Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Точно так же существенно и условие 3) теоремы: функция у(х) =х в промежутке (О, Ц удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме условия 3), а ее производная у'(х)=1 повсюду. Чертежи предоставляем читателю. 112. Формула Лагранжа. Обратимся к непосредственным следствиям теоремы Ролла. Теорема Лагранжа. Пусть 1) Дх) определена и непрерывна в замкнутом промежутке (а, Ьь 2) существует конечная производная у'(х), по крайней мере, в открытом промежутке (а, Ь) *). Тогда л1ежду а и Ь найдется такая точка с (а~ смЬ), что для нее выполняется равенство 1(Ь) — 1(а) (1) Ь вЂ” а Доказательство. Введем вспомогательную функцию, определив ее в промежутке (а, Ь1 равенством: Г(х) =Дх) — у (а) — (х — а). 1 (Ь) — у"(а) е) Конечно, непрерывность фуиапииу(х) в (в, Ы, предполоиеиааа в 1), уже следует из 2), ио мы пи здесь, ии а последующем ие ставим себе целью расчлеиать условие теоремы иа взаимно иезааисамые предполоисииа 112) 1 х ОснОВные теОРемы диФФеРенциАльнОГО исчисления 227 Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Р о л л я.
В самом деле, она непрерывна в (а, Ь), так как представляет собой разность между непрерывной функцией Лх) и линейной функцией. В промежутке (а, Ь) она имеет определенную конечную производную, равную ДЫ вЂ” Г(а) Наконец, непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что Ь(а) = Г(Ь) =О, т. е. с(х) принимает равные значения на концах промежутка. Следовательно, к функции Ь(х) можно применить теорему Р о л л я и утверждать существование в (а, Ь) такой точки с, что с'(с) = О. Таким образом, ,)'(с) — =О, Ь-а откуда ПЬ) — Ла) Ь вЂ” а ч.
и тр. д. Доказанную теорему называют также теоремой о среднем значении (в дифференциальном х исчислении). Теорема Р о л ля является част- Рес. 51. ным случаем теоремы Лагранжа; замечания относительно условий 1) и 2) теоремы, сделанные выше, сохраняют свою силу н здесь. Обращаясь к геометрическому истолкованию теоремы Л а г р а Ежаа (рис.
51), заметим, что отношение ,Г(Ы вЂ”,Яа) СВ Ь-а АС есть угловой коэффициент секущей АВ, а )'(с) есть угловой коэффициент касательной к кривой у =у"(х) в точке с абсциссой х= с. Таким образом, утверждение теоремы Л а г р а н ж а равносильно следующему: на 11)те АВ всегда найдется, по крайней мере, одна точка М, в которой касательная параллель н а хорде АВ.
Доказанная формула — =Г(с) или У (Ь) -1(а) =1'(с) (Ь вЂ” а) носит название формулы Лагранжа или формулы к онечных приращений. Она, очевидно, сохраняет силу и для случая а Ь. Возьмем любое значение х в промежутке (а, Ь) и придеднм ему приращение АхФО, не выво)ппцее его за пределы промежутка. При- М 1ыз ГЛ. ЗП. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ меним формулу Лагранжа к промежутку (х„хо ' Лх) при Лх -0 или к промежутку (хо+Лх, хс) при Лх О.
Число с, заключенное в этом случае между х, и х„+Лх, можно представить так: с=хе-ьО Лх, где 0.«0 .1*). Тогда формула Лагранжа примет виц: Я(хо+'"х) Пхо) г г 0Л ) (1а) нли Л1'(хо)= 1'(х ФЛх) — у'(хо)= г'(хеФОЛх) Лх (0«0<1). (2) Это равенство, дающее т о ч н о е выражение для приращения функции при любом к о н е ч н о м приращении Лх аргумента, естественно противопоставляется приближенному равенству [107, (За)): Л)'(хе) = ) '(хо «- Лх) — ) (хе) — о- )'(хе) . Лх, относительная погрешность которого стремится к нулю лишь прн бесконечно малом Лх. Отсюда проистекает и самое название «формула конечных приращенийо, К невыгоде формулы Л а г р а н ж а — в ней фигурирует неизвестное нам число 0**) (или с).
Это не мешает, однако, многообразным применениям этой формульг в анализе. 113. Предел производной. Полезный пример такого прнмения дает следующее замечание. Предположим, что функция у(х) непрерывна в промежутке (х„хе Ф Н) (Н 0) н имеет конечную производную у'(х) для х хе. Если существует (конечный или нет) предел !Пп /'(х) =К, х хоче то такова же будет и производная в точке хе с п р а в а. Действительно, при О. Лх~Н имеем(1а).
Если Лх О, то— ввиду ограниченности величины 0 — аргумент производной хе+ 9Лх стремится к х, так что правая часть равенства, а с нею и левая стремится к пределу К, ч. н тр. д. Аналогичное утверждение устанавливается и для левосторонней окрестности точки х . о) Иногда говорят, что Я есть «правильная дробьв; не следует только думать, что речь нпет о рапиональнон дроби — число 9 может оказаться н иррапиональвым.
