Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Пусть, скажем, Лх) Лхв), Лх) У(х) Полагая х ц,х,+д х„умножвм обе части первого неравенства на ц„а второго на ця и сложим. Мы получим ц1 Ях,) + дэ ~(хт) . у(хь) =1 (ц, х, + дяхф, что противоречит выпуклости функции у'. Этим наше утверждение доказано. б'. Если промежуток (хт, хД, где х, х, содержшпся в промежутке Х, в котором функция 7(х) выпукла, то соотношение (1) выполняется либо всегда со знаком равенства, либо всегда со знаком не- равенства. Возвращаясь к обозначениям рис. 71, геометрически зто можно выразить так: дуга А,Ав либо с л и в а е т с я с хордой А,А„либо же (эа исключением концов) вся лежшп иод хордой.
«) Нсе сформулированные в таблице утверждения очевидны из чертежа, Пусть, напрнмер, в первой строке из предположения относительно 7' мы хотим вывести заключение относительно я. Положим Ях) У„Яхв)=Ув, так гю х,-к(У1), хя=б(УД. Имеем, по основному неравенству (1) Лж+чвхя) ч1'Лхэ)+чв У(хэ)=ц1у1+чяу . Так как, по теореме об обратной функции [83), функция я(у) также будет возрастающей, то я(цгу1+ову )в к(Яу хг+дэхв)) а я(у1)-ьц .я(уя), что и доказывает вогнутость функции я (см. (1а)) *).
5'. Выпуклая в промежутке Й функчия Лх), отличная от постоянной, не может достигать наибольшего значения внутри этого промежутка. Допустим противное: пусть функция достигает наибольшего значения во внутренней точке х промежутка. Так как функция отлична от постоянной, то зту точку можно заключить в такой промежуток (х„хв): ззк гл. зч. исслвдовлнив езнкции с помощью пеоизводных 1143 Для доказательства рассмотрим линейную функцию (3), которая в точках х, н х принимает те же значения, что и функция у(х); для краткости обозначим эту функцию через 1(х). Разность у(х) =у'(х) — 1(х) =у'(х) + [- 1(х)], 143. Условия выпуклости функции.
Учитывая (2) и (2а), можно основное неравенство (1) переписать так: у(х) ~ ' Лх,) э ' Дхз) или — более симметрично— (хз — х)Дхз) + (хз — х )Лх) + (х — х )у(хз) ~0, (4) Наконец, эту условие может быль записано и с помощью определителя: 1 х, У(х,) 1 х Дх) 1 хз ~(хз) ~0. (5) Во всех случаях предполагается, что х содержится межцу х, и х„для опреде- гз ленности будем впредь считать х,. хз. Ряс, 72.
Заметим, попутно, что условие выпуклости функции в форме (5) получает непосредственное геометрическое истолкование, если вспомнить, что написанный определитель выражает удвоенную плошадь г1.4,ААз (рис. 72) с плюсом именно тогда, когда треугольник положи- ввиду выпуклости функций у'и -1, тоже будет выпуклой [2'). Тогда либо ц(х)-=0 в промежутке [х„хз), либо этого нет. В первом случае Ях)ж1(х) в этом промежутке, т.
е. дуга сливается с хордой, и соотношение (1) выполняется всегда со знаком равенства. Во втором случае во всем промежутке (х„хз) должно быть ц(х) О, ибо, если бы функция р принимала в этом промежутке и неотрицательные значения, то она достигала бы своего наибольшего в промежутке [х1, хД значения в н у т р и этого промежутка, что для отличной от постоянной выпуклой функции невозможно [5').
Итак, внутри промежутка Дх) 1(х), кривая лежит п о д хордой, и соотношение (1) выполняется в с е г д а со знаком неравенства. Если для лю бого промежутка [х„хз), х х, содержагцегося в Ю, соотношение (1) вьтолняется со знаком неравенства, мы будем Функцию у(х) называть с т р о г о в и и у к л о и . Аналогично устанавлввается понятие строго вогнутой функции. Эта терминология применяется одновременно н к кривой у =Лх).
