Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Лх„), Г(х„),...,ут" )(хв), Лх),г»(х) ... )(»~)(х), (8) Л х ) ~ ( х ) у (» д ( х ) 130. Иитериолвров авве е кратными узлами. Формула Эрмвта. Можно поставить более общун) задачу интерполирования, задав в узлах х„х„..., х, кроме значений самой функции у'(х), также и значения последовательных ее производных: [[зв ГЛ.
П1. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ где и, л„..., п — неотрицательные целые числа. Общее число этих условий равно (не+1)+(п1+1)+ "Ф(п Ф1)=Н. Задачу вычисления значения функции Ях) при любом отличном от узлов значении х из [а, Ь) — с использованием всех данных (8) — мы, подобно простейшему случаю, будем понимать так. Ищется целый многочлен Н(х) наннизшей степени, который в каждом узле х;, вместе со своими производными до порядка п, включительно, принимает те же значения, что и сама функция у"(х) и ее соответствующие производные, а затем приближенно полагают (9) 1(х) = Н[х).
Узлы х; называются узлами интерполирования, соответственно к р а тно сти и;+1. Можно доказать существование и единственность многочлена Н(х) степени не выше Н вЂ” 1, удовлетворяющего всем поставленным условиям. Его называют интерполяиионным многочленом Эрмита, а формулу (9) — интерполяиионной формулой Э р м и т а (С[1.
Непш[е). Если все и; положить равными нулю, то мы вернемся к формуле Л а г р а н ж а (2). Мы встречались и с другим частным случаем формулы Эр ми та: возьмем один лишь узелх„но кратностип+1, т. е. от многочлена не вьппе и-й степени, Х(х), потребуем, чтобы в точке хв его значение и значения и его производных совпадали, соответственно, со значениями самой функции ~'(х) и ее производных. Мы знаем, что этим требованиям удовлетворжт многочлен Тейлора [124 (б)] 2(х) =у'(хе) ~- —,(х-х )+... Р,"' (х — х )". Таким образом приближенная формула Дх) = 7(х) [ср.
и 127) также является частным случаем интерполяцнонной формулы Э рмита. Дополнительный член формулы (9), восстанавливающий ее точность, выводится с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в предыдущем номере. Рассмотрим многочлен Н-й степени [2(г)=(г — х )и+1(г — х )" +1... (г-х )~ъ+1 и положим для а~г~Ь Ф(г) =Яг) — Н(г)-К й(г), где К=сопза Если предположить, что функция 1"(г) в промежутке [а, Ь) имеет Н последовательных производных, то зто будет справедливо и для Ф(г). 2зе1 ! б. ИНТЕРПОЛИРОВАНИИ 267 Фиксируя значение г = х, отличное от узлов, мы выберем постоянную К так: К = [ьл(х) м 01]; (10) 0(х) и ввиду (10) 7"(х) = Н(х~+ и," Й(х).
(11) Это и есть интерноляиионная формула Э р м и т а с дополнительным членом. Формула Л а г р а н ж а с дополнительным членом [(7)] является ее частным случаем. Точно так же, взяв единственный узел х кратности не 1, мы как частный случай формулы (1 1) получим формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа [12б (13)]. «) Мы распространяем понятие кратности корня, привычное для читателя по отношению к целому мноточлену, на любую функцио Ф(я): чнсло и называется ее корнем р-й кратностн, если а обршцает в О, вместе с Ф(т), н р-1 се произ- ВОДНЫХ. при таком выборе функция Ф(е) обращается в 0 и при х=х. Всего она будет иметь Н+1 корней, если калсдый корень считать столько раз, какова его кратность«).
Применяя последовательно теорему Ролля как и выше (с темниц!ь усложнением, что каждый кратныйй корень функции,Ф(х) еще в течение нескольких шагов будет фигурировать и как корень ее последовательных производных), окончательно придем к утверждению, что в некоторой точке с обратится в 0 производная Фсн)(г). Отсюда Лн)я) К= —— )у! ГЛАВА ЧВТВБРТАЯ исслкдовАник Фияа~ии с помощью производных 5 1. Изучение хода изменения функции 131. Условие постоянства функции. При изучении хода изменения функции на первом месте появляется вопрос об условиях, при которых фушщия сохраняет в данном промежутке постоянное значение нли изменяется в нем монотонно [57[.
