Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ГЛ, !Еь ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИЕЕЕРЕНЦИяЛЫ 1126 Член с х' исчезает и, окончательно, 1 еяз з = 1+ я+ †.зз.~. а(з з), 2 Аналогично, 1 1 азах=14-х+ — хз-, '— хз.!.о(хз) 2 2 9) Написать разложение функции 1п соз х до члена с х'. Согласно 5), 1 1 1 :=. 1п 11+ (соз х — 1)1 = (соз х — 1) — — (соя х — 1)з 1- — (соя х — 1)' 4 с(хз) *). 2 3 При этом, ввиду 3)„ 1 1 1 соз х — 1 = — — хз+ — х' — — х' Рс(х"); 2 24 720 отсюда 1 1 1 ) 111 1 ) 11 1 1п соз х= ~ — — хз+ — хз — — хз~ — — ! — х'- — хз)! Ч вЂ” ! — — хз) Ро(х) 2 24 720 ~ 2 14 24 1 3 1 8 или — после приаелеяия— 1 1 1 асов х= — — х' — — х'- — хзео(хз), 2 12 45 Аналогично, 1 3 !и (х+ )Т+х') = х — — хз+ — х'+о(хз) 6 40 з1пх 1, 1, 1 !и -- = — — хз- — х'- — х'";е(хз). х б 180 2835 Все зги разложения, полученные без непосредственного использования формулы Т е й л о р а, могли бы, конечно, быть получены и по атой формуле, и притом— в точности с теми же коэффициентами, ввиду установленной вьппе единственности подобного разложения функции.
Замечание. Так как рассмотренные здесь функции имели в окрестности точки х=О производные всех порядков, то мы ничем не были стеснены в выборе числа и в формуле (11), т. е. могли продолжать разложения зтих функций вплоть до любой степени х. 126. Другие формы дополнительного члена. Формула Т е й л о р а с дополнительным членом в форме П е а н о имеет многообразные приложения (см.
следующую главу); но все они, так сказать, злокальногоз характера, т. е. относятся к самой точке х . Если в них иной раз и идет речь о других значениях х, то зти значения предполагаются *) Так как 1-соя х одного порядка с х' 1611, то о((сов х- !)з) в то же время есть о(хз). 255 12б1 «5.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА «достаточно близкими» к хо и наперед не могут быть взяты по произволу. Между тем естественно попытаться использовать многочлен р(х) как приближение к функции 7'(х), с помощью которого она и может быть вычислена с нужной степенью точности. Для того чтобы многочлен р(х) был пригоден для этой роли, необходимо иметь возможность оценивать разность (7) д л я д а нного х. В этом случае форма Пеано, характеризующая лишь стремление г(х) к 0 при х О, служить не может.
Она не позволяет устанавливать для каких значений х многочлен р(х) воспроизводит функцию ('(х) с наперед указанной степенью точности; ничего не говорит она также о том, как можно было бы — при данном х — воздействовать на величину дополнительного члена Кх)=г„(х) за счет увеличения и"), и т. д.
Поэтому мы обратимся к выводу д р у г их ф о р м дополнительного члена г„(х). Для определенности будем рассматривать промежуток [х„, х, Н) (Н 0) вправо от точки х и будем считать функцию у" (х) определенной в этом промежутке; случай, когда функция задана в промежутке [хо — Н, хо[, исчерпывается аналогично. На этот раз сделаем более тяжелые предположения, именно, допустим, что во всем промежутке [х, х + Н[ существуют и непрерывны первые л производных: » (х) г (х) г (х) „,, г (л)(х) и кроме того, по крайней мере, в открытом промежутке (х, хоФН) существует и конечна (ль 1)-я производная т'("."г>(х).
