Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 63
Текст из файла (страница 63)
рис. 82). Это правило, посяшее имя Н ь ю т о н а, называется также методом касагнельных. Встает, однако, вопрос, где лежит значение х„получаемое по формуле (8). Ведь тот же рис. 82 показывает, что точка пересечения касательной с осью х может лежать даже вне рассматриваемого помежутка! Мы докажем, что, если значение Т(Ы вЂ” одного знака сУ"(х) (т. е. в случаях 1 и 1У), х, 'лежит между с и Ь. Действительно, так как ДЬ) и з '(Ы вЂ” одного знака, то из (8) непосредственно ясно, что х,' Ь, С другой стороны, из (7) и (8) следует: ЗЗО гл.
гч. иссльдовянип функции с помощью производных [1бб И здесь легко доказать, что хе "Е Монотонная и ограниченная переменная х„имеет конечный предел б; переходя же к пределу в (1О), с учетом непрерывносты обеих функций у(х) и у'(х), найдем: ЛР) ге — =О, откуда ЯД=О и 8-Е Рис.
84 нюпострнрует приближение к точке А со стороыы точек Т„Т„... пересечения последовательных касательных с осью х. !, Ф Рис. 84. Таким образом, и правило Ньют о ыа, повторно примененное, позволяет вычислить корень[ с л ю бой степенью то ч иост и. При этом точность уже вычисленного приближенного значения оценивается, как и выше, по формуле (6). Чтобы охарактеризовать скорость убывания разностей хл -б, вернемся к формуле (9); заменим в ней Ь через хе, а х, — через х„+,. 1 у' "(е) г х О-[ — ° —, (х -б)з. 2 Г'(ха) Обозначая через М наибольшее значение (У"(х)) в заданном промежутке [а, Ь) (и сохраняя за т его прежыее значение), отсюда легко получить теперь: М [хее, -Ц ~ — ( х — Ц-'.
(11) 2т Поскольку справа стоит х в а д р а т, этим обеспечено весьма быстрое приближение х„к 8 (по крайней мере, начвная с некоторого места), что и делает метод касательных одним ыз самых эффективных методов приближенного вычисления корня, Неравенство (11) выполняет еще одну функцию. Если точность вычисленного г зыачеыня хл уже оценена, ыапример, с помощью неравенства (б), то неравенство (11) позволяет наперед оценить точность еще невы численного значения г хе+г.
Это может оказаться полезным при решении вопроса о том, ыа каком знаке целесообразно его округлить. Обратвмся к примерам. Их решение, разумеется, предполагает использование всех вспомогательных средств вычисления, какие имеются под рукой, как-то: таблиц степеыей и корыей, таблиц умножения, арифмометра, логарифмическвх и логарифмотригонометрнческвх таблиц, натуральных таблиц трвгонометрыческих величин, таблиц для перевода градусной меры углов в раднанвую, и т, и, 1 5. НРиБлиженное 1'гшение уРАВнениЙ 1561 зная, что он содержится в промежутке (3, 4) [ср.
154]. Имеем: У(х)=х' — 2х'-4х — 7, ДЗ)= — 10 О, Г'(х)=Зхт — 4х-4 О, У"(х)=бх-4 0 Д4)= 49 О, (при 3 хье4) (случай 1); наименьшее значение /У(х)! естыи 11. Отправляемся от того из концов заданного промежутка 6=4, для которого знак функции Дх) совпадает со знаком Г"(х). По формуле (8) У<4) 9 х,=4- — =4- — =4-032...; У'(4) 28 округляя, положим х,— -4-0,3=3,7.
Так как у(х,) у"(3,7)=1,473, то, по неравен- 1,473 ству (6), х,— 1«- — — 0,14, т. е. достигнутая точность недостаточна. Далее, 11 ~(3,7) 1,473 хз = 3,7 — — =. 3,7 — = 3,7- 0,066., .; У'(3,7) 22,27 положим, х,=3,7-0,066=3,634. На этот раз Дхз)= У(3,634) =0,042..., так что, 0,042 в силу (6), хя-1 -*- — 0,004. Поэтому 11 3,630«5 3,634 и 8 3,63 с требуемой точностью. (Получение этого же результата в У-х 154 по методу хорд потребовало т р е х х ! шагов.) У=Уг ш 2) Для второго примера предложим себе решить уравнение х . !ой х = 1.
Воспользуемся этим случаем, чтобы пояснить читателю, как граф и ч ее к о е изображение функций может слуРис. жить для предварительной ориентировки в расположении корней уравнения. Значение х, удовлегворяюшее уравнению 1 1ойх= —, очевидно, представляет абсциссу точки пересечения кривых 1 и у= —. х у = 1ой х Даже грубое ик изображение (рис. 851 сразу показывает, что искомый корень лежит между 2 н 3. Это легко теперь проверять н вычислением, ибо, полагая Дх) = -х ° 1ойх-1, имеем У(2) = — 0,39793... О, У(3) =0,43136... ьО. Вычислим упомянутый корень с точностью до 0,0001. 156.
Примеры и упражнения. В этом пс мы будем пользоваться исключительно методом касательных. 1) Вычислить с точностью до 0,01 корень уравнения хз-2х'-4х — 7 =0, Очевидно, прн 2 х 3 У'(х)= !ок х+!ой е=О, 1ок е 7"(х) = — 0 х (случай 1); можно положить т = 0,7. Так как именно 7(3) имеет тот же знак, что и 7"(х), то, по формуле (8), у"(3) 0,43136... х, = 3 — — — — - 3 — ' = 3- 0,473...; ~'(3) 0,91141... положим х,=З вЂ” 047=253. Имеем У(х~)=Г(253)=00!9894..., так что х,— Ен 0,0199 «0,03. Далее, 0,7 Л2,53) 0,019894...
