Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (947422), страница 72
Текст из файла (страница 72)
хдх уду у уз 5) Сторона а треугольника определяется по двум )цзугим сторонам Ь, с и заключенному между нами углу и так: а= 1Ьз+сз-2Ьс сова. Тогда да Ь- Ь вЂ” с созе да Ь ш дЬ )гр+ сз з— 2Ьс. соз а а б) Известная из фюнкл формула Клапейрона рК=ЮТ (где й= =сопзО выражает связь между объемом У', давлеввем р и абсолютной температурой Т одного моля идеального газа и определяет одну из величин у, У", Т как функцию двух других.
Если р, К вЂ” независимые переменные, а Т вЂ” функция от рр них: Т= то Я дТ К дТ р др )г И' Я Если роль независимых играют переменные р и Т, а ЯТ = —, то у дъ' и" Т д)' Я д1 р* ' дт У' — функция от них: 1'= ДТ вЂ” функция от изб р= —; 'г' Пусть, наконец, К и Т вЂ” независимые переменные, у тогда ДТ д, Л а~ У' дТ1' 1 дх 1 дх з -' — + — ' — = — ° х'дх у ду , ' какова бы ни была фувкцияу'. По правилу дифференцирования сложной функции (означая пггрвхом производную по и) имеем дз — у Г(хз-у9.2Х=2ху Г(хз — уз), дх 378 ГЛ. Ч. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (178 Отсюда, между прочим, получается валшое в термодинамике соотношение а; ацат кт к1 кт 1 а1атар 1 1 К рц Заметим, что обозначения и к о б и частвых производных (с круглыми а) следует рассматривать только как цельные символзл, а не как честные или дроби.
Полученное только что соотношение с особенной ясностью подчеркивает зто существенное различие в характере обозначений обыкновенных и частных производных: если бы выписавные в левой части производные были обыкновенными, то можно было бы их рассматривать как частные одних и тех же ли4фереипиалов, и по сокращении мы получили бы 1, вместо — 1; здесь же, как мы лилям, етого делать нельзя. Произведение частной производной — на произвольное приращеая ах ние Ах называется частным дифференциалом по х функции и; его обозначают символом д и= —.Ах.
ая ах Если и здесь под дифференциалом Ах независимой переменной х разуметь приращение Ах, то предыдущая формула напишется так: о( и= — дх. ая х Аналогично, д и= — ду, д,и —.дя. ая ая ау ' ' ' а. Таким образом, мы видим, что можно было бы и частные производные представить в виде др о б ей ахл Луи Ы,и Лх' ду' дя' но прн непременном условии указывать, по какой переменной берется дифференциал. 178. Полное приращение функнии.
Если, исходя из значений х=ха, у=ус, хь хо независимых переменных, придать всем трем некоторые приращения Ах, Ау, Ая, то функция и=Дх, у, г) получит приращение Аи=4йхо Уа» Яо)=Лхо+Ах, Уо ЬАУ, ха+Ах) — 7(хо Уо го) которое называется полным приращением функции. В случае функции у =Ях) от одной переменной, в предположении существования в точке хо (конечной) производной у'(ха), для приращения функции имеет место формула (96 (2)1 АУ=Ау(ха)=У'(ха) Ах+а Ах, где а зависит от Ах и а О прн Ах О. 379 1781 1 3. пРоизиоднын и диеененнциллы Мы имеем в внцу установить аналогичную формулу для приращения функции и =Лх, у, з): Ли = ЛГ(хо, у, г ) = =Ух(хо Уо~ го) гзх+Ха(хо Уо~ Яо) гзу+ ь.Яхо уо го) Ля+а Ах+р.АУ+у ° Аг, (1) где а, 1), у зависят от Лх, Лу, Лг и вместе с ними стремятся к нулю.
Однако, на этот раз придется наложить на функцию более тяжелые ограничения. Теорема. Если частные производные у„'(х, у, х), уу(х, у, г)„,Ях, у, х) существуют не только в точке (хо, уо, з ), но и в некоторой ее окрестности, и кроме того непрерывны (как функции от х, у, я) в этой точке, то имеет место формула (1). Для до к аз а те л ь с т в а представим полное приращение функции Аи в виде: г)и=Ихоч-г)х Уо+г)У ео+г)г) — У(хо Уо+г)У, яо+г)г))+ +№„),+ У, хоч- Я) — Х(„у„хо+Ля)3+ + №о, У., Яо+ ~г)-Лхо, Уо ео)1 Каждая из этих разностей представляет ч а с т н о е приращение, функции лишь по одной переменной. Так как мы предположили существование частных производных в окрестности точки (хо, уо, зо), то— при достаточной малости Лх, гзу, Ля — к этим разностям по отдельности можно применить формулу конечных приращений (1121 *); мы получим Ли=у„'(х ч-ОАх, ус+Ау„яо-~-Ая) Лх+ +Яхо, Уо+0з 0У, го+г)з) АуьХЛхо, У., го+0,Аг) Лг.
Если положить здесь: у„'(х, ьбгзх, ус+Ау, го+Аз)=Л(хо, Уо го)+а у;( „у,+0,Лу,, ь.)г) =У,'(х„у„ко)+0, Яхо )'о го -ь 0згзх) =.Я~ у го)" у то придем к выражению (1) для Аи. При Ах О, Лу О, Ля О аргу- менты производных в левых частях этих равенств стремятся к хо, уо, зо (ибо О, 0„0з — правильные дроби), следовательно, сами произ- водные, ввиду п реди о л оженно й непрерыв ности их для этих значений переменных, стремятся к производ- ') Нели взять, например, первую разность, то ее можно россмятрияать как приращение фующии дх, уз+Ау, яр+ли) от одной переменной х, отвечающее пор~оду от х=х„к х=хо=г)х. Производная по х от отой Функции, т. о. за. Уз+ну, Яо+г)Я), но нссдположению, сУщсстЯУет дла всех значений х в нРомежузко (хо, хо+Ах), так что формула конечиык нриращеннй применима, и т. д.