Отметим, что, ввиду (6) и (7), г„(х) = ('(х) -у"(хе) — —,- (х — х ) — — (х — х ) —... Г(х«) Г'(х.) г г(л)(х ) — —,-'- (х — хо)". (12) Фиксируем теперь люб о е значение х из промежутка «х, х ФН), и по образцу правой части формулы(12), заменяя постоянное число х на переменную г, составим новую, вспомогательную функцию: гр(г)=3'(х)-г(х) — —,(х-я) — —, (х-я)' —... — —,(х — я)", Г'(х) г""(х) з гтл)(г) причем независимую переменную х считаем изменяющейся в промежутке [х„х). В этом промежутке функция р(я) непрерывна и принимает на концах его значения [см.
(12)): ~р(х ) = г„(х), у(х) = О. «) Нужно помнить, что дополнительный член г(х) зависит, вообще говоря, ог л, для подчеркивания этого обстоятельства мы и будем впредь обозначать его через гл(х). 256 гл. пь пдоизволныв и дневи анцнхльг Кроме того, в промежутке (х„х) существует производная 1126 дг'(г) = - Г" (г) — ~ (х - г) — у'(г)] - ~ — (х - г)' - — (х - г)]— гу"(и) 1 г/'"(х) и у"(х) 2! 11 г г"гх(г) ,Г'*(х) -(( — — (х — г)д- — (х-г)д] — .. З1 гн ту(и+О(х) Г(и)(х) (х г)и (х г)и- г ] и. (и-1)! или, после упрощения, (г(х) — и(хд) (с'(с) гР(х) — (г(хд) тг'(с) ' х <с<х или с=х +6(х — х) (О 6 .1). где Так как г(и+ г)(с) %(х) = О, сг(хд) = г„(х), ~Р'(с) = — 1 (х — с)", то (с(х) — (С(х,) у(" гг)(с) г„х — .
° — — х — с Теперь, если подставлять вместо у(г) любые удовлетворяющие поставленным условиям функции, мы получим различные формы дополнительного члена г„(х). Пусть р(г)=(х-г)Р, где р О. Имеем: уг'(г) = — р(х — г)Р— г (хд г х). Очевидно, эта функция удовлетворяет поставленным требованиям. Поэтому — (х — хд)Р у(и+О(с) у(ид')(с) Та.к «ак с=хд-~-6(х-хд), то х — с=х-хд-6(х-хд)=(1 — 0)(х-хд), н окончательно: г„(х)= — — — ',— — '- (1 -6)с+г-с(х — х,)"+' (О 6 1). г'(и+О(х,-~- а(х- х,)) Возьмем теперь произвольную функцию гр(г), непрерывную в промежутке (хд, х) и имеющую не обращаюп(уюся в нуль производную ~р'(г), по крайней мере, в открытом промежутке (х, х) К функциям (д(г) и р(г) применим формулу К о гп и [1141: 6 Ь ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 1271 Это выражение называется дополнительным членом в форме Шлемиль ха и Роша (О. БОЫбпп1ОЬ-КООЬе).
Из него, придавая р конкретные значения, можно получать более частные формы дополнительного члена. Положив р=ль1, получим дополнительный член в форме Лагранжа: у!а+т)(с) г„(х)=, (х-х)"+' (х, с х), который выглядит особенно просто. Он напоминает следующий очередной член формулы Тейлора, лишь вместо того, чтобы вычислить (и+ 1)-ю производную в точке х„зту производную берут для некоторого среднего (между х и х) значения с. Формула Тейлора с до~олшпельиым членом в форме Лагранжан ж а, таким образоьц имеет вид 1'(х)=1'(ха)5 —,(х-х)-,'- — (х-х)-+... Р(ха) Гдха) ,Л"М(, „,)1.+с(.) (, „„„„ Ю! ' ' (я+1)! х х (13) (ха~сйх).
