Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 60
Текст из файла (страница 60)
137[. х'+1 Непрерывна в (-, Ф ). Прн х 2, очевидно, !пну=1: горнзонтальнаа асимптота. Вторая производная (х+ 1)(хк -4х-1- 1) у"- -10 (хк+1)4 зО!4- З 57З 2,4! -0,4! 0 0,27 -0,ОЗ О О,ох одз 0,55 ! 7,04 б 4,40 р'=0 мкк. р'=0 мак . перс. гиб к '! с" гиб График на рис. 61. Небольшой масштаб здесь мешает отчетливости чертежа, особенно в промежутке изменения х от 2 до 5; эта часть графика представлена в увеличенном масштабе.
Дадим теперь ряд новых примеров. (х — 1)4 6) у= (х+ 1)2 обращается в нуль при х= -1, 2+ 7'3 ='241 и 2- )г3 с-В 27, меняя знак (перегиб). Таблица: 1491 1 3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Функция обрицаетск в бесконечность (- ) при х= — 1. так как при х - 4= имеем у — 5хг42х — 1 — 1, у — х=- в 5, х (» 1)г то кривая имеет асимптоту: г"= х — 5.
Вычислим производные; (х-1)г(х+5) 24(х — 1) у = (3-.1 1)г ' (3.41)4 у" = Первая обращается в нуль при х.— — 1 (перегиб) и при х = — 5 (максимум); других точек перегиба нет. По таблице; — 1 ( 0 1 1 5 ~ 1О = — 10 — 5 ! — 3 0 1,73 6,05 у= — 16,4 ' — 13,5 — 16 У=.о 44:. гтиа 6 сгроим график, с учетом асимптоты (рис. 79). )гг хг 7) у= (а О). )' х-а По этой формуле функция получает вещественные значения, лишь если хжО или х а; при х=а функции обращается в бесконечность, Считая х а, имеем при х — — -1, х ))х — а х у х Х '1'х- а а а Х ~Гх4- )гх — а так что, со стороны гюложительных х, кривзл приближается к а асимптоте у= х+ —.,Аналогично 2 Рис.
79. а х другая асимптота у — х —— 2 получается со стороны отрицательных Производнан х'~х — — а) у =— х — — а у (х — а)г ( 2 ) 1 (х — а)г 3 обрашаезса в нуль при х †.— а, мелка знак минус на плюс (минимум). Она обра- 2 щается в нуль и при х=О, но это — конец промежутка ( —, О), в котором мы функцию рассматриваем, и об экстремуме здесь не может быть и речи. 314 гл. щ, исследовании еункции с помощью пгоизводных 1160 Вторая производная 3 — а'х 1 4 у"= —.— у (х-а)э она»0 и нрн хмО, и при х»а, так что кривая всегда выпукла (вниз).
Вычи- 3 слив еще ординату у - 2,60а, отвечаюпэуго х = — а, 2 мы имеем уже достаточно данных для построения графика (рис. 80). 11'У-хэ 8) у= ~/ — (а 0). Зх Рнс. 81. Рнс. 80. Переменная х может изменяться лишь в промежутке (О, а]; при х = 0 функция обращается в бесконечность. Производная аэ42хэ 1 (х у) У=— бх'у 2 (у х! всегда отрвцательна, так что функция убывает. При к=а производная у' Вторая производная 1 (1 1) у" — (у-ху') ~ — — — ~ 2 (хэ у'~ и обращается в нуль, меняя знак, лишь прн у=к= — эь0,63а (перегиб); при этом, )э4 очевидно, у' — 1.
График представлен на рнс. 81. 0 4. Раскрытие неопределенностей 0 150. Неопределенность вида —. Мы применим теперь понятие 0' производной и доказанные в Я 3, 5 предшествующей главы теоремы для раскрытия неопределенностей. Последующиетеоремы 1 — 4 в основном принадлежат Лопиталю (О.
Р. де 1'Нозр(- Ые) и И. Бернулли (УОЬ. Ветлой(). Высказанное в них правило 315 1 Ь РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕИ Переходя здесь к пределу при х а, н получим требуемый результат. Примеры. 1) Найти предел ах а — х 1ип «-о 1и (е — х) Ьх — 1 По теореме он равен вычисленному при х= с отношению производных 2а а«4 а-х 1 е-х «=о 1 а — 1 1 —— а 2)Нй прд )/ах — х' — (1х 1ип 1- ух Он ровен 1 — 2х' 1 а- 3 1'ха 4'1'х «т обычно называют правилом Лопиталя, Сначала мы зайо мемся основным случаем неопределенности вида-, т. е. исследуем вопрос о пределе отношения двух функций Лх) и е(х), стремятцихся к нулю (при определенном предельном переходе х а).