Теорема К Пусть функчия Ях) определена и непрерывна в промежутке .'ь «) и имеет внутри него конечную производную Я(х). Для того, чтобы Ях) была в ь' постоянной, необходимо и достаточно условие Я(х) = 0 внутри К. Н е о б х о д и м о с т ь условия очевидна: из Ях) = сопз~ следует Я(х)=0. Докажем теперь обратное. Д о от а то ч ность. Пусть условие выполнено. Фиксируем некоторую точку хе нз промежутка гь' и возьмем л ю б у ю другую его точку х. Для промежутка [х„х] или [х, хе[ удовлетворены все условия теоремы Л а г р а н ж а [112[, следовательно можем написать Ях) — Яхе) =Я(с)(х — хе), где с содержится между х их и значит заведомо лежит внутри Уь".
Но по предположению ~У(с)=0, так что для всех х из ь' Ях) =Ях ) = сопзг, и наше утверждение доказано. В интегральном исчислении важное приложение найдет вытекающее отсюда простое предложение. Следствие. Если две 1бункиии Ях) ие(х) определены и непрерывны в промежутке а' и в н у тр и него имеют конечные производныеЯ(х), я'(х), причем Я(х) = я'(х) (внутри Ю), «) Промыеуток Л может быть землвутым или иет, иовечиым или бееиоиечиым. 1ЗЦ 269 1 ь изучннив хода измининия еункции то зти функции во всем промежутке К разнятся лишь на постоянную: у'(х) =д(х)-ьС (С=сопя(). Для доказательства достаточно применить теорему к разности Дх) — я(х): так как ее производная ~"'(х) — я'(х) внутри ь сводится к О, то сама разность будет постоянной. Особенности пользования этой теоремой выясним ва л р и м е р а х: 1) Рассмотрим две фувкцяя агсгйх и агснп — (- х«+ ).
)(1Ь хе Так как производная второй из ник хз )1-Ьхе-— )1Г+хе 1 1+хз 1+хе ~/, совпалает с производной первой функции, то эти функции во всем промежутке от — до -Ь, разнятся на постоянную: х аюгй х- агснп — ЬС, )Г1ь хе Длл определения значения этой постоянной можно, например, положить здесь х-О; так как при этом арктанпшс и арксинус оба обратятся в О, то и С должно быть нулем. Итак, мы доказали тождество х агсгйх-аплш ( — ~х + ), '1'1+ хе которое, впрочем, в бб было выведено из злементарнык соображений. 2) Предлагается, аналогично, доказать, что х егсзш х= агсгй — (-1 «х 1). '1'1- х' 3) Рассмотрим теперь функции 1 2х агсгйх и — агсгв 2 1 — хз Легко проверить, что ик производные совпадают во всех точках х, исключая х - а 1 (где вторая из функций тернет смысл). Поэтому тождество 1 2х — агсза — - -агсГКх+С 2 1-хт оказывается установленным лишь для каждого из промежутков (-1, +1), (-, — 1), (+1, + ) в отдельности.
Любопытно, что и значения постоянной С для этик промежутков будут Различными. для первого из ник С= О (в чем убеждаемся, полагая 27О ГЛ. ЗУ. ИССЛИДОВАНИВ ФУНКЦИИ С ПОМОЛ)ЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ [232 л и х=с), а для двум другля имеем, соответственно, С= — или С- — — [что легко 2 2 усмотреть, если, например, устремить х и — или + ). Нсе эти состиошслия также могут быть доказаны элементарно.
Замечание. Значение теоремы 1 проявляется в теоретич е с к и х исследованиях и вообще в тех случаях, когда функция задана так, что из ее определения непосредственно не вытекает, что она сохраняет постоянное значение. Подобные случаи нам не раз встретятся в дальнейшем. 132. Условие монотонности функции. Выясним теперь, как по производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции в данном промежутке. Остановимся сначала на случае функции, монотонно возрастающей в широком смысле, т. е.