143) 1 з. выпуклыи (и иогнутын) оуикции тель но ориентирован, т. е. периметр его Ат-А-А описывается против часовой стрелки. Отметим особо, что, если речь идет о строгой выпуклости, то во всех этих условиях знак равенства должен бьнпь исключен. Удобные для проверки условия выпуклости функции у(х) получаются, если привлечь ее производные. Теорема 1. Пусть функиия 7(х) определена и непрерывна в промежутке К и имеет в нем конечную производную у'(х). с(ля того, чтобы Ях) была выпуклой в К, необходимо и достшпочно, чтобы ее производная 7'(х) возрастала (в широком смысле).
Необходимость. Пусть функция у(х) выпукла. Предполагая х - х х„препишем условие (4) в виде: У(х) — Пх,) Пхе) -У(х) (6) х-х, х,-х Если теперь устремить здесь х к х, или к х, то в пределе, соответственно, получим (7а) У(хд -У(х,) х,-х, *) В ивтересак исследующего нодчеркнеы, что ирн выводе неравенств (7а) и (7б) использовано было т о л ь к о существование лроизводноя, соответст. венно, в точке х, вли х,. Пд-Пд ') (76) х,-х, откуда у"'(х,) К(ха), так что функция у'(х) действительно оказьтвает- ся возрастающей (в широком сьпгсле). Достаточно ст ь. Предположим теперь выполнение этого последнего условия.
Для доказательства неравенства (6) применим к каждой из его частей формулу конечных приращений (112] У(х) -У(хд с У(хд -Ях) х-х, ' х,-х причем х,- с,- х 8з х . Так как, по предположению, Ят)~7'Я, то соотношение (6), действительно, имеет место, а из него можно восстановить соотношение (4), обусловливающее выпуклость функции Лх). Теорема 2. Пусть функвия Ях) определена и непрерьевна вместе со своей производной т'(х) в промежутке Х и имеет внутри него конечную вторую производную 7'"(х).
Для вьтуклости функиии Лх) в Х необходимо и достаточно, чтобы в н у т р и Ю было у "(х) О. (8) В связи с предыдущей теоремой, достаточно применить к фуик- пни 7'(х) теорему 2 и' 132. 300 гл, РД ИССЛНДОвлинл ЕуНКЦни С ПОмощЬЮ пвсиэвОЛНЫх [143 Для вогнутости функции аналогично получается условие У"(х) .О. Таким образом, требование Г(х) -О («О) (9) заведомо обеспечивает с т р о г у ю выпуклость (вогнутость), ибо исключает возможность для функции Дх) быть линейной в каком бы то ии было промежутке !142, 6'!. Теперь сразу облегчается построение любого числа примеров как выпуклых, так и вогнутых функций: 1) Функция а" (а» О, он !) является выпукл о й в промежутке (-, + ), так как (а")"=а" Ол а)э~О; 1 2) функция 1пх вогнута в промскутке (О„+ ), ибо (!их)"= — — «0 (ср.
142, 4'); х' 1 3) для функции х !и х (а том же промежутке) вторая производная — О, н функция выпукла; х 4) лля функции х' (в том же промежутке) вторая производная равна г(г — 1)хг — '; отсюдавидно,чтоприг 1иг Офуикция выпукла, априО г 1 вогнута*), ит. д. Во всех этих примерах фактически имела место с т р о г а я выпуклость или вогнутость. В заключение, мы укажем еше одну важную геометрическую характеристику выпуклой функции Ях). При этом, вместо х о р д ы У графика функции у=Дх), которую мы рассматривали в и' 141, здесь мы привлечем крассмотрению касательную в любой точке графика йг (рис.
73). Теорема 3. Пусть функция У, =г(хг) Лх) определена и непрерывна в промежутке Х и имеет хг в нем конечную производную Ряс. 73. у"(х). Длл вьтуклости Функции Лх) необходимо и достаточно, чтобы ее график всеми точками лежал н а д любой своей касательной (или на ней). Необходимость. Касательная к кривой у=7(х) в точке Ае(х„у(хе)) имеет угловой коэффициент Г(хе). Уравнение касательной напишется так: у = !'(х ) + ! '(хе)(х — х ). е) Этот првмер дает возможность — попутно — показать, что произведение двух выпуклых функцвй может не быть выпуклой фуикцвей; так, фуаклия -хиз выпукла, втовремякакееквалрат,т.е.фуикцияхзнокзоывается вогнутой, 1441 5 2. Выпуклые (и Вогнутые) Функции ЗО1 Надлежит показать, что выпуклость функции 7(х) влечет, для любых точек х, и х из Ю, неравенство Х(~) Х~()ФГ( )(х-х).