х,=2,53- -253- ' =.2,53-002375...; ~'(2,53) 0,83741... возьмем х, = 2,53 - 0,0237 = 2,5063. Оценим, по неравенству (6), погрешность: 7'(2,%63) =- 0,000096 .. 0,000096... хе -Е 0,0002, 0,7 т. е. 2,936! 8 2,5063. В таком случае имеем, с уже требуемой точностью, 5 = 2,5062+ е,оса . [На деле 2,5062 является избыточным приближенным значением для 8, ибо у(2,9362) 0.[ 3) Вернемся к уравнению 2"=4х, о котором уже бьша речь в 81. Мы видели там, что между 0 н 0,5 заюпочен корень этого уравнения. Это обстоятельство также легко было бы заметить с помощью графиков фующвй у= 2" и у = 4х; на рис.
86 ясно видно, что эти кривые, кроме точки с абсциссой 4, пересекаются еще в некоторой точке с абсциссой 8 между 0 и 0,5. Предложим себе вычислить этот корень с точностью до 0,00001. Имеем для 0 ях~0,5, 7'(х) = 2х 4х, Г'(х) = 2х. !п 2 4 0 У"(х)=2х !пе2 0 ю М (случай П). Здесь а = 4- [12!и 2» 3, М= 2 1п* 2 0,7,— 2т О,!2. Так как у"(О)=! имеет одинаковый знак с 7"(х), то начинаем с а=О. В салу (6), погрешность этого при- 1 значения « —, а тогда, в силу (11), можно наперед оценить погреш- 3' блаженного Ф ! 8 — х, 0,12 — 0,014. ' 9 332 гп. !м нсслвдовхзгив пункции с помощью пгоизводныи [156 156) 1 5.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИБ УРАВНЕНИЙ Поэтому вычлсленное по 45ормуле (йь) значение 1 1 х,=— =0,30... 1л 2-4 3,306852... округляем на втором знаке: х,=0,30. Пользуясь значением у'(0,30)=0,031144... но неравенству (6), точнее оцениваем погрешность: 0,031144 Ь-х,'- ' -О,О11 3 а тогда, па (П) 8 — хх 0 12 0 000121 0.000015 так что приблилшемся к требуемой точности.
Следующее приближение: 0,031144... 0,031144... х, = 0,30 — = 0,30 -~. =- 0,309897... 0,8533643... — 4 3,1466356... округляем на пятом зяаке зв сторону корня» х,=0,30990. Так как у(0,30990)= =-0,000021... О, то это значение все же меньше корня. Погрешность же его, в силу (6), на деле оказывается 0,000022 8-х',- ' «О,ОООО), 3 так что, окончательно, 8 =0,30990зо,ооюг. 4) Уравнение Гйх=х имеет бесчисленное множества корней. Это можно сразу усмотреть нз рнс. 87 — по бесчисленному множеству точек пересечения гра$ика таигенса у = гй х с прямой у =х.
Предложим себе вычислить на имен ыпий положительныйельный корень этого уравнения, кото- 5л Зл рый содержится между — и Рис. 87. 4 2 Зл Так как при х=- — тангенс обращается в бесконечность, то предложенное 2 уравнение удобнее представить в виде Д(х) =шп х — х соз х — О.
Имеем; У"'(Х) Х.ИПХмо, Ю 27; У'"(Х)=Я(ПХ+Х.СО5Х«О (СЛУЧай 1Ч). НавниаЕМ С Ь=- Зл — 4,7123889...; получим 2 Зл 2 хз = — — — = 4,7123889... — 0,2122066... 2 Зл Здесь мы сталкиваемся со следующим обстоятельспюм: в таблицах тригонометрических величин (и нх логарифмов) утлм указываются в градусах, минутах 334 гл. Ри ИССЛБДОВАНие ФунКЦИи С ЛОМО!ЦЫП пРОИЭВОДНых [35Ф и секундах; поэтому округление поправки 0,2122066... нам удобнее делать именно в этик единицах. Мы возьмем 12'10', что отвечает несколько большему числу 0,21223484... (округление в зсторову корняз), так что х, = 4,5000406...
(257'50'). Далее, У(х~) = - соз 12'10'+ 4 5000406... Зш 12'10'- - О 0291274... 0,03 г '(хг) — 4,398962...; хг — 6 — «0,012, 2,7 Продолжаем: 0,0291274... хз = 4,5000406... — ' = 4,5000406... — 0,00662!4... 4,398962... округляем поправку до 0,0066177... (22'45") и берем хз = 4,4934229... (25T27'15").
Так как 7'(х,) =- — 0,000059..., то 0,00006 — -. 0,0000223. 2,7 Таким образом 4,4934006... «6 4,4934229 . и можно положить 6 = 4,4934+ а,ееооз, 5) Сила метода Н ь го т о н а особенно проявляегся, когда промежуток, содержащий корень, достаточно сужен. Вычислим в заключение с большой точ- 1 постыл, сызжпи, до —, корень уравнения хз-2х-5=0, исходя нз промежутка ! 010 (2; 2,1), в котором он содержится. Здесь: з (х) х' — 2х — 5, 7" (2) = — 1 О, г'(2,1) = 0,061 О, 7'(х) = Зх'- 2 О, 7"(х) = бх 0 (при 2чяхм2,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
