Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Из доказанной теоремы сразу ясно, что в примерах 1) и 2) двойной предел не существует (почему?). В этом легко убедиться и непосредственно. В примере 3), наоборот, двойной предел существует: нз неравенства х з)п-!*И~х( «1 усматриваем, что он равен О. Этот пример показывает, что условие 1) теоремы не влечет за собой условия 2). Не следует думать, однако, что существование двойного предела необходимо для равенства повторных: в примере 4) предыдущего и' оба повторных предела существуют и равны О, хотя двойного предела нет. 5 2. Непрерывные функции 169.
Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных. Пусть функция у(х„..., х„) определена в некотором множестве сух точек и-мерного пространства, и М'(хг, ..., х„) есть точка сгущения этого множества„принадлежащая самому множеству. Говорят, что функция у'(х„..., х„) и е ир ер ы в и а в игочке М'(хг, ..., х„), если имеет место равенство 1цп Г(х„..., х„) =~'(хг, ..., х„'); (1) х, х, г х х в иротивном оке случае — функция терпит разр ив в точке М'.
1 х ньпРеРывняе Функции 1691 363 На «языке е-Ь непрерывность функции в точке М' выразится так [16Я: но любому заданному е 0 должно найтись такое 6~0, чяю (2) фх„..., х,) — Дхь', ..., х„') ! . е, лишь только )х,— х2'! б,..., (х„-х„'! .Ь; или иначе: но е.-.О доллсно найтись такое с О, что ~ЛМ) -ЛМ')! лишь только расстояние ММ'~ с. При этом точка М1х„..., х„) предполагается принадлежащей множеству ФЖ, в частности же, может совпасть и с точкой М'. Именно ввиду того, что предел функции в точке М' равен значению функции в этой точке, обычное требование, чтобы М была отлична от М', здесь становится ненужным.
Рассматривая разности х,— хг, ...,х„-х,', как приращения Лхт', ..., Ах„' независимьгх переменных, а разность Ях„..., х„) — г'1хт, ..., х„) — как приращение функции, можно сказать (как в случае функций одной переменной), что функция н енр ер 62 в и а, если бесконечно малым приращениям независимых неременных отвечает бесконечно малое же приращение функции.
Определенная выше непрерывность функции в точке М' есть, так сказать, непрерывность по всей совокупности переменин ы х х„..., х„. Если она имеет место, то одновременно н 1цп Дх,, хз,..., х,') =Лхг, хя,..., х,'), х, х, 1пп Дх„х„хз, ..., х„') =Дх,', х,', х,',..., х,'), х, х, х, х, и т. и., нбо здесь мы осуществляем лишь частные законы приближения М к М'. Иными словами, функция оказывается непрерывнойв отдельности по каждой переменной х„по каждой паре переменных х;, хз, и т.
д. С примерами непрерывных функций мь1 уже сталкивались. Так, в 166, 1) была установлена непрерывность целой и дробной рациональной функций от н аргументов во всех точках н-мерного пространства (для дробной функции — за исключением тех точек, которые обращают ее знаменатель в 0). Там же, в 2), была доказана непрерывность степенно-показательной функции хУ для всех точек правой полуплоскости (х .0).
364 ГЛ. Ч. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1170 Если вновь рассмотреть функцию ху у(х, у)= — (для хе+уз»О), х'+за определенную этой формулой во всей плоскости, кроме начальной точки, и положить дополнительно: г(0, 0) =О, то получим пример р а з р ы в а. Он имеет место именно в начальной точке„так как 1167, 4)) при х О, у-0 для функции предела не существует. Здесь мы сталкиваемся с таким интересным обстоятельством.
Рассмотренная функция 1(х, у), котя и не является непрерывной в точке (О, 0) по обеим переменным зараз, тем не менее будет непрерывна в этой точке к а к и о х, т а к и и о у в отдельности ", это следует из того, что Дх, 0)=г(0, у)=-О. Впрочем, сказанное перестает быть удивительным, если сообразить, что, говоря о непрерывности по х и по у в отдельности, мы учитываем лишь приближение к точке (О, 0) вдоль по оси х или по оси у, оставляя в стороне бесчнсленное множество других законов приближеяия. Если для функции г"(М) при стремлении М к М' вовсе не с у шеста уст определенного конечного предела йш Р(М), М М' то говорят, что в точке М' функция имеет разрыв, даже в том случае, когда в самой точке М' функция не определена (ср. замечание в 66).
