Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Если низкой производной является производная четного порядка, функция в точке ха имеет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли эта производная отрицозпельна или полохсительна. Напрпмер, лля функцнн у(х) = ах+ е а+ 2 соз х точка х = 0 является стационарнпя, так аан а эгон точке обращается а нуль производная Е(х)=ех-е х-2з(ах. Далее: Е'(х)=е"+е х-2 свах, Е'(0)=0; Е"(х)=в"-в "+2ипх, Е"(0) 0; Ггцх) е" + е х4-2 соз х, узч(0) 4.
288 гл. гч. исслвдовлнив пункции с помоп1ью пвоизводных 1129 Так как в вуль ые обратилась первой проюводыая четв ого порвдка, то ыалицо экстремум, а имевио мвввмум, ибо узы(0) О. 3 а м е ч а и и е. Хотя выведеилый вьипе хритерий решает вопрос об мстремуме в весьма широком классе случаев, во. теоретически говоря, ои все же ие является всеобъемлющим: йулкция, ие будучи тождествевио посгоявиой, может иметь в окрестности испытуемой точки проюводвые всех порядков, которые, одиако, в этой точке все зараз обращаются в нуль. В качестве примера рассмотрим (вместе с Коши) следующую функцию: т Пх)=е * (при хыО), у(0)=0. Пры х 0 ола имеет провзводыые всех порядков: 1 1 2 -р г 6 4) -р т '(х) = — е ",,Г(х) = ~ — — + — ! е хэ 1" 4 и, вообще, 1 Г!з -р 1(а)(х)-Ри ~ — ~.е (л=1, 2, 3, ...), х (9) 1 Пх) -у"(0) х — 0 при х 0*), х т и е так что ~'(0) = О.
Допустим, что доказываемое утверждеыые верыо для всех производных до я-го порядка включительно. Тогда (см. (9)! 1 (1) у(л)(х) — у(л)(0) х ( ху 0 при х О, х с поскольку числитель представляет собой сумму членов вида — . Зыачит, хм и у(а+')(0)=0. По методу матпыатической юшукцви утверждение оправдало полыосгыо. Хотя в ело средствевыо асио, что давыая фуыкция при х=О имеет миыимум, ио установить этот факт с помощью рассмотревия ее последовательных производных в этой точке — ые удалось бы. 139. Разыскание наиб ель шик и илим еыъшик выачеи ай. Пусть функции Лх) определена и непрерывна в конечном замкнутом про- ') Напомвим, что е' при х + будет бесконечно большой высшего порядка, чем любая степень х", т. е. ха !йп — 0 т + еа 1 Щ.
Здесь роль т играет — (при х»О). хэ где Р„(х) есть целый миогочлев (степеви Зл). В абщиости этого закона легко убедиться по методу математической индукции. Установим теперь, что и в точке х - 0 для вашей фувхции существуют провзводиые всех порядков, причем все равиы нулю. Действительно, прежде всего, 139) 1 ь изучпнин ходя измннпния пункции 289 межутке 1а, Ь). До свх пор мы интересовались лишь ее максвмумамн и минимумами, теперь же поставим вопрос о разыагании н а и б о л ьшего и наименьшего извсехзначений,которыеонапривнмает в этом промежутке*); по 2-й теореме Вейерштрасса (Щ такие наибольшие и наименьшие значення существуют. Остановвмся для определенности на наибольшем значении. Бели оно достигается в неко-, торой точке между а и Ь, то зто одновременно будет одним из максимумов (очевидно, наибольшим); но наибольшее значе- () ние может достигаться и на одном Рис.
6З. из концов промежутка, а илп Ь (рис. 63). Таким образом, нужно сравшпь межг~ собой все максимумы функцииЯх) нее граничные значения у(а) и ДЬ); наибольшее из этих чисел и будет наибольшим из всех значений фувхции у'(х) в (а, Ь). Аналогично разыскивается и наименьшее значение функции. Пусп; например, раэысквваются вавбольшсе и вавменьшее значения функ и Зпт цину(х) = эшэ к+ соэз х в промежутке ~ — —, — 11; два мввжмума, равных 1, больше граничных звачевяй У~ — — ~ У~ — ~ О, следовательно, 1 и будет наиболыпим зва- 4! (4~ чевием Функции в уэвзаниом промежутке.
Минимум, равный 0,7 ..., болыпе граничных значевпй, так по наименьшем значением будет О. Для промежушп Зяэ —, — 1 в качестве наибольшего значения првшлось бы взять болыпвй из двух 4 21 и Зп максимумов 1 и — 0,7 ..., доствгаемых прп х- — и —, ибо на концах првиимают- 2 4 ся значения УЦ-0,7 ... и Г~ — ~- — 1, мевышы, чем 1.
Наименьшее эввчепве (41 (2) доствгается иа правом конце, в то же время, при л-л. совпадая с минимумом. Ясли желают взбежать исследовавиа ва максвмум плв минимум, то можно поступить иначе. Нужно лшпь вычислить зпвчевкя Функции во всш аподозрительиых» по экстремуму точках и сравнить вх с граввчвыми эначелнжев у(о) и у"(Ь); наибольшие и ваимевыпие из згвх чисел, очевидно, и будут вавболыпим и вавмевьшвм ю всех значений Функции.
