Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Будем считать «точки» ее с л е д у ю щ и м и одна за другой в порядке возрастания параметра; если Р(1(1', то из соответствующих «точек» М', М, М' именно «точка» М лежит между двумя другими, так как следует за М' и предшествует М . При этих условиях, как легко показать, расстояния между ними удовлетворяют соотношению: ММ' = М'М + ММ", что является характерным для прямой в обычном пространстве. Уравнения «прямой», проходящей через две заданные «точки» М'(х,', ..., х„') и М'(х,", ..., х,",), очевидно, могут быть написаны в виде: х, =х,'+1(х," — х,'), ..., х„= х„'+1(х„" — х„') ( — оо (1(+ ео), причем сами «точки» М' и М' получаются отсюда при 1=0 и 1. Если же изменчть 1 только от О до 1, то получится «прямолинейный отрезок», соединяющий эти <точки».
«Кривая», состоящая нз конечного числа «прямолинейных отрезков», называется <ломаной». (162 348 гл. ч. Функции нзскольких панвмвнных 162. Примеры областей в п-мерном пространстве. Обратимся теперь к рзссмотрению некоторых примеров «тел» н «областей» в и-мерном «пространстве». 1) Множество «точек> Л4(х„ х,,„... х ) координаты которых независимо одна от другой удовлетворяют неравенствам ат ~хт ~ Ьи ая~хя~ Ьз,..., а„=хя«=Ь«, называется (и-мерным) «прямоугольным параллелепипедом» и обозна- чается так: [а„Ь«1 аю Ь;, ...; а„, Ь«Ь. При л=2 отсюда, в час~ности, получается тот «прямоуголь- ник», о котором уже была речь в п' 166; трехмерному «паралле- лепипеду» отвечает в прострзнстве обыкновенный прямоугольный параллелепипед.
Если в написанных соотношениях исключить равенство: ат(хт(ЬИ ая(хв(Ь,,..., а„(х„(Ь„, то этим определится о т к р ы т ы й «прямоугольный параллелепипед» (а„Ь»; аз, Ья;...; а„, Ь„), в отличие от которого рассмотренный выше называется з а м'к н у т ызт в). Разности Ь~ — ан Ь,— а„..., ܄— а„называют измерениями обоих параллелепипедов, а точку ( а,+Ь, л,+Ь, а„+Ь„) 2 ' 2 ' ''' ' 2 — их центром. Окрестностью «точки> Лв(хт«, х,',..., х,',) называется лю- бой открытый «параллелепипед>: (х10 31 х» + 8« хзо В х«+ 8з хоа 8 Хя«+ В ) (3) (Ьн 8з,..., Вл..>0) с центром в точке Л«; чаще всего это будет «куб»с (х',— 8, х",+8; х,' — 8, х,"+8;...1 х'„' — 8, х„"+8) В ) 0), нсе измерения которого равны (28) 2) Рассмотрим множество «точек» тИ (хт, хя...,, х„), координаты которых удовлетворяют неравенствам х, =- О, хя ~ О,..., х„= О, х, + хз+...
+ х„==. Ь ()т ) 0). При а=2 соответствующим этому множеству геометрическим образом будет равнобедренный прямоугольный треугольник, а при ») Можно рассматривать также н б е с к о н е ч н ы й «параллелепипед», для которого определяющие его промежутки(илн некоторыс из ннк) оказываются бесконечными. Говоря об л-мерном «параллелепипеде», если не сделано оговорок, мы всегда будем иметь в виду к он е ч н ы й «пзряллелепнпед». 1621 т ь основныв понятия тетраэдр (рис. 95). В общем случае его называют с им ил е ксом") (именио — замкнутым, в отличие от открытого, который получится, если в написанных соотношениях исключить равенство). 3) Наконец, множество «точек» М(х„х, ..., х,), определяемое неравенством (х,-хто)з-;(хз-х9з-»...
ч(х„— х')' г' (или ««а), если М,(хо„х.', ..., хе) есть постоянная «точка», а г — постоянное положительное число,образует замкнутую (или открытую) л-мерную «сферу» радиуса г, с центром в «точке» М,. У я Иными словами «сфера» есть множество «точек» М, «рас- 'у стояние» которых от неко- , д~/ торой постоянной «точки» М, не превосходит (или меньше) г. Само собой ясно, у х что этой «сфере» при п=2 у П отвечает круг (ср. 150), а при п=3 — обыкновенная гс сфера. у Открьпую «сферу» лю- Рис. 95.
бого радиуса г О с центромв точке М (хс, ..., ха) можно также рассматривать как о к р е с тность этой точки; в отличие от той («параллелепипедальной») окрестности, которую мы ввели раньше, эту окрестность будем называть «сферической». Полезно раз навсегда дать себе отчет в том, что если «точка» Ма окружена окрестносгью одного из указанных двух типов, то ее можно окружить и окрестностью второго типа так, чтобы эта окрестность содержалась в первой.
Пусть сначала задан «параллелепипед» (3) с центром в «точке» М,. Достаточно взять открытую «сферу» с тем же центром и радиусом г, меньшим всех д«(1=1, 2, ..., л), чтобы эта сфера уже содержалась в назвашюм «параллслепипеде». Действительно, для любой «точки» М(х„л;„, х„) этой <сферы» будем иметь(при каждом 1= 1, 2, ..., и): или хе — д; х; хоч бм так что эта точка принадлежит заданному «параллелепипеду». ») По-лат»«ни »1шр!ск означает «простой»: си мп де к с представляет собой, действительно, простейшее многогранное «тедо», с наименьшим возможным для данного пространства числом граней. ГЛ.