ГЛ. У. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1178 ным в правых частях, а величины а, р, у — к нулю. Этим и завершается доказательство. Доказанная теорема дает возможность, между прочим, установить, что иэ существования и непрерывности в данной точке частных производных вытекает непрерывность в этой точке самой функции; действительно, если Лх О, Лу О, Лг О, то, очевидно, и Ли О. Для того чтобы формулу (1) можно было написать в более компактной форме, введем в рассмотрение выражение: е ГеР+ее'. ж расстояние между точками (хо Уо зо) и (хо+Лх Уо+ЛУ хо з Лк).
Пользуясь им, можем написать: а Лх+р Лу > у.ЛЕ= ~а ° — (ее).— Ф у ° вЂ” ) ° о. е)х х(у ох) е е е) Обозначив выражение, стоящее в скобках, через е, будем иметь а Лх ьф Лу-~-у ° Лк=е ° о, где е зависит от Лх, Лу, Лх и стремится к нулю, если Лх О, Лу О, Лг О нли, короче, если о О. Итак, формулу (1) можно теперь переписать в виде: Ли=ЛУ(хо Уо, ко)=Уе(хо Уо зо) Лх Ь.1у(хо, Уо зо).ЛУч Ф.Я., У„.) )г'-'Е, Р) где е О при о О. Величина е ° о, очевидно, может быть записана, как о(о) (если распространить введенное в бО обозначение и на случай функций нескольких переменных). Заметим, что в нашем рассуждении не был формально исключен случай, когда приращения Лх, Лу, Лг порознь или даже все сразу равны О. Таким образом, говоря о предельных соотношениях а О, р О, у О, е О при Лх О, Лу О, Лз О, мы понимаем их в широком смысле и не исключаем для этих приращений возможности в процессе их изменения обращаться в нуль.
(Ср. аналогичное замечание в 96.) Прл доказательстяе предыдущей теоремы мы потребовали от фулкпии нескольких переменных больше, чем в случае фулкпкн одной переменкой. Для того чтобы показать, что без соблюдепля этих требований формула (1) ллл (2) одеев м о г л а б ы оказаться л лепрялслнмой, рассмотрим, в заключение, следуюшлй и р л м е р (где для простоты мы лмеем дело всего ллшь с двумя независимыми пер омелнымл). Определим фулкплю у"(х, у) рояопстяамл: хеу у"(х, у) = (еслл х'+у'=.О), у"(О, О) =.О.
х'+уе ЗВ1 1 3. ПРОизВОдные и диФФВРенциалы Эта фушщия непрерывна иа всей плоскости; для точки (О, 0) это следует из 167, (5). Далее, существуют частвые произаодиые по х и по у также иа всей плоскости. При х'+у'»О, очевцлво, 2ху', х'(х'-уэ) Х;(х, у) = , , ут(х, у)- В иачальвой же точке имеем: Д(0, 0) =Уз(0, 0) = 0„' это непосредственно яыте. кает, по самому определению частных производных, из того, что У(х, 0) г"(О, у) = =О. Легко показать, что в точке (О, 0) вепрерывиость производных варушается 1 для первой из иих достаточно, иапрвмер, положить у=х=--0) . л Формула вида (1) или (2) для вашей функции в точке (О, 0) ие имеет места.
В самом деле, если допустить противное, то было бы Ахэ Ау 4ЯО,О)= =е.)/Акт+Аут, г(хэ+ Ауэ где е 0 при Ах 0 илу О. Положив, в часгиости, АУ=Ах О, имели бы 1 1 — г(х = е. )'2. г(х. откуда е 2 2 1'2 и е ие стремилось бы к пулю при Ах-О, что противоречит допущеиию. Аиалогичиую особенность в точке (О, 0) проявляет и функция у(х. У)= Дху!. Предоставляем читателю разобраться в этом. 179. Полный дифференциал. В случае функции у=у(х) одной переменной, мы рассматривали в 103 вопрос о представимости ее приращения Ау = АДх ) =Дх, Ф Ах) -Дхе) в виде А((хе) =А . Ах+ о(Ах) (А = сонэ().
(3) Оказалось (104), что для возможности такого представления н е о бх о д и м о и д о с т а т о ч н о, чтобы существовала в точке х =хе конечнаЯ пРоизвоДнаа 1'(хе), пРичем написанное Равенство осУЩествляется именно при А =('(х ). Линейную часть А Ах=/'(хе) Ах=у„' Ах приращения функции мы и называли ее дифференциалом, Ау. Переходя к функции нескольких, например, трех переменных: Лх, у, х), определенной в некоторой (скажем, открытой) области ф, естественно поставить аналогичный вопрос о представимости приращения Ап=4Фе уе хе) =Лхе' Ах, ус+Ау, хе)Ах)-((хе ус~ хе) в виде (4) АЛх„уе, те)=А ° Ах+В Ау+С.Ах;с(р), где А, В н С вЂ” постоянные, а о =)(Ахз-РАуэ+Ахэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