л Зп) (и) Напрвмер, для промежутка [- —, — 11 сравниваем значения 7(0)-1, У~-~ 4 41 (4~ -0,7 ..., у"Н -1 с гравичвымв у"Н +) -О, а для промепутка ~-, — 1 ° ) Таким образом, мы сохраняем за термином м а к с и м у м его «локальныйл смысл (наибольшее значение в непосредственной окрестности соответствующей точки) и отличаем его от наибольшего значения Фувкцви во всем рассматриваемом пгомежутке. То же относвтса к минимуму и наименьшему значению 19 Г.
М. Еяктевгалыь и 1 2ЗО гл. тч. исслндовянип етункпии с помошью производных 1140 /и) т'5я) сравниваем числа У~-)-1, Лл)= — 1, У~ — ) = -0,7... с граничными значениями Гн 0,7 ... н+) -1. -,х 3 а м е ч а н и е. В прнклапных задачах чаще ясего ястречается простой случай, когда между а и Ь оказывается шппь одна тшодозрительнавт точка х,. Ясли в этой точке функция имеет максимум (минимум), то без сравнения с гра- ничными значениями ясно, что это тт и будет наибольшее (наимепьшее) значение фуякцни в промежутке (см.
рис. 64). Часто в подобных случаях оказыяается более простым проюлести исследование на максимум и минимум, чем вьгшслять и сравнивать частные значения функции (особенно, если в 27 состав ее выражения входат буквенные постоянные). Важно подчеркнуть, что сказанное приложимо в полноймере и к от- х крытому промежутку (ш Ы, а а таске к бесконечному промежутку.
140. Задачи. Изложим теперь, в виде примеров, ряд птцач из разных областей, решеняе которых приводится именно к разысканию наибольшего или наименьшего значения функции. Впрочем, чаще всего интерес представляют не столько сами зтп значения, сколько те точки (те значения аргумента), которые доспшшпот их функпяи. 1) Из квадратного тшста жести со стороною а, вырезая по углам равные кеадраты и сгибая края (рис. 6эт, составляют прямоугольную открытую коробку.
Какполучитъкоробку наибольшей вместимости7 Волн сторону вырезаемого квадрата обозначить терез х, то объем у коробки выразится так: Ьх у-х(а-2х)', причем х изменяется в промежутке 1 ° 1 ат , — — а-Лг— О, -~. Вопрос приаелся к нахождению нанболь- ' 2Е' шего значевик функции у в этом промежутке. Так как производная у'-.
(а- 2х) (а- бх) м е ж д у а а 0 и — имеет единственный корень х=-, то убедив- 2 6 шись в том, что это значение доставляет функции максимум, одновременно получаем и искомое наи- Ряс. 65. большее значение. Илн иааче: при х=- имеем 6 2ав а у- —, в то ареъш как граничные значения у равны О; следояательпо, при х=-, 27' 6 дейспштелъно, попучаегся наибольшее значение для у. 2) Дано бревно с круглым сечением диаметра тт'. Требуется обтесать его так, чтобы получилась балка с прямоугольным сечением л а и б о л ъ ш е й и р о чности. У к а з а н и е.
В сопротивтюнии материалов усталавлняается, что прочность пршяоутольиой балки пропорциональна произяедаппо ЬЬ', где Ь вЂ” основание прямоугольника в сечении балки, а Ь вЂ” его высота. 1401 1 !. изучвнин хода изминвния пункции Так как ЬЗ-4З-ЬЗ, то речь ивет о иаабольшем значении дла выражения у= -ЬЬз-ЬО!з-Ьз), причем анезависимая аврамовнам> Ь изменяется в промежутке (О, 4). Провзводвая у' с!з-ЗЬз обрапвются в нуль лишь однажды внутри этого Ы промежутка, в точке Ь вЂ”.
Вторая производная у"- — 6Ь О, следовательно, )з в указанной точке достигается максимум, а с вим и наибольшее значение. В 112 При Ь вЂ” будет Ь=Н ~ —, так что г1:Ь:Ь !/3: !!2:1. Из рис. 66 видно, г как построить требуемый прамоугольввк (дааметр разделен на три равные частщ в точках депеши восставлеша перпендикуляры). В строительном деле обычно предписывается отношение Ь: Ь - 7: 5; это и есть приближенное звачевве !'2ъ1,4 ...
Рве. 67. 3) Вокруг полушара радиуса г описать прямой круговой конус н а и м е н ьш е г о о б ъ е м ц при этом предполагается, что основания полушара и конуса лщкат в одной плоскости и козщелтрнчвы (рис. 67). Здесь нужно еще рационально выбрать независимую переменную; пусть ею будет угол р при вершине конуса. При обозначениях чертвка будем вметь Л- г г - — —, Ь- —,, так что объем ковуса сокр 3!и р 1 — лгз 1 3 е = — лйзЬ 3 соФВ зщр Для того чтобы объем е имел наименьшее значение, очевидно, лузою, чтобы выражение у=соззрзшу, стоящее в знаменателе, получило свое иаи- большее значевяе, при изменении р в промежугке ~О, — 1!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