У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ззо [163 Обратно, если задана «сфера» радиуса г с центром в М„то «параллелепипед» (3) в ней содержится, например, при Ь,=Ь =... =Ьл= г " Гл Это следует из того, что любая «точка» М(х„х„..., х„) этого «параллелепипеда» отстоит от «точки» Мр на «расстояние» 1/ л [[ л ММр = 1~ ~(х« — хв»)Р ~[ ~~ Ь» = г «=1 «-1 и, следовательно, принадлежит заданной «сфере».
163, Общее определение открытой н замкнутой области. Назовем «точку» М'(х1, хр,..., х„') вы у тр е ни ей «точкой» множества а»1 (в и-мерном «пространстве»), если она принадлежит множеству о»к вместе с некоторой достаточно малой ее окрестностью. Из утверждения, доказанного в конце предыдущего и', следует с очевидностью, что безразлично, какого типа окрестности здесь иметь в вцду — «параллелепипедальные» илн «сферические». Для о т к р ы т о г о «прямоугольного параллелепипеда» (а„Ь,;...„ал, Ьл) каждая его «точка» является внутренней. Действительно, если (4) а, х1.
Ь«, ...,а„х„.Ь„, то легко найти такое Ь О, чтобы было а, х,' — Ь<х1«Ь<Ь1, ..., ал х„' — Ь<х„'«- Ь Ьл. 0<о <г ММр и описать вокруг М' «сферу» этим радиусом о, то она целиком будет содержаться в исходной «сферек лишь только ММ' о, тотчас же [160, (2)) ММ, ММ'ФМ'М Е«М'Мр так что «точка» М принадлежит исходной «сферек Такое же заключение можно сделать н об открытом снмплексе: х1>0, ..., х„О, х1+...
Фхл<Ь (Ь=-О). Подобного рода лтожеетво, целиком состоящее из в ну тр ени и х «точек», будем называть о т к р ы т о й «областью». Таким образом, открытый «прямоугольиьш параллелепипед», открытая «сфера», открытый симплекс — служат примерами открытых «областейн Аналогично, в случае открытой «сферы» радиуса г с центром в «точке» М„каждая принадлежащая ей «точка» М' также является для нее внутренней. Если взять о так, что 1бз) 1 е Основные понятия 351 Обобщим теперь понятие точки сгущения (52) на случай множестваал> в п-мерном «пространстве». «Точка» М, называется «т о ч к о й с гу щ в н и я» множества ОЖ; если в каждой ее окрестности (и снова — безразлично, какого типа) содержится хоть одна «тачка> множества а«г, отличная от Мь.
«Точки сгущения> для открытой «области», не принадлежащей ей, называются пограничными «точкамиэ этой «областиэ. Пограничные «точкиэ в их совокупности образуют «границу области>. Открытая «область» вместе с «гран»щей> ее >шзываетсл з а м к и у т о й «областьюэ. Нетрудно видеть, что для открытого «параллелепипеда» (4) пограничными будут «точки» М(хы..., х„), для которых аэ~хгжЬЫ ..., а„~хо~яЬ„, причем хоть в одном случае имеет место именно равенство.
Точно так же, для рассмотренной выше открытой «сферы» пограничными будут «точки» М, для которых в точности ММ, = г. Наконец, для открытого симплекса (5) пограничными являются «точки» М(х„..., х,), удовлетворяющие соотношениям: х«~Оу у хлв Ор х««ь хл Ь~ причем хоть однажды осуществляется р а в е н с т в о.
Таким образом„замкнутый «прямоугольный параллелепипед», замкнутая «сфера» и замкнутый симплекс дают примеры замкнутых «областей». Впредь, говоря об «области», открытой нли замкнутой, мы всегда будем иметь в виду «областьэ в указанном здесь специальном смысле, Установим теперь, что замкнутой «области> принадлежат уже все ее «тачка» сгущения.
Пусть даны замкнутая «область» ® и «точка» М, в н е ее. Докажем, что тогда Мр не будет «точкой> сгущения для еы Замкнутая «область» бь получается из некоторой открытой «области» ег5 путем присоединения к ней ее «гранины» (5. Очевидно, М не является «точкой» сгущения для ®; следовательно, Мр можно окружить такой открытой «сферой», чтобы в ней вовсе не содержалось «точекэ из ф. Но тогда в ней не может быть и «точек» из ~2 ведь, если бы какая-нибудь «точка М' из Ф в нее попала, то в ней содержалась бы целиком и некоторая окрестность «точки» М', и в этой окрестности не было бы ни одной точки из ОТ>, вопреки определению «точки сгущения> и множества $ как «границы». Итак, в упомянутой «сфереэ нет «точек» из ЕО, что и доказывает наше утверждение.
Вообще «точечное» множество аз», содержащее все свои «точки» сгущения, называют з а м к н у т ы м. Таким образом, замкнутая «область» есть частный случай замкнутого множества. Гл. у. Функции нескольких пеРеменных 352 'г«64 Введем еще ряд терминов. Множество «точек» эЖ' называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором «прямоугольном параллелепипедек «Область» называется связной, если любые ее две «точки» можно соединить «ломаной», лежащей всеми своими «тачками» в «областик На рис. 96 представду лоно для иллюстрации не~l,:~уФ .,~Г~~~ . сколько связных областей на плоскости. Ограниченная и связная «область» в л-мерном «пространстве» (открытая нли замкнутая) есть, в некотором смыеле, аналог конечного промежутка (соответственно, откры- Ф того нли замкнутого).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
