Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Значит, ускорение является второй производной от 4В ~РЗ пути по времени: а= — . ~в и Аналогично, если функция у=у'(х) имеет конечную вторую производную в целом промежутке ь (т. е. в каждой точке этого промежутка), то ее производная, конечная или нет, в какой-либо точке х, из ь называется производной третьего порядка или третье й и р о и з в о д н о й функции у = у (х) в этой точке, и обозначается так: —,, У"*, )УУ; ', /'"(хр), ВВУ(хр).
Подобным же образом от третьей производной переходим к четвертой и т. д. Если предположить, что понятие (и-1)-й производной уже определено и что (и- 1)-я производная существует и конечна в промежутке ь, то ее производная в некоторой точке х, этого промежутка называется производной иго порядка или ий производной от исходной функции у=г"(х); для обозначения ее применяются символы: узап) 41зпу. у(хр) у"(п)(х ) рп 4'(х ) 232 гл. ш. пгоизводныв и диеещ иициллы [11б Иной раз — при пользовании обозначениями Лагранжа нли К о ш и — может возникнуть надобность в указании переменной, по которой берется производная; тогда ее пишут в виде значка внизу: у„, 1)„у, г'„'у(хе), и т. и., причем, х-', х", ...
ссгь условная сокращенная запись вместо тх, ххх, . Например, можно написать: а= зг . (Читателю ясно, что и здесь цельные символы ,[лу можно рассматривать как функциональные обозначения.) Таким образом, мы определили понятие гг-ой производной, как говорят, индуктив но, переходя по порядку от первой производной к последующим. Соотношение, определяющее и-ю производнуго: у(л) [у(л — г))' называют также рекуррентным (нли «возвратным»), поскольку оно «возвращает» нас от и-й к (л- [)-й производной. Самос вычисление производных и-го порядка, при численно з ад а н- и о м л, произволится по известным уже читателю правилам и формулам.
На- пример, если 1 1 4 ! у = — х' — — х» -Ь 2х» 4 — х — —, 2 б 3 2 то 1, 4 у' =. 2х'- — х««4хб —, у" = бх' — х г 4, 2 3 у"'=12х — 1, у!в=12, так что все последующие производные равны тождественно О. Или пусть у = !и (х -Ь ~ х' Ь 1); тогда ! х 2х'-1 у = . ° у у"'= и т. д.
[/х»+ 1 (х» -)- 1)'г» (х» -~- 1)'г Заметим, что по отношению к производным высших порядков так же, нндуктивно, можно установить понятие односторонн е й производной !ср. 1001. Если функция у=Дх) определена лишь в некотором промежутке Х, то, говоря о производной любого порядка на конце его, всегда имеют в виду именно одностороннюю производную. 11б. Общие формулы для производнык любого поргщка. Итак, для того, чтобы вычислить и-ю производную от какой-либо функции, вообще говоря„нужно предварительно вычислить производные всех ГЛ. П1.
ПРОИЗВОДНЫВ И ДИФФВРЗНЦНАЛЫ (1!в нулями. Отсюда ясно, что и для целого многочлена степени вг имеет место аналогичное обстоятельство. 2) Для несколько более об~йего выражения у = (а+ Ьх)» (а, Ь = сопя!.) столь же легко найдем: у(л) (л ((1 1) (!1 и ( 1), Ьл (а ( Ьх)л-л В частности, получается, как н выше, ( †) = 1(л) ( !)л 11 Ьл а+Ьх/ (а+Ьх)лы ' ( — ~ = 1 '1 1л! ( — 1)" (2л — 4)И Ьл )1 а 4-Ьх! 2л(а+Ьх)л)/ а+ах 3) Пусть теперь у=!пх. Прежде всего, имеем у'=(!их)'= —. 1 х ' Возьмвм отсюда производную (и — 1)-го порядка по соответствующей формуле из 1), заменив в ней п на л — 1; мы и получим тогда .р'"'=(У)' '~=( — ) 4) Если у=а", то у'=а* 1па, у"=а' ° (1па)',...
Общая м ла фор у у!л] — а" (1П а)л легко доказывается по методу математической индукции. В частности, очевидно, (Ел)(л1 Ел б) Положим р=з1п х; тогда у'=созх, у'= — з1пх, у = — сов х, У =51ПХ, Р =СОЗХ,... 1Ч ч На атом пути найти требуемое общее выражение для н-й произ- водной трудно. Но дело сразу упрощается, если переписать фор- мулу для первой производной в виде у'= з1п (х+ — ); становит- ся ясным, что при каждом дифференцировании к аргументу будет л прибавляться — ', так что 2' (з1п х)(л! = з(п ! х + и ° — ~ .
