Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 47
Текст из файла (страница 47)
то Г. М. Фиттенгелел, т. ! гл. ш. пгоизводнып и дневи инциялы 1120 120. Нарушение инвариантноетн формы длн дифференциалов высших порядков. Вспоминая, что (первый) дифференциал функции обладает свойством ин на риантн о с ти формы, естественно поставить вопрос, обладают ли подобным свойством дифференциалы высших порядков. Покажем, например, что уже второй дифференциал этим свойством не о б л адает. Итак, пусть у= г'(х) и х=«р(1), так что у можно рассматривать как сложную функцию от 1; у=у(у(1)). Бе (первый) дифференциал по г можно написать в форме «уу =у„' ° Нх, где Их=-х,' ° Й есть функция от а Вычисляем второй дифференциал по ц «Ру = ««О«,' ° ««х) = ыу„«1х ",- у„' «1(п«х). Дифференциал Иу„' можно, снова пользуясь инвариантиостью формы (первого) дифференциала, взять в форме «1у„'=у„", ««х, так что окон- чательно «Гзу=у„", ° «(хз фу„' Р.г, (3) в то время как при независимой переменной х второй дифференциал имел вид «Ру =у„", ««хз.
Конечно, выражение (3) для Ру является б о- л е е о б щ и м: если, в частности, х есть независимая переменная, то «12х=Π— и остается один лишь первый член. Возьмем пример. Пусть у=-хз тяк что, покуда х — независимая переменная: «1у = 2х Нх, Изу = 2«1хк Положим теперь х= Р; тогда у= «', и йу=4«9«1«, «ну=12«Ч«'. Новое выражеиие для ««у может быть получено и из старого, если туда подставить х= Р, Ых= 2« «1«. Иначе обстоит дело с «12у: сделав такую же подстановку, мы полу- чим ЗР «1«2 вместо 12«' «1«2.
Если же пролиффереипировагь равенство ь«у =- 2х«)х по г, считая х функцией ог «, то, наподобие (3), придем к фюрмуле «Ру = 2«122 1 2х«Рх. Подставив сюда х= «', ««х=2«иг, «Рх=2«й', получим уже правильный результат: 12«2«««2 12у «19у 2 12 х* (4) уже н е л ь з я дифференциалы брать по любой переменной, но лишь по переменной х. Итак, если х перестает быть независимой переменной, то дифференциал второго порядка «Ру выражается через дифференциалы х д в у ч л е н н о й формулой (3). Для дифференциалов третьего и дальнейших порядков число добавочных (при переходе к новой независимой переменной) членов еще возрастет. В соответствии с этим в выражениях высших производных у'„'.,у„"., через дифференциалы 121] В С. ПРОИЗВОДНЫЕ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 243 с)у) с)х с)су — Рлх Ф т.
е. с)х ° псу — с)сх ° цу )с';— с)х'" (5) затем, )с)х ° с)су - едх ° с)З с)х ° с!су — слх д 1' ( с)хс / У." с)хс ! с)с "-( ' )',=' с)хс(с)х с)су — с)схс~у) — Здх'с!сх(с!х Рлу — ссхи)у) и окончательно: с)х(с!х с)су — Вех с)у) — Зссхх (Их Иду — Рлх ф:) )с"„' х" с)хс (6) и т.
д. Формулы (5),(6), ... являются на и 6 о л ее о 6 шими; если в них считать х независимой переменной, то с)хх, ссзх, ... обратятся в нуль — и мы вернемся к формулам (4). Полученные нами формулы для производных у по х осуществляют так называемое параметрическое дифференцнрован н е. Если х и у заданы в функции от параметра ): х =-су(!), у = су(!), то, как мы виделн в 106, при известных условиях этим определяется и у как функция от х: у= у(х).
При наличии последовательных производных от х и у по ! существуют соответствующие производные от у по х и выражаются выведенными выше формулами. Иногда удобнее иметь выражение производных у по х через производные же (а не дифференциалы) от х и У по !. Их легко получить из дифференциальных выражений, разделив числитель и знаменатель, соответственно, на й, й', й', ...
Таким путем придем к формулам: с)х сру с)сх Иу с)с исс хсс Ис хсус. — хаус цу У., =-. =., с)х с)с ~с)х) (хс)' 121. Параметрическое дифференцирование. Можно, впрочем, написать выражения производных по х и через дифференциалы, взятые по любой переменной ), но они будут гораздо сложнее. Именно, с ч нтая все ниже написанные дифференциалы взятымии по ), имеем последовательно ГЛ. Ик ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФШ'ЕНЦИАЛЫ (122 аналогично: х~(хну~ — хл у~) — Зхл(х~уо - х~ уз) Ух ит. д.
