжелой нити (провода, каната, ремня), подвешенной за оба конца, обозвачить через 2з, пролет — через 21, а стрелу провеса — через Г(рис. 45), то для вычисления з часто — - 3 — — — — "" пользуются (приближенной) формулой ° ',=ф+'.Я. Рис.
45. Величиыу у" здесь будем считать независимой переменной, а г функцией от !". Требуется установить связь между изменением г]! длины г и изменеиием з!У стрелы провеса !"; Заменяя Аз иа !(г, получим 4 Г Аз=' — — ЗК 3 221 10В) 1 З. ДИФФЕРЕНЦИАЛ при оценке погрешвостей. Пусть, например, величвву х мы измеряем вли вычисляем непосредственно, а зависящую от ыее величину у определяем по ф о р м у л е: у =у(х). При измерении величивы х обыкновенно вкрадывается погрешность, э)х, которая влечет за собою погрешность зу для величины у, Вавку малой величины этих погрешностей, полагают 'зу=уэ' '1х т.
е. замеияют приращение дифференциалом. Пусть дх будет м а к с и м а л ьыой абсолютной погрешвостью величины х: 1э)х(~дх (в обычных условиях подобная граница погрешности при измерении извества). Тогда, очевидно, за м а к с и м а л ь ы у ю абсолютную погрешиость (границу погрешности) для у можио принять бу= Ьэ! дх. (12) 1) Пусть, ыапримср, для определения объема шара сначала (с помощью штангеыциркуля, толщемера, микрометра и т. п.) ыелосредствелпо и з м е р я ю т диаметр Р шара, а затем обьем Р вычисляют по формуле л Р= — 11э, б Так как Ро= — Юэ, то в этом случае, в силу (12), 2 д)'= — )Зэ дВ. 2 Разделив зто равенство па предыдущее, получим бр Из — 3 —, и )3 так что (максимальная) относительная погрешыость вычвслениого значения объе- ма оказывается втрое большей, чем (максимальная) относительвая погрешность ызмеревыого значения диаметра.
2) Если число х, для которого вычисляется его десятичный логарифм у =1ой х, получено с некоторой погрешностью, то это отразится ыа логарифме, создавая и в ыем погрешность. эьу Здесь у„' — (мке0,4343), так что, по формуле (12), х дх ду = 0,4343 — . х Таким образом, (максвмальвая) а б с о л ю т ы а я погрешность логарифма просто определяется по (максимальпой) о т н о с и т е л ь ы о й погрешности самого числа, и обратно. Этот результат имеет многообразные применения. Например, с его помощью можно составить себе представление о точыости обыкыовеыыой логарифмической линейка, со шкалой в 25 ем=250 мм. При отсчете или установке визира можво лпибиться, примерна, па О,! мм в ту или другую егорову„что отвечает погрешюсти в логарифме 0,1 бу = — ' = 0,0004, 250 )тсэода, по ыашей формуле, дх 0,0004 — =0,00092... -' 0,001.
х 0,4343 ) ты о сите льна я точность отсчетов во всех частях шкалы одна и та же) (1бб ггг ГЛ. Нл ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 3) При вычислении угла р по логарифма-тригонометрическим таблицам встает вопрос, каквмн таблицамл выгоднее пользоваться — таблицами синусов или таигенсов. Положим Уг=.!олзшн и У,=!он1ЛР и будем считать максимальные погрешности дуг и дут равными (скажем, половине последнего знака мантиссы). Вели обозначить соответствующие максимальные погРешности в Угле Р чеРез бор и дзР, то, гу как и выше, получим: М дУ, = — совУ дг СА з)л (э М ду, -- — зес' р д, р, Д С !Ер так что д,а=4,а.соззр бр, Таким образом оказывается, что при одинаковых ошибках в логарифме таблица тангенсов дает меньшую погрешность в угле, чем таблвца синусов, и, стало быть, является более выгодной* ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