2/' Аналогично получзется и формула (соз х) = с05 х+ и 2)' 235 8 4. ш'оизводнык высших понядков 1 6) Рассмотрим функцию у= —,, Представив ее в виде мы получаем возможность использовать пример 2) (и общие правила, указанные вначале). Окончательно, У) В случае фуннции у=еде в!п Ьх мы употребим более искусственный прием. Именно, имеем у' = деда 91п Ьх + Ьеа» соа Ьх; если ввести вспомогательный угол р, определяемый условиями Ь а 91п е= 9 совр= )/ да + ба )/ да + !99 то выражение для первой производной можно переписать в виде'.
у' = ф' а'+ Ьа ° еат ° (з(п Ьх соз е + соа Ьх ° а!п р) = = ~ а' + Ь' ° еа" ° 9! п (Ьх + ч). Повторяя дифференцирование, легко установить общий закон п уап = (а'+ ба) т ° еач в!и (Ьх+пт) н обосновать его по методу математической индукции.
8) Остановимся еще на функции у = асс!их. Поставим себе сначала задачей выразить уап через у. Так как х=тцу, то у' =, = соз'у = сову ° жп ! у+ — ~. 1+х' Дифференцируя вторично по х (и помня, что у есть функция от х), полу- чим у" =~ — з!ну 91п (у+ — ~-(- сову соз ~у+ — 11-у'= = соз'у ° соа 2у+ — 11=сов'у 9!п2 у+ — ). Следующее дифференцирование дает у'" = ! — 2 з!п у ° сову ° а!и 2 ! у + — 1+ 2 соФ у ° соа 2 ! у + — 11 .
у'— 2! 2/) 2у =2соФу ° сов Зу+2 ° — ~=2 соФу з!п 3 (у+ — !. Общая формула: ума = (и — 1)1 соФ у з!п и у + —, 2у оправдывается по методу математической индукции. Если (при х ) 0) ввести угол 1 к л = жс18 — = — — у х 2 гл. !и. цеоиваодныв и днефвевнциалы [1!7 то зта формула может быть переписана так: 1 у'ю =(л — 1)! „° з!и н(я — л) (1+ х') нли, наконев, уью =( — 1)" '(л — 1)! ° я!и пасс!й —. 1 х ' (!+х') В) Установим в заключение, в виде упражнения, формулу ! ! — е" Рч (хл ! е ) = ( — 1)" — (и = 1, 2, 3, ...) . Справедливость ее при я = 1 и л = 2 проверяется непосредственно.
Лопустим теперь, что она верна для всех значений я аплот ь до н ек о т о р о г о л) 2, и докажем, что тогда она сохранит верность и прн замене л на в+1". С втой целью рассмотрим выражение ! ! ! ! Рлч'(х"е") =Рл [Р (х"е")[ = Рл[лхл 'е" — х" 'е" [= ! =л Р" (хч-аех) — Р [Рл-а (хп-тлх)[ Пользуясь нашим допущением, можно переписать вто выражение таю ! ! ! ! г лаз е" .Р"+' (х"е") =и ° ( — !) — „, — Р[ ( — 1)ч ' — [=( — 1)"+' — „,, ч.
н тр. д. Итак, формула верна для в с е х натуральных значений и. 117. Формула Лейбница. Как мы заметили в начале предыдущего п', правила 1 и 11, 97, непосредственно переносятся и на случай производных любого порядка. Сложнее обстоит дело с правилом !11, относящимся к дифференцированию произведения. Предположим, что функции и, о от х имеют каждая в отдельности производные до п-го порядка включительно: докажем, что тогда их произведение у= ио также имеет л-ю производную, и найдем еб выражение.
Станем, применяя правило 1И, последовательно дифференцировать это произведение; мы найдем: у'=по+по', ув=аьп+2ио'+по", у'в=и"'о+ Зп"и'+ ЗиЪв+ ио", ... Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их напоминают разложение степеней бинома: и+в, ч Обращаем внимание читателя на вту своеобразную форму применения метода математичеСкой индукции; в действительности (см. текст ниже) мы используем справедаивость нашей формулы для п и для л — 1. й 4. пгоизводныв высших погядков 11г'1 237 (и+о)а (ц+о)а, ..., лишь вместо степеней и, о стоят производные соответствующих порядков.
Сходство станет более полным, если в полученных формулах вместо ц, о писать ц('), о(а), Распространяя этот закон на случай любого л, придем к общей формуле*: у(Я) (цо)(Я) Эт С(ц(Я-() Орб я г, о = (г(а)о+ли(я ')о'+ ( ц(а "оя+... 1 2 ц(г( ) ° (о + ) \а-() 1 2 ... ( Лля доказательства еи справедливости прибегнем снова к методу математической индукции. 1(опустим, что при некотором значении ц онз верна.
Если для функций и, о существуют и (и+1)-е производные, то можно еще раз продифференцировать по х; мы получим: р( тт) УС( [гг(я — ()в(ну — УС( (я-(+Ы,(() ) УС(ц(я-ц,((ею л а ац (-О Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций ц и о (сумма порядков производных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда ц + 1). Произведение и' "'э'" входит только в первую сумму (при 1 = О); коэффициент его в этой сумме есть С,',= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