122. Колечкам разяостн. Пусть Функция У(х) определена в некотором промежутке Л, н все значения х, которые будут встречаться, считаются прлнадлежашнмн атому промежутку. Фнкснровав некоторое приращение Лх переменной х (мы будем предполагать, для определенности, Лх О, котя ничто не мешало бы рассматрнвать н Лх 0), положим ЛЯх) =У(х Ф Лх) -Ях) н назовем это выражение первой разностью нашей функцнн. Второй р а з н о с т ь ю называется первая разность от первой разнсстш ЛзУ(х) = Л]Л/(х)] = 4Г(к+ Лх) — Щх) = У(х+2Лх) — 2Г(х+Лх)+ Г(х).
Высшие разностн определятотся шщуктнвно: Лл г(х) Л(Лл-гг(х)] Впрочем, для л-й разностн может быть установлена н формула Л" Г(х)= ~ (-1)1СкЯх+л-(Лх) ~=с л — л(л- 1) У(хЧ-л Лх) — -ЯхЧ-л — 1 Лх)+ Г(хЧ-л — 2 Лх)-... «;( — 1)л Г(х), 1 1 2 выражающая зту разность непосредстаенно через значения самой функцнн Г(х) в равноотстояшнк точках х, х+Лх, х+2 Лх, ..., х+л Лх. Эта формула легко доказывается по методу математической индукции, что может быть предоставлено читателю. Сопоставим теперь этн кекечлые разности с пронзводнымн н днфференцналами, предположлм, что функцня Г(х) имеет л-1 н ел р е р ы в н ы х пролзводнык г'(х), Г "(х), ..., У(л ')(х) в замкнутом промежутке (х„х,+а Лх] н конечную л-ю производную /(л)(х), по крайней мере, в открытом промежутке (хм хе+ л Лх).
Тогда нмеет место формула Л" У(хо) = У<л>йл) Лхл, где хо «' Юл «х,+ л Лх. (7) Прн л=1 дело сводится к формуле конечных приращений, которая является простейшим частным случаем формулы (7). Намереваясь пронести доказательства нашего утверждения по методу математической нндукцлн, мы допустим атрааедлнвость измененной формулы (7), получаемой прн замене л на л-1, разумеется, прн соответственно нзмененлык предположениях, н докажем (7), прн сделанных предположелнлк. Из нак следует, что для фулкцнн ~Ц(х)=Я(хч-лх) — Г(х) в промежутке (х,.
х,Ч-л-1 Лх] с кзбытком выполняются условия прнменямостн измененной формулы (7), н мы можем написать Л" '(ЛГ(хв)]=.ЛлДхь)=(Г(л-1)(8л-г+Лх)-)(л '>Цл 1)].Лх" ' (8) 122| ! к пгоивводыыы ы дивввнынциалы высших поглдков где х, с», х,+л-1 Ах. Применяя к правой части этого равеншва формулу конечных приращений «), получим непосредственно формулу (7), причем хе«сл в с» сл в+Ах хе+»Ах. Заметим, что, если производная /(л>(х) сушествует также в точке хе и притом непрерывна в этой точке, то из соотношения (7) при Ах 0 (тогда«» хе) следует, что Ал)(хе) У(л>(х,) = 1пп (9) лл-в Ахл Впрочем, эта интересная формула, устанаалнваюшая возможность получения л-И производной с помошью лишь о д н о г о предельного перехода, спрнведлнва при единственном предположении, что эта производная существует именно в точке х,.
Это значит, что в не к о тор ой окрести ости точки х«сушествуют производные и, следовательно, при достаточно малом Ах, может быть првмеыеыа формула (8). Ввиду существования производной У~(>(хе), воспользовавшись формулой (2) и 96, можем написать у'(' '>Ы вЂ” ) — )'(" '>( )-((">(х) (« - — >+ а-. — ) и )(л '>(«л-,+Ах)-)(л '>(х) /(л>(хе) Ял в+Ах-хе)4-Д («л-44-Ах-хе) где л и 47 зависят от Ах и вместе с иим стремятся к нулю. Отсюда и из (8) вьпекает '*): А»,Г(хе) = [У(л>(хе) + У] ° Ахл где у — новая бесконечыая малан. Наконец, деля это равенство почленио на Ахл н переходя к пределу при Ах-О, првшем к формуле (9).
Подчеркнем, что она имеет место лишь в предположении, что сушествует производная У(л>(х,). Предел справа может существовать и тогда, когда этой производной нет ««е). Рассмотрим, например, функшпо, определенную так: 1 >(х) х*.нп — (х»0), г(0) О.
х взяв хе = О. Для нее существует первая производная 1 1 )'(х)-Зхв вш--х сов — (х«0), Г(0)=0, х х но нет в точке 0 второй производной, нбо отношение 1 1 ЗАтв.в|п — -Ах сов— )"(О+ Ах) — ~'(0) Ах Ах . 1 1 -ЗАх вш — -сов— Ах Ах Ах Ах «) На что мы имеем право, так как фуыкция у'(л — в>(х) непрерывна в промежутке Ы» в, сл, + Ах), а внутри него нмеет конечыую производную)(л>(х).