Качнем с простой теоремы, непосредственно использующей самое понятие производной. Теорема 1, Пусть: 1) функиии у'(х) и я(х) определены е промежутке [о, Ь], 2) )пп Т(х) =О, йш я(х) = О, 3) сущестеуют коне тые производные «-а «а Т'(а) и е'(а), причем и'(а) мО.
Тогда Г(х) Т(а) 1пп — =-,—. „. а Р(Х) =Е'(О) '- До казательство. Существование конечных производных Т'(и) и е'(а) обеспечивает непрерывность функций у'(х) и е(х) в точке а. В силу 2) имеем: у"(а)=1пп Ях)=0 и «(а)=1ипе(х)=0. Ввиду того, «а «а что ег(а) мО, по лемме п' 109, «(х)мО дпя значений х, достаточно близких к а; ими мы и ограничимся, так что отношение имеет у (х) Р(х) смысл. Теперь зто отношение можно переписать в виде Т(х) — ~(а) У(х) Ф (х) — Т(а) х — а Е(х) Е(х) -К(а) Р(х) -Е(а) ' х-а 316 гл. сч. исслвловлнии оинкпни с помол(ью пеонзвслнык [150 До казательство.
Приложим к каждой нз функций у(х), я(х) в промежутке [а, х) (а хпЬ) формулу Тейлора с дополнительным членом в форме П е а н о (см. 124, (10а)). Ввиду 2), 3) и 4), получим У( Хо)+х где а ир О при х о. Второе из этих равенств, вследствие условия б(")(а),-сО, прежде всего показывает, что к(х) отлично от нуля, по крайней мере, для значений х, достаточно близких к и. Если этими значениями ограничиться, то отношение — имеет смысл. у(х) в(х) Тогда из написанных равенств непосредственно и получается требуемый результат: Р(х) .
1(лХо)т.х з" (кКа) „, е(х) „, Ф"Ха)+Р в('Хо) ' Н р и ма р. 3) Найти предел ех — е — х — 2х 1ип х. а х а[п х Здесь имеем: Г(0).=0; В(х)=х-них, В(0)=0; /"(О) = 0; В'(х) = 1 — соа х, В'(0)-0; У"(О) =0; Е"(х) =Ип х, В"(0)=0; У"'(О) = 2; В'"(х) = соа х, В"'(О) = 1. у(х) = сх с — х з"'(х)=ах+с х 2 у" (х) = сх с х У"'(х) =си.(.с-х Следовательно, искомый предел равен 2.
Хотя в большинстве случаев для раскрытия неопределенности 0 вида — уже достаточно доказанных теорем, но на практике обычно удобнее следующая В том случае, когда одновременно ['(а) =О, д'(а):=О, можно воспользоваться следующим обобщением теоремы 1, привлекающим к рассмотрению производные высших порядков: Теорема 2. Пусть: 1) функции 1'(х) и д(х) определены в промежутке (а, Ь), 2) 1пп1'(х) О, [ппя(х)=0, 3) в промежутке (о, Ь) существуют х О а конечные производные всех порядков до (и — 1)-го включительно 1'(х), )'"(х), ..., 1'("-т)(х), «'(х), «"(х), ..., й(" т)(х), 4) при х=о они все обращаются в О, 5) существуют конечные производные з Ща) и д(к)(о), причем е(")(а) мО.
Тогда У(х) У(лХо) [но — = —— с в(х) е(ада) ! 4. РАСКРЪ|ТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ зщ Теорема 3. Т!ус!па: 1) функции Т(х) и Х(х) определелы в промсакутке (а, Ь), 2) !нп Ях) = О, 1пп «(х) =О, 3) в промежутке (а, Ь) суи!ествуюл| х а х а конечные производные Т'(х) и е'(х), причем я'(х) ыО, и наконец, 4) существует (конечный или нет) предел 1!щ~, )=К. а В(х) Тогда и Т(х) 1нп — — = К. , в(х) Доказательство. Дополним определение функций Т(х) н фх), положив их прн х=а равными нулю: Т(а)=я(а)=-Оа).
Тогда эти функции окажутся непрерывными во всем замкнутом промежутке [а, Ь): их значения в точке а совпадают с пределами при х а [ввиду 2)1, а в прочих точках непрерывность вытекает из существования конечных производных [см. 3)). Применяя теорему К о ш и [114), получим а (х) ! (х) — у (а) Т'(с) В(х) В(х)-В(а) ' В'(с) где а .с х. То обстоятельство, что е(х)пО, т. е. Е(х)ыя(а), есть следствие предположения: д'(х)ыО, как это было установлено прн выводе формулы К о ш и.