не убывающей (или монотонно убывающей в широком смысле, т. е. не возрастающей) Щ. Теорема л. Пусть [бункиия у(х) определена и непрерывна в промежутке д' и в и утр и него имеет конечную производную ["(х). Длл того чтобы Лх) была в с" монотонно вотраслилощей (убывающей) в широком смысле, необходимо и доппаточно условие ,)'(х)и 0 (~0) внутри Ф'*). Н е о б х о д н м о с т ь. Если Дх) монотонно возрастает, хотя бы в широком смысле, то, взяв х внутри Ж и придав ему приращение Ах»О, будем иметь: Ах+Ах)Ф*ЯХ), О, и в пределе, при г[х О, получим 7'(х)-0.
Достаточность. Пусть теперь, обратно, дано, что у'(х) 0 внутри Ю. Возьмем два значения х' и х" (х' х") из промежутка сь и к функции ях) в промежутке (х', хп) применим формулу Л а г р а нжа: )'(х") - )'(х') =)'(с) . (х" — х') (х' с < х"). Так как )'(с)-0, то Ях") 7"(х'), н функция Лх) будет возрастающей, по крайней мере, в широком смысле. До сих пор для функции Дх) не была исключена возможность сохранять в некоторых промежутках и постоянные значения, а для ч) Хотя формулируем теоремы мы параллельно и для возрастающих и для убыяэюшия фулялив, ло при дсяаэатсльстяе ограничиваемся ляшь случаем возрастаиия. 1221 27! $ ь изучвние хОдА нзманания Фъ'нкции ее производной — обращаться в этих промежутках тождественно в О.
Если мы эту возможность исключим, то придем к случаю возрастания (или убывания) в строгом смысле. Теорема 3. При сохранении тех же предположений относительно непрерывности Функции Ях) и существования ее производной 7"(х)„ для того чтобы Лх) была монотонно возрастающей (убывающей) в строгом смысле, необходимы и достаточны условия: 1) /'(х)-0 (~0) для х внутри Х. 2) у'(х) не обращается тождественно в 0 ни в каком промежутке, составляющем часть Ж. Необходимость.
ЕслиУ(х) возрастает в промежутке К, то по теореме 2 имеем у"(х)-0, так что условие 1) выполняется. Выполняется и условие 2), так как, если бы производная обращалась в 0 в некотором промежутке сплошь, то ло теореме 1 в нему'(х) была бы постоянной, что противоречило бы предположению. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполняются условия 1), 2) теоремы. Тогда, в силу теоремы 2, функция у'(х) является, во всяком случае, неубывающей. Если взять в Ю два значения х' и х" (х' х"), то будем вметь не только у'(х') ~Дх"), 1(х')~Ях)*в1(х") для х в [х', х").
но и (2) Докажем, что знак равенства в (1) на деле осуществиться не может. Если бы было Ях') =у'(х"), то, ввиду (2), получили бы ~(х') =~(х) =Кх'") для х в [х', х"), т. е. функция Ях) была бы постоянной в промежутке [х', х")„и мы имели бы у'(х) =0 в этом промежутке сплошь, вопреки условию 2). Итак, Лх') у(х") при х' х", т.
е. функция у(х), в строгом смысле, возрастает. Этим теорема доказана. Установленная связь между знаком производной и пап р аале ни емм изменения функция геометрически совершенно очевидна„есин вспомнить [91, 92), что производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею — идет ли вверх нли вниз и сама кривая (рис. 54). Однако в отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, т.
е. производная — даже в строгом смысле— возрастающей (убывающей) функции может для отдельных значений х обращаться в О. П р и м е р ы. 1) Простейший пример последнего обстоятельства досташшет фувкция 1(х) =х51 оиа возрастает, и тем ие менее производиаа ее у"'(х) = Зхз при х-0 обращается в О. 2) Аналогично, возрастающей будет и фулкция у (х)=х — 5пзх, ибо ее производвая у '(х) -1- соа х ие отрицательна, обращаясь в 0 для зиачеиийх=2хх(Х=О, +1, ~2, ...). 3) Накоиев, чтобы показать, что для возрастающей фуикции производная может даже в конечном промежутке обращаться в 0 бесконечное множество раз, рассмотРим фувкшпо 1 1 ял —— д я 1(0)=0. Очешщио 1пп у(х)=0, +е так что ваша фуакция непрерывна и при х = О. Имеем, для х я 0: 1 1 ял —— 11 1 / '(х) = в ° ~ 1 — со5 — ! — ~0, х! т' 1 причем зта производиая обращается в 0 при х = — (х - 1, 2, 3, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