о*) Лишь в немногих случаях мы можем его установить; например, для квад- 1 ратичноя фувкдии у(х)= ахов Ьх+с, как легко проверить, имеем 6--. 2 1141 1 3. Осиоинын тковнмы диеенеинцияльиого исчислнпия 229 Рассмотрим в качестве примера функцию Дх) хагсып х 1-) 1 — хя в промежутке 1-1, !1. Если — 1 х 1, то пс обычным правилам дифференциального исчисления легко найти: х х Т(х) = ягсяп х-~- — — = а гойи х. При х - 1 - 0 (х — ! з-О) зта производная, очевидно, стремится к пределу — — —; значит и при х '-1 существуют (односторонние) производные 2( 2) Часто сделанное замечание применяется при следующих обстоятельствах:нз того факта, что найденное для производной выражение стремится к + (- ) при приближении х к хс с той или пру г ой стороны, делается заключение, что в самой точке хс соответствующая односторонняя производная равна (--) 1 я Например„если вернуться к функциям /т(х) = хз и (;(х) = хв, которые мы рассматривали в и' 101, то для них (при х~~О) имеем: 1, 2 ~т(х) = —, Ях) = —;.
з' Зхз Так как первое из этих выражений при х хО стремится к +, а второе при х +О или при х -О имеет, соответственно, пределы + или —, то заключаем, что для Ях) в точке х=О существует двусторонняя производная: +, в то время как для Ях) в этой точке существуют лишь односторонние производные: -> справа и слева. Из сказанного вытекает также, что, если конечная производная /'(х) существует в некотором промежутке, то она представляет собою функцию, которая не может иметь обыкновенных разрывов или скачков: в каждой точке она либо непрерывна, либо имеет разрыв 2-го рода.(ср. 102, 2').
114. Формула Коши. Формула конечных приращений о б о б щ а- ется следующим образом: Теорема Коши. Пусть 1) функции у(х) и я(х) непрерывны в замкнутом промежутке (а, Ь|1 2) сугцествуют конечные производные г"(х) и д'(х), по крайней мере, в открытом промежутке (а„Ь); 3) д'(х) мО в промежутке (а, Ь).
Тогда м е ж д у а и Ь найдется такая точка с (а~ с ~Ъ), апо у"(Ь) — У(а) У'(с) (3) е(ь)-е(а) е'(с) ' Эта формула носит название формулы Коши. ззо (114 ГЛ. ПЬ ПРОИЗВОДИЫВ И ДНФФВРВНЦИАЛЫ Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сперва, что знаменатель левой части нашего равенства не равен нулю, так как в противном случае выражение зто не имело бы смысла.
Если бы бьшо я(Ь)=я(а), то, по теореме Р о л л я, производная я'(х) в некоторой промежуточной точке была бы равна нулю, что противоречит условию 3); значит фЬ) ~у(а). Рассмотрим теперь вспомогательную функцию Р(х) = ('(х) †)'(а) — ' (я(х) -я(а)). Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Р о л л я. В са- мом деле, г(х) непрерывна в (а, Ь), так как непрерывны ( (х) и я(х): производная Г'(х) существует в (а, Ь), именно, она равна Наконец, прямой подстановкой убеждаемся, что Ь(а) = г(Ь) = О.
Вслед- ствие этого в промежутке (а, Ь) существует такая точка с, что Г'(с) = О. Иначе говоря, / '(с) - — — — я'(с) = О Г (Ь) — У(а) К(Ь) -К(а) ( '(с) = — — я'(с). йа) — Г(а) д(Ь) -к(а) Р(Р)-И( ) Р'(Р) ВАР)-Иа) Ю'(~) (4) Рассмотрим теперь кривую, заданную параметрическими уравнениями х=(В(1)„У=В(1) (а ( Р).
Тогда левая часть формулы и здесь выражает угловой коэффициент хорды, соединятощей концы дуги этой кривой, а правая — угловой Разделив на я'(с) (это возможно, так как я'(с) ~0), получаем тре. буемое равенство. Ясно, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы К о ш и. Для получения формулы конечных приращений из формулы Коши следует положить я(х)=х. Теорему Коши называют обобщенной теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении).
Геометрическая иллюстрация теоремы К о ш и — та же, что и для теоремы Лагранжа. Чтобы читателю легче было это усмотреть, перейдем к другим обозначениям: х заменим на б а функпии обозначим через Чф) и ~р(1). Если 1 изменяется в промежутке (а, Я, то формула Коши напишется так: 1151 1 с пРОизВодные и диФФеРенцихлы Высших пОРядкОВ 231 коэффициент касательной в некоторой внутренней точке дуги, отвечающей З=у [106, (11)). 3 а м е ч а н и е.
Эти соображения подсказывают мысль о возможности вывести формулу Коши из формулы Лагранжа. Суть этого вывода в том, что вместо параметрической зависимости (5) устанавливают непосредственную зависимость: у = у(х), и тогда формула (4) оказывается равнозначащей с (1). а 4. Производные в дифференциалы высших порядков 115. Определение провзводвык высших порядков. Если функция у=баХ) имеет конечную производную у'=у'(х) в некотором промежутке л,, так что эта последняя сама представляет новую функцию от х, то может случиться, что эта функция в некоторой точке х из Уь", в свою очередь, имеет производную, конечную или нет. Ее называю~ произ водной второго порядка илн второй производной функции у=у(х) в упомянутой точке, и обозначают одним из символов Так, например, мы видели в 92, что скорость е движения точки равна производной от пройденного точкой пути В по времени и и 4Й = —, ускорение же а есть производная от скорости В по времеви: й ' 4Ь а= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