Точки разрыва функции могут быть не только изолированными, как в предыдущем примере, но и заполнять собою линии, поверхности и т. и. Так, фувкцни двух переменкам х'+у' 1 х*-у* х'+уа-1 имеют разрывы; первая — вдоль прямык у- Хх, а вторая — вдоль окружности х'+уз= 1. Для функций трех переменных к+у+к 1 ху-х ' х*+уг-г* разрывы заполняют в первом случае гиперболяческнй параболонд з=ху, а во втором — конус г'=хт-ь)а. 170. Операции над непрерывными функциями. Легко сформулировать н доказать теорему о непрерывности суммът, разности, произведения, частного двух непрерьшных функций [ср.
б7); предоставляем зто читателю. Мы остановимся лишь на теореме о суперпозиции непрерывных функций. Как и в и' 164, мы предположим, что кроме функции и =Дх„..., х„), заданной в множестве аж и-мерных точек М(х„..., х,), нам даны еще л функций х, = р,(г„..., г ), ..., х, =ш„(г„..., г„) (4) в некотором множестве 67 лг-мерных точек Р(г„..., г ), причем точка М с координатами (4) не выходит за пределы упомянутого множества ФК 365 17!1 1 г непеееывные отнкции теорезиа. Если функции р,(Р) (1=1,..., и) все непрерывны в точке Р'Ц, ..., 1') из У, а функция)(М) непрерывна в с о о т в е т с т в у юи1 е й точке М'(х~, ..., х„') с координатами Х,'=-У,(1,', ...,1'),..., х„'=р„(1,', ..., 1„'), то и сложная функиия и =ЯРЯ1„..., 1„), ..., р„(1„..., 1 )) =Яр,(Р),..., а,(Р)) будет непрерывна в тоже Р'.
Действительно, сначала по г О определится число д О, такое, что из (3) следует (2) (ввиду непрерывности функции ~). Затем по числу 6 (ввцлу непрерывности функций у„...,у,) найдется число О такое, что неравенства !11 — 11! 71,, !г — 1 ! О (5) влекут за собой неравенства !х,-х,'! =!вч(1„...,1 )-уз(1;, ..., г')! «д,..., !х„— х, ! = !р„(1„..., 1 ) -а,(!г,..., 1') ! «б. Но тогда, при наличии (5), будет также !Лх„..., х„) -Лх„..., х,) ! = = !у'(у,(г„,..., г ), ..., <р.(г„..., г ))— -Яу,(1,',...,1'), ..., у.(1,', ...,1'))! г, что и доказывает наше утверждение. 171, Функции, непрерывные в области.
Теоремы Больцаио — Коши. Мы будем говорить, что функиия Ях„..., х„) непрерывна в некотором множестве олг точек и-мерного пространства, если она непрерывна в каждой точке этого множества, которая является для него точкой сгуи1вния. Впредь, как правило, мы ограничимся случаем, когда множество олв представляет собой открьпую или замкнутую обл а с т ь (163), наподобие того, как непрерывные функции одной переменной мы рассматривали в промежутке.
Обращаемся теперь к изучению свойств функции нескольких переменных, непрерывной в некоторой области и-мерного пространства. Они вполне аналогичны свойствам функции одной переменной, непрерывной в промежутке (гл. П, з 5). При изложении мы лишь для краткости ограничимся случаем д в у х независимых переменных. Перенесение на общий случай производится непосредственно и не представляет труда. Впрочем, некоторые замечания по этому поводу будут сделаны попутно. Сформулируем теперь теорему, аналогичную 1-й теореме Б о л ьцано-Коши для функции одной переменной (180).
Збб гл. ч. синицин наскольких пкоамвнных 1ГЛ Теорема. Пусть функция Ях, у) определена и непрерывна в некоторой с в я з н о й области чн. Если в двух точках Мо(хо, уо) и М,(х„у„) этой области функция принимает значения разных знаков: )(хо, уо) О, Дх„у,) .О, то в этой области найдется и точка М'(х', у'), в которой функция ойра1цается в нуль: З(х',у')=О.