Когда х а, очевидно, и с а, так что, в силу 4), Г(х) . Г'(с) х «в() с «100 !нп — =!Пп —,— = К, что и требовалось доказать. Таким образом, доказанная теорема сводит предел отношения функций к пределу отношения производных, если последний с у щ е с т в у е т. Часто оказывается, что нахождение предела отно- шения производных проще и может быть осуществлено элсментар- ньтми приемами. П ример.
4) Найти предел |ВХ вЂ” Х 1пп ЕХ 5!и Х Отношение производных последовательно уира|лается: 1 — 1 СО5' Х ! 1 — сояах 1 | соях 1-воях сон х 1-соях соих прн х О оно, очевидно, стремится к 2. Таков же будет, согласно теореме, и иско- мый предел. *) Конечно, можно было бы просто предположить заранее 4|уикшш определенными и непрерывными при х —.-а; но в приложениях иной раз удобнее формулировка условий теоремы, ланиая в тексте (см.„например, теорему за), 313 гл.
гч. исследОВАние Функции с 1юмОщью пРОизВОдных 1150 хвк«+хе" — 2ежь2е" 2хег«+ем+те" +е" — 4еж+2е" 5) 1йп — = 1ып «-с (е" — 1)е «с 3(е«1)г, е« 2хе«Зе«.!.3-1-х 1 2хе«.1-2е«-Зе«+1 = 1йы - — !йп «-с 3(е«-1)«3 «-с 2(е« вЂ” 1)е« 1, -е«-1-2хе«+1 1 2хе«-1-е«1 1ыл е" — 1 6 «-о е" 6 — !ып 6 «-о 1 1 (1+х)« — в 6) !ып = 1йп(14х)« -о х «с х — (1 Фх) !ы (1+х) х'(1 Ф х) Так как первый множитель справа стремится к е, то достаточно заняться вторым мыоящтелем.
С помощью двухкратыого применении теоремы 3 найдем, что 1 предел его равен — —. 2 е Ответ: — — . 2 Теорема 3 легко распространяется на случай, когда аргумент х стремится к бесконечному пределу: а= х (этого, разумеется, нельзя сделать в отношении теорем 1 и 2). Именно, имеет место, например, Теорезиа Зе. Пусть: 1) функцын,!'(х) ил(х) определены в лромелсутке (с, + ), где с. О, 2) 1пп у(х)=0, !Пп я(х)=О,З)суи)ествуют внроме«ч мсутке (с, Ф ] конечные производные з'(х) и «'(х), причем я'(х)мО, и, наконец, 4) сугцествует (конечный или нет) предел 1пп —,— = К.
Г(х) е'(х) тогда и 1цп — = К. з"(х) , „е(х) Теорема 1 в этом случае была бы ыеприложяма, ибо при х-О производыые числителя и знаменателя обе равны О. Что же касается теоремы 2, то, хотя с ее помощью задача могла бы быть разрешена, ио для этого потребовалось бы (в чем легко убедиться) вычислить три последовательных производных от задаывых фуыкляй. Обращаем вывмввие читателя ыа то, что здесь и отиошеыие производвых О своза представило неопределенность вида —, во раскрьпь эту неопределенность О оказалось возможаым путем элементарных преобразований. В друпш случаях может понадобиться лримеыыть теорему и о в т о р и о.
Важыо подчеркнуть, что при этом допустимы всякие упрощеыия получаемых выражеыий, сокрашевне общих множителей, использоваыие уже из вестыых пределов ы т. и. (Всего этого делать нельзя, если применяется теорема 2!) В следующем примере теорема 3 применяется последовательно три раза; после первого мы сокращаем ыа е", а после второго— отбрасываем множитель е«в знаменателе (ибо оы стремится к 1). Этим выкладки упрощаются. Примеры. 1 к РАскРытие неопуеделенностей Доказательство.
Преобразуем переменную х по формуле 1 ! х=-, 1=-. Тогда, если х +, то 1 О, и обратно. Ввиду 2), имеем х' !нп«'[(;)=-О, 1пп д~ —,)=О, а в силу 4), '~-') 1пп — — =: К. «-4-о, ~1) К функциям у[ — ) и дй от новой переменной 1 можно приме- нить теорему 3, что даст нам 0 '1-') 1--'4) '0 1пп — = 1пп —,, = !пп — =-К*), г-4о ~1) «-еоь,[1) ~ «) «-ьо а тогда и у"(х) л(х) !пп — -=К, ч. и тр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
