Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Но на этот раз, если только у'(х) не есть целый многочлен п-й степени, уже нельзя утверждать равенства г"(х) =р(х). Многочлен р(х) дает лишь некоторое приближение функции у'(х). Поэтому особый интерес приобретает изучение разности (7) г(х) = у(х) -р(х). Установим, прежде всего, что при х хс эта разность представляет собой бесконечно малую порядка выиге и-го (по сравнению с х — х,): г(х) = о((х — х )") (8) По свойству многочлена р(х), для функции г(х), очевидно, будут иметь место равенства г(хс) = г'(х ) = г "(х ) =... = г<')(х ) = О, (9) Мы сейчас установим общее утверждение: если для како йл и ба функ ци и Кх), имеющей в точке х„производные до п-го порядка включительно, вьтолняются условия (9), то имеет место соотноигение (8).
Доказательство проведем по методу математической индукции. При п=! это утверждение имеет вид: вели функция г(х), имеющая *) Если точка х, является одним иэ концов промеиугяа [и, Ь[, то, говоря о произяодиык в этой точке, мы имеем в лиду од во сто роии ис произяоюцяе, 1241 о а ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА в точке х, производную (первого порядка), удовлетворяет условиям г(х ) = г'(х,) = О, г(х) = о(х — хо). Его справедливость проверяется непосредственно: Х-Хо „Х-Хо Предположим теперь, что сформулированное выше утверждение справедливо для какого-либо п-1, и докажем, что оно остается верным и при замене п на п+ 1, т. е. что: если д л я к а к о йлибо функли и Кх), имеющей в точке хо производные до (и+1)-го порядка включителыю, выполняются условия (яо) г(х„) = г'(х ) = г "(х ) =...
= г" (х ) = г<" о'>(х ) = О, то г(х) = о((х — х )" +'). (8') Из (9о) усматриваем, что функция г'(х) удовлетворяет условиям типа (9), а значит для нее по предположенн ому уже имеем: '(х) =о((х-х,)"). Бо, по формуле конечных приращений 11121, Кх) = г(х) — г(х„) = г'(с) ° (х — х ), где с содержится между х и х; так как )с-х ~ -)х-хо), то г'(с) = о((с — х,)") = о((х — х )"), и мы окончательно приходим к (8о), что и требовалось доказать. Таким образом, наше утверждение оправдано для любого натурального и, и для разности (7) действительно выполняется соотношение (8).
Принимая во внимание (6), мы получаем формулу У'(Х)=ДХо)+ П (Х вЂ” Х,)+ —,— (Х-Х,) Ф... Уйхо) Т'(х ) ... Ф вЂ”,— (х — х,)" + о((х — х )"), (10) г'(")(хд которая от формулы (5) для многочлена разнится наличием д о п о лиительно го члена (8). В указанной форме дополнительный член был дан П е а н о (О. Реала). Формула (10) и называется формулой Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано. Доказанная формула является естественным обобщением формулы (3) и' 9б, которую можно написать так: ,у(х) = у(х ) + 1'(х )(х — х ) + о(х — х )1 1124 ГЛ.
ПЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ она отвечает л=1. Там функция г'(х), с точностью до бесконечно малой порядка выше первого, представлялась в виде л и н е й н о й ф у н к ц и и„здесь же мы представляем ее целым многочленом и-й с т е и е н и, но уже с точностью до бесконечно малой порядка выше и-го. Легко показать, что такое представление функции г (х) единственно, т. е.
что, если имеем одновременно вблизи хо У(х) = Ао+ А,(х — х,) + А,(х — хо)о + . + А„(х — хо)" + о((х — хо)") ,У(х) = А о+ Аг(х - хо) + Ао(х — хо)о+... о.4 (х — хо)о ~- о((х — хо)") то необходимо А,=А;, ...,А„.=А„', .4о=Ао Действительно, из тождества Ао+Ао(х-хо)РАЕ(х — хо)'+ .. +.4о(х-хо)"= =Ао ~-Аг(х-хо) +Ао(х-хо)о+ .. -'А„'(х — х)" +о((х — х)") при х х, сразу получаем А,=А'. Уничтожив зти члены н деля ик на х-х„получим: А,+Ао(х — х)+...
+А„(х-хо)1"-0= А;+Ао(х-х)-';... -. 'А„'(х-хо)" '+о((х-хо)" ~), откуда, аналогично, А,-А;, и т. д. Иногда удобно формулу (10) применять в другой форме. Дополнительный член г(х) можно представить так: г(х) = —, (х — х,)", где оо зависит от х и стремится к 0 вместе с х — хо.
Подставляя зто выражение, получим Далее, перенося в формуле (10) г(хо) налево и полагая х — х,=Ах, можно переписать ее в виде А,у'(хо) = 1'(хо) ' Ах+ .1 (хо) ' Ахо+ о ~(о)(х ) ° Ах" +о(Ах ). (10б) 1251 $ а ФОРмулА тейлОРА 251 В этой форме она еще ближе к формуле (3) и' 96; .<)Дхс) = )'(хс) Ах+ о(Лх). Последняя вьшеляет лишь один главный член из бесконечно малого приращения функции 1Дхс) — считая, как всегда, )х за основную бесконечно малую, в то время как в формуле (10б) выписаны члены всех порядков до л-го включительно, причем все они являются п р остейшими бесконечно малыми в смысле и 63.
С точностью до дополнительного члена, таким образом, приращение функции разложено по степеням приращения независимой переменной. Наконец, вспоминая, что ,У'(хс) Ах=ф'(хс), )'"(хс) Ахз=сРДхс), ..., ~<">(хс) ° 3х"=с<'Дх), мы можем переписать (10б) в такой форме: М( я)= 'р"(с)+2,:И( ) <- "+-; 1"у'(.)+о() "). Отсюда видим, что (при 2х-0) последовательные дифференциалы представляют собой, с точностью до факториалов в знаменателе, именно простейшие бесконечно малые члены соответственных порядков в разложении бесконечно малого приращения функции.