Доказательство мы по- строим на сведбнии к случаю функе ции одной независимой переменной. Ввиду связности области эзз, точки М и М можно соединить лом а н о й, всеми точками лежащей в н (рис. 97). Если последовательно перебирать вершины ломаной, то либо окажется, что в какой-либо из ннх функция обращается в Π— и тогда теорема доказана, либо этого не будет. В последнем случае найдется такая с т о р о н а ломаной, на концах которой функция принимает значения разных знаков.
Изменив обозначения точек, будем считать, что Мо и М„как раз и являются концами этой стороны. Ее уравнения имеют вид (1б1): х=хол з(хз-хо), у=-уо+ з(уз-уо). <о=с=зЗ Если точка М(х, у) передвигается именно вдоль этой стороны, то наша первоначальная функция Ях,у) превращается в сложную функцию одной переменной н Р(з)=)'(х ьз(х -х), у +з(у -у)) (О г 1), очевидно, непрерывную (по теореме предшествующего п'), ввиду непрерывности как функции Ях, у), так и линейных функций от б зюдставленных вместо ее аргументов. Но для с(З) имеем: Г(О) = Яхо, уо) «О, Е(1) =Лх, у1) О. Применяя к функции г(з) о д н о й переменной уже доказанную в и' 8О теорему, заключаем, что Г(Р) =О при некотором значении з' между О и 1.
Вспоминая определение функции г(з), имеем таким образом Лхо+з (хз хо) Уо+з (У1 Уо)) =О. Точка М'(х', у'), где х'=х +Е(х,-х,), у'=у,- Р(у,-у,) и является искомой. Отсюда вытекает, как и в 82, 2-я теорема Б о л ь ц а н о — К о ш и, которая, впрочем, могла бы быль получена и сразу.
ь а непРеРыеные Функции Збз Читатель видит, что переход к пространству и измерений (при п 2) не создает никаких затруднений, ибо в и-мерной связной области точки также могут быть соединены «ломаной» и вопрос сведется к рассмотрению ее стороны, вдоль которой функция будет зависеть от одного параметра, и т. д. всегда можно извлечь такую частичную последовательность Мп,(кп, Уп) Мп,(кп,>ул,) ° > М~»(кл» Уп») 1п> и ... п» ...,и» ь Ь которал сходилась бы к предельной точке. 1-е доказательство мы проведем, перенеся на рассматриваемый случай рассуждение, которым мы пользовались в «лннейном» случае [41). Ввиду ограниченности данной последовательности точек, наидется такои (конечныи) прямоугольник [а, Ь; с, д), в котором она целиком содержится.
Разделим как промежуток [а, Ь) значений х, г б так и промежуток [с, «1) зна- г чений у пополам: п»Ь 8 Рнс. 98. Комбинируя каждую из по- ловин первого промежутка с каждой из половин второго, мы получим четыре прямоугольника: (111) [а, — —; —, а], на которые разлагается основной прямоугольник [а, Ь; с, а) (рис. 98). Хоть в одной из этих частей будет содержаться бесконечное м н о ж е с т в о точек данной последовательности, ибо, в противном 172. Лемма Больцаие — Вейерштрасса. Для дальнейшего изложения нампонадобитсяобобщениелеммы Боль цап о-В ей ер ш трасс а [41) на случай последовательности точек в пространстве любого числа измерений; как всегда, мы ограничимся «плоским» случаем.
Лел«леа. 1»з любой о грани челна й последовательности точек М»(хы У»), Мз(хе> Уз)> ", ЬУп(хл> Ул), ". [172 ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х 368 случае, и во всем прямоугольнике их содержалось бы лишь конечное число, что невозможно. Пусть [а„Ь»; с„ф будет тот из прямоугольников [1), [П), [П1), [1Ч), в котором содержится бе с к онечно е м н о ж е с т в о точек нашей последовательности (или один из таких прямоугольников, если их несколько). Полученный прямоугольник снова разложим на четыре меньших прямоугольника и возьмем тот из них„в котором содержится б е оконечное о е множество точек данной последовательности; обозначим его через [а», Ь»; с», «Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