«') Учитывая, что 0«8»,-хе~(л — 1) Ах (при Ах 0). «««) так что формула (9) отнюдь не дает нового определсшш самого понятю л-й пронпюдной, равпоспльпоге старому' [123 ГЛ. Пь ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ пре Лх-0 предела ее имеет. В то же время выражение 1 1 8 Лх' з!п — -2 Лхе яп— Лту(0) у(0-Р 2 Лх) — 2у(0+ Ах)+ у(0) 2 Лх Лх Лхе Лх* Лх' 1 1 =8 Лх ып — 2Лх Ип — -О. 2Лх Лх 8 5. Формула Тейлора р(х) =а -~-а х-~-а т-'~-азх" Р... +а„х", то, последовательно дифференцируя его и раз р'(х) = ат е 2 .
а х+ 3 ° азхз +... + и а„х" ', р"(х)=1 2.азе2 ° 3 азх+... +(и — 1)и а„х" ', р'"(х)=1 ° 2 ° 3 а„+... х(и-2)(и-1)и а„х" — ', р<")(х) = 1. 2 ° 3... и ° а„ и полагая во всех этих формулах х=О, найдем выражения к о- эффициентов многочлена через значения самого многочлеиа и его производных при х=О р'(О) р"(О) а — аз=— Р ь 2У ад=р(О), р (О) р(")(О) Подставим этн значения коэффициентов в (1): р(х)=р(0)+Р() хх1 — () х'+Р () хзь ... ~-~ ( — )х". (2) 1! 2! 3! я! Эта формула отличается от (1) записью коэффициентов, Вместо того чтобы разлагать многочлен по степеням х, можно было бы взять его разложение по степеням х-х, где х, есть некоторое постоянное частное значение х: Р(х) = Ар-Р А,(х — хр) + Ат(х — х„)е+ +А,( —,)з+... +А„( -х,).. (3) 123.
Формула Тейлора для миогочлена. Если р(х) есть целый много- член степени и: 1 к ФОРмУЯА тейлОРА 123] Полагал х - хв = $, р(х) =Р(хо + с) = Р(е), для коэффициентов много- члена Р(с) =Ага Атс+Агсг~-Азсг+ ° ° ° +А~Р имеем, по доказанному, выражения: ( л ) ( 0 ) .4п л! А= з Р"'(О) 3! Но Р(с) =Р(~+с) Р'(с) =Я» +с) Р"($) =р"(х,+с), ..., Р(О) =р(хо), Р'(О) =р'(хо), Р "(О) =р"(х ),...
так что и (4) Р (хо) Р(х) =Р(х )+ —, (х - х ) Ф, (х - хе)г )- р'(хо) р"(х.) +Р ~ (х-х)г+ +Р, (х-хо)". (5) Формула (5), так же как и ее частный (при х, =О) случай (2), называется формулой Тейлора (В. Тау(ог)е). Известно, какие важные применения она имеет в алгебре. Сделаем (полезное для дальнейшего) очевидное з а м е ч а н и е, что если многочлен Р(х) представлен в виде р(х) = с Ф вЂ ', (х-х,) ~--г (х-х,)' +-',(х -х,)' + ... Ф вЂ ", (х -х,)", то необходимо Р(х ) = с„ Р'(хе) = с„ Р"(х ) = с„ ..., Р(" (х,) = с„, *) Впрочем, формулу (2) часто называют формулой М а а л о р е н а (С. Мас!апйп), т.
е. коэффициенты разложения (3) оказались выраженными через значения самого многочлена и его производных при х=х,. Подставим в (3) выражения (4): [124 ГЛ. ПГ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеаио. Обратимся теперь к рассмотренню п р о и з в о л ь н о й функции г'(х), вообще не являющейся целым многочленом. Предположим, что для нее в некоторой точке х, существуют производные всех порядков до п-го включительно.
Это значит, точнее говоря, что функция определена и имеет производные всех порядков до (и — 1)-го включительно: ,у'(х), ["(х), ['"(х),..., ут" ')(х) в некотором промежутке [а, Ь), содержащем точку х, и, кроме того, имеет производную п-го порядка гч')(ха) в самой точке х,'). Тогда, по образцу (5), и для функции г"(х) может быль составлен много- член р(.)=Л..)- —,(.- .)- — „(.- .) ° ... у'[х ) у"[х ) [хч)(х -х)" (б) Согласно предшествующему замечанию, э т о т м н о г о ч л е н и его производные (допйвипочительно)в точке х, имеют те же значения, что н функция г(х) и ее про изводи ые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