125. Примеры. Всего проще выглядит формула Т е йл о р а, если х,=О*): )(х)=Г'(0)5-, х+ —,хз-, ... Ф, х" Фо(х"). (11) К этому частному случаю всегда можно свести дело, взяв х-х, за новую независимую переменную. Рассмотрим в виде примера некоторые конкретные разложения по этой формуле для элементарных функций. 1) Пусть >'(х)=е"; тогда гть>(х)=е" при любом )<=1,2, 3,... Так как в этом случае ДО) = 1, ~<">(0) =1, то, по формуле (11), х х~, х» е" = 1+ — + —;... -~- — -~- о(х"). и н ''' л! 2) если Ях) =яп х, то )те>(х)=-яп (х-~)с — 1, так что 2) ' ДО)=0, у<ем>(0)=яптж=О, )~"-'>(0)=яп ~т55- — ) =( — 1) -5 (т 1, 2, 3, ...). *) и зту 4юрмулу связывают с нменем м а к л о р е н а <см, сноску на стр.
247). 252 ГЛ. П!. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ [125 Поэтому, положив в формуле (11) я=2<и, имеем хз х< х<А<-< ац х = х — — + — —... +(-1) -' — + о(х""), 3! 5! ' ' (2«< - 1)! 3) Аналогично, при 1'(х) =сов х: 1!"!(Х) = сок ~х «-х. — 1; !(О) = 1, 11~"')(0) =(-1)'", 2/ ' УР ')(0)=0 (т=[,2,3, ...). Таким образом (еслн взять Л=2т «-1): х< х< Х< <<< сое х = 1- — + — —... -! ( — 1) — + о(х'""+').
2! 4! ' ' ' (2т)! 4) Рассмотрим теперь степенную функцию х, где <и — не натуральное число н не нуль. В этом случае при х 0 либо сама функция (если т 0), либо ее производные (начнная с некоторого порядка, при л т) бесконечно возрастают. Следовательно, здесь уже нельзя брать х,=О. Возьмем х =1, т. е. станем разлагать х" по степеням х — 1. Впрочем, как уже упоминалось, можно ввести в качестве новой переменной х-1; мы ее по-прежнему будем обозначать через х, н станем разлагать функцию (1+х)'" по степеням х. Как мы знаем [116, 2)), рх!( ) щ(,н 1) (щ ь „ц(1+ .) -< 1'(О) =1, 1'!")(О) = л!(!и — 1)...
(е-/с+1). так что Разложение имеет вид (1«х)«]«.!Их« ~ хе ~ ! ''' Х««о(х«) 1 ° 2 ''' 1 ° 2...« 1 1 В частности, например, прн п=2 н л!= — 1,—, -- будем иметь — =1 — х «-х'«-о(х'), 1 1+Х )'1 .ь х = 1 4 — х — — х' «- о(хх), 1 ! = 1 — — х+ — х «-0(хх). [<1-!-х Первое из этих разложений очень легко получается элементарно— х< дополнительный член здесь просто равен -- †. Второе же и третье 1+х ' потребовалн бы более длнннык выкладок [ср. 63[.
1 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 1251 253 5) Если перейти к логарифмической функции 1п х, которая стремится к — при х- -ь О, то, как и в предыду)цем примере, мы предпочтем рассматривать функцию Дх) = !и (1 Ф х) и разлагать ее по степеням х. Тогда (116, 3)) та) ( 1)к(0' П ) . у'к (х) = 1(0) =О, Я")(О) =( — 1)"-'()с — 1)1.
Отсюда 1п(1чх)=х- — Ф вЂ” —... Ф(-1)" ' — -~-о(х"). 2 3 ''' л 6) Пусть теперь |(х) = агс(8 х. Мы имели в 118, 4) значения ее производных при х=О: У'(зе)(0)=0, Утз -з)(0)=(-1) -1(2гп 2)1 так что ее разложение представится в виде хе хе ~ хзя-з ато(б Х = Х вЂ” — -Ь вЂ” —... Ф ( — 1)е-1 Ф О(ХЗИ), 3 5 2ея — 1 7) Для функции Дх)=18Х закон образования коэффициентов в формуле Т е й л о р а сложен.
Тем не менее, несколько первых членов ее написать нетрудно. Так как, например, У'(х) = —,, У'"(х) = 2 —,, У'"(х) = 2 (чт(х) =8 яп х 2+ вше х созе х то ДО) = О, ('(0) = 1, ('"(0) = О, У'"(0) = 2, (тт(0) = О, так что 18 х = х -ь — Ф о(х ). хе 3 Пользуясь известными разложениями, можно, уже не вычисляя производных, непосредственно писать разложения и для более сложных функций. Например, предыдущая формула могла бы быть получена из разложений для яп х и соз х. Приведем новые примеры; при этом все степени х, до назначенной включительно, мы будем точно учитывать, а более высокие степени (не выписывая их) будем сразу включать в дополнительный член.
3) НаПИСатЬ раЗЛОжЕНИЕ фуиКцнн Еле х дО ХЧ В СИЛУ 1), 1, 1 еяе х= 1+яп х+ — япе х+ — з(пе х+е(хз) е*); 2 б но, по 2), 1 5(п к=х — — х Ьо(х), б так что 1 ) 1 1 еяпх=1(-~х- — хе + — хзч — хе+а(хе). б 2 б «) Под О! мы, как всегда, разумеем 1. **) Следовало бы написать о(япех), но, ввиду эквивалентности бесконечно малых х и яп х, это все равно, что о(х').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