Хотя охотнее всего пользуются дополнительным членом именно в форме Л а г р а н ж а, ввиду ее простоты, все же в отдельных случаях зта форма оказывается непригодной для оценки дополнительного члена, и приходится прибегать к другим формам, менее простым. Из них упомянем здесь о дополнительном члене в форме Коши, который получается из общей формы Шлем иль ха и Р о ш а при р = 1: г„(х)=~ (' " "') (1-0)"(х-х,)"". 71! 127.
Приближенные формулы. Положим, для простоты, в формуле (13) х,=О, а вместо с станем писать Ох, где О О 1: дх)=дО)+~! ) х+У ()хт+... +~ () х"+~ ( х) ха+1. (14) 1! 2! я! (я+1)! Если отбросить здесь дополнительный член„то получится п р н б л иженная формула: Л )=-'ЛО) Ф вЂ” „ р(о) у'То) )т )(о) 17 Г.
М. Фаттаатааьа. т. 1 Если перенести в ней член Дхе) налево, то легко усмотреть в ней прямое обобщение формулы конечных приращений [1Щ, которую можно написать так! Дх) -7 (хе) = 7'(с) . (х- ха). 258 ГЛ. !П. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ заменяющая функцию сложной природы целым многочленом. Но на этотразмывсостоявии оценить погрешность этой формулы ы, ибо она как раз и равна (по абсолютной величине) отброшенному члену. Например, если (и+1)-я производная (по крайней мере„при изменении аргумента между О и х) ограничена по абсолютной величине числом М, то йГ«и+е ~ .(х)! („+,), . Для примеров обратимся к элементарным функциям.
Нам нет надобности повторять выкладки и' 125, лишь дополнительный член мы будем писать в новой форме. 1) Положим !'(х)=е". Приближенная формула: х х е"='-1-!- — -!--+... + —. и 2! ' ' ' и! ' так как дополнительный член здесь ее« г„(х) = х" +~, то, например, при х=.О погрешность оценивается так: хи+' ~ ги(х) ! е" ° ( В частности, если х=1, 1 1 1 е=1+ — + — Ф... +— 1! 2! ''' и!' ! Ри(1) ! Подобной формулой мы уже пользовались в 37 для приближенного вычисления числа е, но оценка дополнительного члена, полученная другим путем, там была более точной. 2) Взяв Дх) = 81п х, получим хе х' хет-е 81пх — '-х- — Ф вЂ” —...
Ф(- 1)"-' 3! 5! (2т-1)! ' В этом случае дополнительный член: !Е(е +(2 +Н вЂ” 1 т+1 1т хет+1 гьи(х) =, х""+'=( — 1)'" соз Ох и погрешность оценивается легко: !«!ет+е 1г~ (х))~ 1271 $5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 259 В частности, если мы довольствуемся одним членом и полагаем зш х=х, то для того, чтобы погрешность была меньше, скажем, чем 0,001, достаточно взять (считая х .О) хв — 0,001 б х«0,1817, что примерно равно 10'. При пользовании двучленной формулой хв яп хвьх — —, б ' для достижения той же точности уже достаточно взять х О,б544(вь37',5); если же ограничиться углами х 0,4129 (ьз23'Д, то погрешность будет даже «0,0001, и т.
д. Мы видим, что с увеличением числа членов многочлена Т е й л о р а он с все большей точностью и на большем протяжении воспроизводит исходную функцию. Этот факт наглядно иллюстрируется рнс. 52а, где наряду с графиком функции у = яп х представлены графики много- членов хв хв Хв у=х, у=х- —, у=х- — Ф вЂ”, и т. д. 6' б 72О' 3) Аналогично, для Дх)=сов х вмеем хв х' щ хв"' СОЗХРЕ1- — + — —... +( — 1)'" —, 2! 4! ''' 27х!' причем хвв3+ в гр +7(х) =( — 1) +7 соз Ох.— — — —, '(гт-!-2)Т ' так что !х!ввв+в ~юЪ+7(х)~= (2„ Например, для формулы хв соз х='1 —— 2 погрешность )гв(х)!.е— пв 1127 ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