(10) Оно равносильно двум таким Лхе) — — для х» хе Ях) — Яхр) (11а) х-хр Лхе)- — х х для х хе, Ях) -Ях ) (11б) р а зти неравенства совпадают, соответственно, с неравенствами (7а) н (7б), полученными при доказательстве теоремы 1 (именно в предположении выпуклости функции), если в первом из ннх положить х =х, х,=хе, а во втором хэ — — хе, х,=х. До с тат очно с ть. Предположим, наоборот, что выполняется неравенство (10) или — что то же — неравенства (11а) и (116). Тогда по ннм можно восстановить неравенства (7а) и (7б), откуда следует, что у'(хт) 7"'(хз), так что производная 1"(х) будет возрастающей функцией.
Это же, в свою очередь, как мы знаем (теорема 1) влечет за собой выпуклость функции ) (х). Замечание. Обращаем внимание читателя на то, что фактически (см. сноску на стр. 299) необходимость неравенства (10) — для д а н н о г о хе и произвольного х м хе — доказана в предположении лишь существования производной 7'(хе) в самой точке х,. 144. Неравенство Иенсева и его приложения. Согласно определению выпуклой функции (см. (1)), имеем Ядрхр+Чрхр)~41 Я(хД+д, ~(хр).
ф,п-о; Чгрч*=)) Можно доказать, по для выпуклой функции имеет место более общее неравевство (которое связывают с именем И еи се на): У(дрхгфдрхр-Ь...+длил) дг 3(х1)ФЧ, Х(хД-Ь. ° ° +Чп'У(хл) (рь...,р Е; И+...+р;)) (12) дл Чл+1 (Чп ' Чпе1) хп -. '— хл+1); (Ч1 1"Члм ф1 Ьдпе1 каковы бы ни были значения х„хр, ...„хп ю основного промежутка Л;. Для я = 2 оно, как мы знаем, верно; допусгнев теперь, что оно верно для какого-либо натурального числа л-2, докажем, что оно перно и дпя л 4 1, т. е. что, взяв л+ 1 значеНвйХв..., Хп, ХлЬ 1 ИЗ Ь ИЛ 4 1 положительных чисел до..., Чп, длФ„СУмма кОтОрых равна единице, будем вметь Яд,х,+.
° +Чляп-~-дп+гхл+1)ждг Ях,)+. ° +Чл 7(хп)+Чп).;1(хп+,). (13) С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых дпхп-ьдпе,хпе, одним слагаемым 302 Гл. !у. исследОВАние Функзтззи с пОмОщью пРОизВОдных [144 зто даст возможность воспользоваться неравенством (12) и установитЗч что выражение в (13) слева не превосходит суммы ч Чаьг е у(()+" +(ча-ьч.+) )! х + — +1). Остается лишь применить к значению фунюши в последнем слагаемом основное неразжнство (1), чтобы прцлти к (13). Таким образом — по методу математической нндутшп1 — НеРавенство (12) полностью оправдано. Обычно, вместо множителей дп сУмма которых Равна едиатщЕ, ВВОдЯт ПРОИЗ- вольные положательные числа ро Полагая в неравенстве (1 ) РЗ ч! = Рг+ ° ° ° -ьра приведем его к виду Едх!'[ Ерпт"(х!) (--')- ' ' ЕР1,[ Ер! (!2 ) В случае вогнутой функции У, очевидно, знак неравенства нужно измешпь на обратный.
Выбирая различными способамн функдию Е макно получать важные конкретные неравенства — и притом все аз одного источника! Приведем и р и м е р ы. 1) Пусть у(х) - х", где х ~ О, /с» 1 (в ы и у к л а я функция). Имеем (Ер;х;)" (Ер,)а ' ЕР1х,. 1 а; Заменяя здесь р! на Ь|, а х; на —, придем к уже известному нам иеравен- 1 1 — Т ь!' ству Коши — Гель де р а ! х Еа,Ь;~(Еа~Д™ [ЕЬ| 1 [ср. 133 (5)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
